Најважније из лекције
График брзине (\( v-t \)):
- Равномерно кретање: \( v = \text{const} \) (хоризонтална линија).
- Убрзано кретање: линија расте (од нуле ако је \( v_0 = 0 \), или од \( v_0 \)).
- Успорено кретање: линија опада са вредности \( v_0 \).
- Стрмина графика: већи нагиб означава веће убрзање. Паралелни графици значе једнака убрзања.
- Одређивање убрзања: \( a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1} \).
- Пресек графика: одређује време и брзину у тренутку када се брзине два тела изједначе.
График зависности брзине од времена ($v-t$ график) приказује како се тренутна брзина тела мења током времена. На хоризонталну осу наноси се време \( t \, [\text{s}] \), а на вертикалну осу тренутна брзина \( v \, [\text{m/s}] \).
| Врста кретања | Закон брзине | Изглед графика |
|---|---|---|
| Равномерно праволинијско | \( v = \text{const} \) | Хоризонтална права линија паралелна са \( t \)-осом |
| Равномерно убрзано без почетне брзине | \( v = a \cdot t \) | Права линија која полази из координатног почетка \( (0, 0) \) и расте |
| Равномерно убрзано са почетном брзином | \( v = v_0 + a \cdot t \) | Растућа права линија која полази од вредности \( v_0 \) на вертикалној оси |
| Равномерно успорено кретање | \( v = v_0 - a \cdot t \) | Опадајућа права линија која полази од вредности \( v_0 \) на вертикалној оси |
Задатак: Аутомобил креће из стања мировања сталним убрзањем \( a = 3 \, \text{m/s}^2 \). Какав облик има његов \( v-t \) график и колика му је брзина након \( t = 4 \, \text{s} \)?
Пошто аутомобил креће из мировања (\( v_0 = 0 \)), график је права линија која полази из координатног почетка.
Тренутна брзина се рачуна по формули: \[ v = a \cdot t = 3 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 4 \, \text{s} = 12 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \]
Тренутна брзина се рачуна по формули: \[ v = a \cdot t = 3 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 4 \, \text{s} = 12 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \]
На временској оси (\( t \)) пронађе се задати тренутак, повуче се вертикална линија до пресека са графиком, а затим из пресечне тачке хоризонтална линија до вертикалне осе брзине (\( v \)).
Стрмина (нагиб) графика:
- Што је график стрмији, то је убрзање веће (већа је промена брзине за исти временски интервал).
- Ако су графици за два тела паралелни, тела имају иста убрзања (\( a_1 = a_2 \)).
Пресечна тачка два графика: Означава тренутак у коме оба тела имају исте тренутне брзине (\( v_1 = v_2 \)).
Ако тело 1 има график \( v_1 = 2 \cdot t \), а тело 2 график \( v_2 = 4 \cdot t \), график тела 2 је стрмији јер за исти интервал од \( 1 \, \text{s} \) тело 2 повећа брзину за \( 4 \, \text{m/s} \), а тело 1 за \( 2 \, \text{m/s} \).
Задатак: Два тела се крећу тако да су им графици на \( v-t \) дијаграму паралелне праве које расту. Тело А почиње кретање са брзином \( 2 \, \text{m/s} \), а тело Б са брзином \( 5 \, \text{m/s} \). Шта се може рећи о њиховим убрзањима?
Пошто су графици паралелни, нагиб (стрмина) обе праве је једнак. То значи да тела А и Б имају иста убрзања (\( a_A = a_B \)), иако имају различите почетне брзине.
Убрзање тела је бројно једнако количнику промене брзине (\( \Delta v \)) и протеклог временског интервала (\( \Delta t \)).
\[ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1} \]
\( v_1 \) и \( v_2 \) су брзине тела у тренуцима \( t_1 \) и \( t_2 \).
- На графику се одаберу две произвољне тачке \( A(t_1, v_1) \) и \( B(t_2, v_2) \).
- Очитају се њихове координате (вредности за време и брзину).
- Израчуна се разлика брзина \( \Delta v = v_2 - v_1 \) и разлика времена \( \Delta t = t_2 - t_1 \).
- Убрзање се добија дељењем: \( a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \).
Са графика су очитане тачке \( A(1 \, \text{s}, 4 \, \text{m/s}) \) и \( B(4 \, \text{s}, 13 \, \text{m/s}) \).
Убрзање износи: \[ a = \frac{13 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} - 4 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}}{4 \, \text{s} - 1 \, \text{s}} = \frac{9 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}}{3 \, \text{s}} = 3 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \]
Убрзање износи: \[ a = \frac{13 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} - 4 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}}{4 \, \text{s} - 1 \, \text{s}} = \frac{9 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}}{3 \, \text{s}} = 3 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \]
Задатак: На \( v-t \) графику успореног кретања уочене су тачке \( A(0 \, \text{s}, 20 \, \text{m/s}) \) и \( B(5 \, \text{s}, 5 \, \text{m/s}) \). Одредити вредност успорења.
\[ a = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1} = \frac{5 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} - 20 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}}{5 \, \text{s} - 0 \, \text{s}} = \frac{-15 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}}{5 \, \text{s}} = -3 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \]
Убрзање је \( -3 \, \text{m/s}^2 \), што значи да је успорење тела \( 3 \, \text{m/s}^2 \).
Кретање тела може се састојати из више узастопних делова (етапа), при чему свака етапа има различит карактер:
- Етапа 1 (убрзавање): брзина расте, права линија има успон (\( v = v_0 + a_1 t \)).
- Етапа 2 (стална брзина): брзина је константна, права је хоризонтална (\( a = 0 \)).
- Етапа 3 (успоравање до заустављања): брзина опада, линија се спушта до временске осе где је \( v = 0 \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Тело се креће по закону \( v = 4 + 2 \cdot t \) (у \(\text{m/s}\)).
а) Колика је почетна брзина тела \( v_0 \)?
б) Колико је убрзање тела \( a \)?
в) Колика је брзина тела у тренутку \( t = 3 \, \text{s} \)?
а) Колика је почетна брзина тела \( v_0 \)?
б) Колико је убрзање тела \( a \)?
в) Колика је брзина тела у тренутку \( t = 3 \, \text{s} \)?
Упоређивањем са општим обрасцем \( v = v_0 + a \cdot t \):
а) Почетна брзина је \( v_0 = 4 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \).
б) Убрзање је \( a = 2 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \).
в) За \( t = 3 \, \text{s} \): \[ v = 4 + 2 \cdot 3 = 4 + 6 = 10 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \]
а) Почетна брзина је \( v_0 = 4 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \).
б) Убрзање је \( a = 2 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \).
в) За \( t = 3 \, \text{s} \): \[ v = 4 + 2 \cdot 3 = 4 + 6 = 10 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \]
Задатак 2 (средњи): Са \( v-t \) графика равномерно променљивог кретања очитане су тачке \( A(2 \, \text{s}, 8 \, \text{m/s}) \) и \( B(6 \, \text{s}, 20 \, \text{m/s}) \). Одредити:
а) Убрзање тела.
б) Почетну брзину тела \( v_0 \).
а) Убрзање тела.
б) Почетну брзину тела \( v_0 \).
а) Израчунавамо убрзање преко разлике координата:
\[ a = \frac{v_B - v_A}{t_B - t_A} = \frac{20 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} - 8 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}}{6 \, \text{s} - 2 \, \text{s}} = \frac{12 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}}{4 \, \text{s}} = 3 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \]
б) Почетну брзину одређујемо из једначине за тачку \( A \):
\[ v_A = v_0 + a \cdot t_A \implies 8 = v_0 + 3 \cdot 2 \implies 8 = v_0 + 6 \implies v_0 = 2 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \]
Задатак 3 (тежак): Два тела крећу истовремено. Прво тело полази из мировања и убрзава са \( a_1 = 3 \, \text{m/s}^2 \). Друго тело има почетну брзину \( v_{02} = 15 \, \text{m/s} \) и успорава са \( a_2 = 2 \, \text{m/s}^2 \).
а) Написати једначине брзине за оба тела.
б) Одредити тренутак у коме ће њихови графици на \( v-t \) дијаграму имати пресечну тачку (када су им брзине једнаке).
в) Колика је брзина у том тренутку?
а) Написати једначине брзине за оба тела.
б) Одредити тренутак у коме ће њихови графици на \( v-t \) дијаграму имати пресечну тачку (када су им брзине једнаке).
в) Колика је брзина у том тренутку?
а) Једначине тренутних брзина:
\[ v_1 = a_1 \cdot t = 3 \cdot t \]
\[ v_2 = v_{02} - a_2 \cdot t = 15 - 2 \cdot t \]
б) Пресечна тачка одговара тренутку када је \( v_1 = v_2 \):
\[ 3 \cdot t = 15 - 2 \cdot t \]
\[ 5 \cdot t = 15 \implies t = 3 \, \text{s} \]
в) Уврштавањем вредности \( t = 3 \, \text{s} \) у било коју једначину добијамо вредност брзине:
\[ v_1 = v_2 = 3 \cdot 3 = 9 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \]
