Најважније из лекције
Геометријско значење: Пређени пут на \(v-t\) графику одговара површини фигуре испод линије брзине.
Равномерно убрзано (\(v_0 = 0\)): \(s = \frac{a \cdot t^2}{2}\) (нпр. за \(a = 2\text{ m/s}^2, t = 3\text{ s} \implies s = 9\text{ m}\)).
Равномерно убрзано са \(v_0\): \(s = v_0 \cdot t + \frac{a \cdot t^2}{2}\).
Равномерно успорено: \(s = v_0 \cdot t - \frac{a \cdot t^2}{2}\).
Средња брзина: \(v_{sr} = \frac{v_0 + v}{2}\), па је \(s = v_{sr} \cdot t\).
Веза брзине и пута: \(v^2 = v_0^2 + 2a \cdot s\) (при убрзаном) односно \(v^2 = v_0^2 - 2a \cdot s\) (при успореном кретању).
Равномерно убрзано (\(v_0 = 0\)): \(s = \frac{a \cdot t^2}{2}\) (нпр. за \(a = 2\text{ m/s}^2, t = 3\text{ s} \implies s = 9\text{ m}\)).
Равномерно убрзано са \(v_0\): \(s = v_0 \cdot t + \frac{a \cdot t^2}{2}\).
Равномерно успорено: \(s = v_0 \cdot t - \frac{a \cdot t^2}{2}\).
Средња брзина: \(v_{sr} = \frac{v_0 + v}{2}\), па је \(s = v_{sr} \cdot t\).
Веза брзине и пута: \(v^2 = v_0^2 + 2a \cdot s\) (при убрзаном) односно \(v^2 = v_0^2 - 2a \cdot s\) (при успореном кретању).
Код било ког праволинијског кретања, пређени пут је бројно једнак површини фигуре ограничене линијом брзине на \(v-t\) графику, временском осом (\(t\)-осом) и одговарајућим тренуцима времена.
Код кретања сталном брзином фигура је правоугаоник странице \(v\) и \(t\), па је пут:
\[ s = v \cdot t \]
Ако се тело креће сталном брзином \(v = 4\text{ m/s}\) током \(t = 5\text{ s}\), пређени пут одговара површини правоугаоника:
\[ s = 4\text{ m/s} \cdot 5\text{ s} = 20\text{ m} \]
Када тело полази из мировања (\(v_0 = 0\)), његова брзина расте по закону \(v = a \cdot t\). На \(v-t\) графику површина испод праве линије има облик правоуглог троугла са основицом \(t\) и висином \(v = a \cdot t\).
\[ s = \frac{a \cdot t^2}{2} \]
\(s\) – пређени пут (\(\text{m}\)), \(a\) – стално убрзање (\(\text{m/s}^2\)), \(t\) – време кретања (\(\text{s}\))
Ако су познати пређени пут \(s\) и време \(t\), убрзање тела се рачуна као:
\[ a = \frac{2s}{t^2} \]
Тело креће из мировања и убрзава сталним убрзањем \(a = 2\text{ m/s}^2\) током \(t = 5\text{ s}\). Пређени пут је:
\[ s = \frac{2\text{ m/s}^2 \cdot (5\text{ s})^2}{2} = \frac{2 \cdot 25}{2}\text{ m} = 25\text{ m} \]
Тело креће из мировања и за време од \(4\text{ s}\) пређе пут од \(8\text{ m}\). Израчунај убрзање тела.
Пошто је \(v_0 = 0\), користимо израз:
\[ a = \frac{2s}{t^2} = \frac{2 \cdot 8\text{ m}}{(4\text{ s})^2} = \frac{16\text{ m}}{16\text{ s}^2} = 1\text{ m/s}^2 \]
Ако тело у тренутку почетка убрзавања већ поседује почетну брзину \(v_0\), укупан пређени пут једнак је збиру пута који би тело прешло крећући се брзином \(v_0\) и додатног пута услед убрзавања.
\[ s = v_0 \cdot t + \frac{a \cdot t^2}{2} \]
\(v_0\) – почетна брзина (\(\text{m/s}\)), \(a\) – убрзање (\(\text{m/s}^2\)), \(t\) – време (\(\text{s}\))
На \(v-t\) графику укупна површина се састоји од правоугаоника површине \(v_0 \cdot t\) и правоуглог троугла изнад њега површине \(\frac{a \cdot t^2}{2}\).
Аутомобил се креће брзином од \(20\text{ m/s}\), а затим убрзава са \(a = 2\text{ m/s}^2\) током \(t = 8\text{ s}\):
\[ s = 20\text{ m/s} \cdot 8\text{ s} + \frac{2\text{ m/s}^2 \cdot (8\text{ s})^2}{2} = 160\text{ m} + 64\text{ m} = 224\text{ m} \]
Код равномерно успореног кретања брзина тела се равномерно смањује са временом (\(v = v_0 - a \cdot t\)). Пређени пут се добија када се од правоугаоника почетне брзине одузме површина троугла успорења.
\[ s = v_0 \cdot t - \frac{a \cdot t^2}{2} \]
\(v_0\) – почетна брзина (\(\text{m/s}\)), \(a\) – успорење (\(\text{m/s}^2\)), \(t\) – време успоравања (\(\text{s}\))
Тело са почетном брзином \(v_0 = 8\text{ m/s}\) успорава са \(a = 1\text{ m/s}^2\) током \(t = 5\text{ s}\):
\[ s = 8\text{ m/s} \cdot 5\text{ s} - \frac{1\text{ m/s}^2 \cdot (5\text{ s})^2}{2} = 40\text{ m} - 12{,}5\text{ m} = 27{,}5\text{ m} \]
Код равномерно променљивог кретања (са сталним убрзањем), средња брзина једнака је аритметичкој средини почетне и крајње брзине:
\[ v_{sr} = \frac{v_0 + v}{2} \]
Пређени пут се може изразити и као: \( s = v_{sr} \cdot t = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t \)
\[ v^2 = v_0^2 + 2a \cdot s \]
Ова релација повезује почетну брзину \(v_0\), крајњу брзину \(v\), убрзање \(a\) и пут \(s\) без директног коришћења времена \(t\).
Ако тело полази из мировања (\(v_0 = 0\)), формуле добијају једноставнији облик:
\[ v_{sr} = \frac{v}{2}, \quad v^2 = 2a \cdot s \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Бициклиста креће из мировања и креће се равномерно убрзано са убрзањем \(a = 1{,}5\text{ m/s}^2\). Колики пут ће прећи за првих \(6\text{ s}\)?
Пошто креће из мировања, \(v_0 = 0\):
\[ s = \frac{a \cdot t^2}{2} \]
\[ s = \frac{1{,}5\text{ m/s}^2 \cdot (6\text{ s})^2}{2} = \frac{1{,}5 \cdot 36}{2}\text{ m} = 1{,}5 \cdot 18\text{ m} = 27\text{ m} \]
Одговор: Бициклиста ће прећи \(27\text{ m}\).
Задатак 2 (средњи): Аутомобил се креће брзином од \(10\text{ m/s}\), а затим почиње равномерно да убрзава сталним убрзањем од \(3\text{ m/s}^2\) у трајању од \(4\text{ s}\). Колики пут пређе током тог времена и колика му је средња брзина на том делу пута?
1. Рачунамо пређени пут:
\[ s = v_0 \cdot t + \frac{a \cdot t^2}{2} = 10\text{ m/s} \cdot 4\text{ s} + \frac{3\text{ m/s}^2 \cdot (4\text{ s})^2}{2} = 40\text{ m} + \frac{3 \cdot 16}{2}\text{ m} = 40\text{ m} + 24\text{ m} = 64\text{ m} \]
2. Рачунамо средњу брзину:
\[ v_{sr} = \frac{s}{t} = \frac{64\text{ m}}{4\text{ s}} = 16\text{ m/s} \]
(Или преко крајње брзине: \(v = v_0 + a \cdot t = 10 + 3 \cdot 4 = 22\text{ m/s}\), па је \(v_{sr} = \frac{10 + 22}{2} = 16\text{ m/s}\).)
Одговор: Аутомобил пређе \(64\text{ m}\), а средња брзина је \(16\text{ m/s}\).
Одговор: Аутомобил пређе \(64\text{ m}\), а средња брзина је \(16\text{ m/s}\).
Задатак 3 (средњи): Возило које се креће брзином од \(20\text{ m/s}\) почиње равномерно да кочи успорењем \(2\text{ m/s}^2\). Колики пут возило пређе током првих \(5\text{ s}\) од почетка кочења?
Код равномерно успореног кретања користимо формулу:
\[ s = v_0 \cdot t - \frac{a \cdot t^2}{2} \]
\[ s = 20\text{ m/s} \cdot 5\text{ s} - \frac{2\text{ m/s}^2 \cdot (5\text{ s})^2}{2} = 100\text{ m} - \frac{2 \cdot 25}{2}\text{ m} = 100\text{ m} - 25\text{ m} = 75\text{ m} \]
Одговор: Возило пређе \(75\text{ m}\).
Задатак 4 (тежак): Авион при слетању додирује писту брзином \(v_0 = 60\text{ m/s}\) и креће се успорено до потпуног заустављања (\(v = 0\)) на путу дужине \(s = 600\text{ m}\). Колико је успорење авиона и колико је трајало кочење?
1. Користимо везу између брзине, успорења и пута:
\[ v^2 = v_0^2 - 2a \cdot s \]
Пошто је крајња брзина \(v = 0\):
\[ 0 = v_0^2 - 2a \cdot s \implies 2a \cdot s = v_0^2 \implies a = \frac{v_0^2}{2s} \]
\[ a = \frac{(60\text{ m/s})^2}{2 \cdot 600\text{ m}} = \frac{3600}{1200}\text{ m/s}^2 = 3\text{ m/s}^2 \]
2. Време заустављања налазимо из израза за брзину успореног кретања (\(v = v_0 - a \cdot t\)):
\[ 0 = v_0 - a \cdot t \implies t = \frac{v_0}{a} = \frac{60\text{ m/s}}{3\text{ m/s}^2} = 20\text{ s} \]
Одговор: Успорење износи \(3\text{ m/s}^2\), а кочење је трајало \(20\text{ s}\).
