Најважније из лекције
Кључни закључци:
- Вертикални хитац наниже је праволинијско равномерно убрзано кретање са почетном брзином \( v_0 \neq 0 \) и сталним убрзањем \( g = 9,8\text{ m/s}^2 \).
- Главне формуле: \[ v = v_0 + g \cdot t, \quad s = v_0 \cdot t + \frac{g \cdot t^2}{2}, \quad v^2 = v_0^2 + 2 \cdot g \cdot s \]
- Тренутна висина изнад тла: \( h_t = h - s \). Негативна вредност означава да је тело испод почетне нулте равни.
- Због постојања \( v_0 \), вертикални хитац наниже пада брже и стиже до тла за краће време него при слободном паду са исте висине.
Вертикални хитац наниже је праволинијско кретање тела са почетном брзином усмереном вертикално наниже, које се одвија само под утицајем силе Земљине теже.
\( v_0 \) – почетна брзина, \( v \) – тренутна брзина, \( g \) – убрзање Земљине теже (\( g \approx 9,8 \text{ m/s}^2 \)), \( s \) – пређени пут, \( h \) – почетна висина.
Ово кретање је равномерно убрзано са сталним убрзањем \( g \). Вектори почетне брзине \( \vec{v}_0 \) и гравитационог убрзања \( \vec{g} \) имају исти правац и исти смер (вертикално наниже).
Због постојања почетне брзине усмерене наниже, време пада тела код вертикалног хица је увек краће у односу на слободан пад са исте висине, док је убрзање у оба случаја једнако (\( g \)).
Једначине вертикалног хица наниже одговарају формулама за равномерно убрзано праволинијско кретање, при чему се убрзање \( a \) замењује гравитационим убрзањем \( g \):
| Величина | Равномерно убрзано кретање | Вертикални хитац наниже (\( a = g \)) |
|---|---|---|
| Брзина у функцији времена | \( v = v_0 + a \cdot t \) | \( v = v_0 + g \cdot t \) |
| Пређени пут у функцији времена | \( s = v_0 \cdot t + \frac{a \cdot t^2}{2} \) | \( s = v_0 \cdot t + \frac{g \cdot t^2}{2} \) |
| Брзина у функцији пређеног пута | \( v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot s \) | \( v^2 = v_0^2 + 2 \cdot g \cdot s \) |
\[ t = \frac{v - v_0}{g} \]
Време кретања израчунато преко почетне и тренутне брзине.
Лоптица је бачена вертикално наниже брзином \( v_0 = 4\text{ m/s} \) са висине \( h = 1,8\text{ m} \). Брзина при удару о тло (\( s = h \)) износи:
\[ v = \sqrt{v_0^2 + 2 \cdot g \cdot h} = \sqrt{4^2 + 2 \cdot 9,8 \cdot 1,8} = \sqrt{16 + 35,28} = \sqrt{51,28} \approx 7,16\text{ m/s} \]
Време пада до удара о под је:
\[ t = \frac{v - v_0}{g} = \frac{7,16\text{ m/s} - 4\text{ m/s}}{9,8\text{ m/s}^2} \approx 0,32\text{ s} \]
Висина \( h_t \) на којој се тело налази у тренутку \( t \) представља разлику између почетне висине \( h \) и пута \( s \) који је тело прешло до тог тренутка.
\[ h_t = h - s = h - \left( v_0 \cdot t + \frac{g \cdot t^2}{2} \right) \]
Ако се добије негативна вредност за висину (\( h_t < 0 \)), то значи да се тело налази испод почетног референтног нивоа са ког се висина мери (на пример, тело бачено са видиковца пада дубље у кањон).
Са моста висине \( h = 18\text{ m} \) бачен је камен наниже брзином \( v_0 = 10\text{ m/s} \). После времена \( t = 1\text{ s} \), висина камена изнад воде је:
\[ h_t = 18 - \left( 10 \cdot 1 + \frac{9,8 \cdot 1^2}{2} \right) = 18 - (10 + 4,9) = 18 - 14,9 = 3,1\text{ m} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Тело је бачено вертикално наниже почетном брзином \( v_0 = 3\text{ m/s} \). Колика је брзина тела после \( 2\text{ s} \) од почетка кретања? (Узети \( g = 9,8\text{ m/s}^2 \))
Примењујемо формулу за зависност брзине од времена:
\[ v = v_0 + g \cdot t \]
\[ v = 3\text{ m/s} + 9,8\text{ m/s}^2 \cdot 2\text{ s} = 3\text{ m/s} + 19,6\text{ m/s} = 22,6\text{ m/s} \]
Одговор: Брзина тела после \( 2\text{ s} \) износи \( 22,6\text{ m/s} \).
Задатак 2 (средњи): Са висине \( h = 15\text{ m} \) предмет је бачен вертикално наниже почетном брзином \( v_0 = 5\text{ m/s} \). Израчунај брзину којом предмет удара о тло. (Узети \( g = 9,8\text{ m/s}^2 \))
Користимо везу између брзине и пређеног пута (\( s = h \)):
\[ v^2 = v_0^2 + 2 \cdot g \cdot h \]
\[ v^2 = (5\text{ m/s})^2 + 2 \cdot 9,8\text{ m/s}^2 \cdot 15\text{ m} \]
\[ v^2 = 25\text{ m}^2/\text{s}^2 + 294\text{ m}^2/\text{s}^2 = 319\text{ m}^2/\text{s}^2 \]
\[ v = \sqrt{319\text{ m}^2/\text{s}^2} \approx 17,86\text{ m/s} \]
Одговор: Брзина удара о тло износи приближно \( 17,86\text{ m/s} \).
Задатак 3 (тежи): Са стене високе \( 40\text{ m} \) бачен је камен вертикално наниже почетном брзином \( 6\text{ m/s} \).
а) На којој висини изнад подножја стене ће се камен налазити након \( 1,5\text{ s} \)?
б) Колико износи време кретања до тла ако је крајња брзина удара \( 28,64\text{ m/s} \)? (Узети \( g = 9,8\text{ m/s}^2 \))
а) На којој висини изнад подножја стене ће се камен налазити након \( 1,5\text{ s} \)?
б) Колико износи време кретања до тла ако је крајња брзина удара \( 28,64\text{ m/s} \)? (Узети \( g = 9,8\text{ m/s}^2 \))
а) Тренутна висина камена:
\[ h_t = h - \left( v_0 \cdot t + \frac{g \cdot t^2}{2} \right) \]
\[ h_t = 40\text{ m} - \left( 6\text{ m/s} \cdot 1,5\text{ s} + \frac{9,8\text{ m/s}^2 \cdot (1,5\text{ s})^2}{2} \right) \]
\[ h_t = 40\text{ m} - (9\text{ m} + 11,025\text{ m}) = 40\text{ m} - 20,025\text{ m} = 19,975\text{ m} \approx 20\text{ m} \]
б) Време падања:
\[ t = \frac{v - v_0}{g} = \frac{28,64\text{ m/s} - 6\text{ m/s}}{9,8\text{ m/s}^2} = \frac{22,64\text{ m/s}}{9,8\text{ m/s}^2} \approx 2,31\text{ s} \]
Одговор: Камен се налази на висини од око \( 20\text{ m} \), а укупно време пада износи око \( 2,31\text{ s} \).
