Најважније из лекције
Веза рада и енергије: Механички рад је мера промене енергије тела: \(A = E_2 - E_1\). Позитиван рад вучних сила повећава енергију тела, док негативан рад сила отпора и трења смањује енергију.
Закон одржања механичке енергије: У систему где делују само конзервативне силе (сила теже, еластична сила), укупна механичка енергија остаје непромењена: \(E_k + E_p = \text{const.}\) Кинетичка и потенцијална енергија непрестано прелазе једна у другу.
Општи закон одржања енергије: Енергија је неуништива – не може се створити ни из чега нити уништити, већ само мења свој облик или прелази са тела на тело.
Закон одржања механичке енергије: У систему где делују само конзервативне силе (сила теже, еластична сила), укупна механичка енергија остаје непромењена: \(E_k + E_p = \text{const.}\) Кинетичка и потенцијална енергија непрестано прелазе једна у другу.
Општи закон одржања енергије: Енергија је неуништива – не може се створити ни из чега нити уништити, већ само мења свој облик или прелази са тела на тело.
Референтни ниво је ниво (положај) од кога се мери висина тела приликом одређивања његове гравитационе потенцијалне енергије.
Вредност гравитационе потенцијалне енергије није једнозначно одређена јер зависи од избора референтног нивоа. Најчешће се за референтни ниво бира површина Земље или под просторије, али то може бити и било која друга одабрана раван (нпр. површина стола).
Лустер који виси изнад стола има мању потенцијалну енергију ако се она рачуна у односу на плочу стола (\(h_1\)), а већу ако се рачуна у односу на под (\(h_2\)), јер је висина у односу на под већа (\(h_2 > h_1\)).
Енергија представља способност тела да врши рад. Вршењем рада, механичка енергија тела се мења:
- Када тело врши рад над другим телом, његова механичка енергија се смањује.
- Када се рад врши над телом (деловањем вучне или гурајуће силе), механичка енергија тог тела се повећава (рад тих сила је позитиван).
- Силе трења и отпора средине врше негативан рад и смањују механичку енергију тела.
Промена механичке енергије тела једнака је извршеном механичком раду спољашњих сила.
\[ A = \Delta E = E_2 - E_1 \]
\(A\) – извршени рад, \(E_1\) – почетна енергија, \(E_2\) – крајња енергија
Да би аутомобил масе \(m = 1500\text{ kg}\) повећао брзину са \(v_1 = 28\frac{\text{m}}{\text{s}}\) на \(v_2 = 33\frac{\text{m}}{\text{s}}\), потребно је извршити рад једнак промени његове кинетичке енергије:
\[ A = E_{k2} - E_{k1} = \frac{m}{2}(v_2^2 - v_1^2) = \frac{1500\text{ kg}}{2} \left[\left(33\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2 - \left(28\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2\right] = 229\text{ kJ} \]
Ако на тело (или систем тела) не делују силе трења и отпора средине, већ само сила теже или еластичне силе, укупна механичка енергија тела остаје константна током времена.
\[ E = E_k + E_p = \text{const.} \]
\[ E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2} \]
\(E_k\) – кинетичка енергија, \(E_p\) – потенцијална енергија
Примери претварања механичке енергије из једног облика у други:
- Слободан пад тела: На максималној висини тело има само потенцијалну енергију (\(E_p = \max\), \(E_k = 0\)). Током пада висина опада, а брзина расте, па се \(E_p\) претвара у \(E_k\). Непосредно пре удара о тло, сва енергија је прешла у кинетичку (\(E_k = \max\), \(E_p = 0\)).
- Математичко клатно: У крајњим положајима клатно се на тренутак зауставља и има само максималну потенцијалну енергију. При проласку кроз најнижи (равнотежни) положај има максималну брзину и само кинетичку енергију.
Конзервативне силе (гравитациона сила, еластична сила) су силе чијим се радом механичка енергија не губи, већ само мења свој облик (из потенцијалне у кинетичку и обрнуто). Њихов рад „чува” (конзервира) укупну механичку енергију.
Општи закон одржања енергије: Енергија се не може створити нити се може уништити; она само може прелазити из једног облика у други или са једног тела на друго.
У реалним условима, услед деловања силе трења и отпора ваздуха, механичка енергија се временом смањује јер прелази у друге облике енергије (на пример, у унутрашњу/топлотну енергију).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Колики рад мора да изврши мотор аутомобила масе \(1000\text{ kg}\) да би га из стања мировања убрзао до брзине од \(10\frac{\text{m}}{\text{s}}\)?
Извршени рад је једнак промени кинетичке енергије тела:
\[ A = E_{k2} - E_{k1} \]
Пошто је почетна брзина \(v_1 = 0\frac{\text{m}}{\text{s}}\), почетна кинетичка енергија је \(E_{k1} = 0\text{ J}\).
\[ A = \frac{m \cdot v_2^2}{2} = \frac{1000\text{ kg} \cdot \left(10\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2}{2} = \frac{1000 \cdot 100}{2} = 50\,000\text{ J} = 50\text{ kJ} \]
Одговор: Потребан рад износи \(50\text{ kJ}\).
Задатак 2 (средњи): Тело масе \(2\text{ kg}\) испуштено је да слободно пада са висине \(h = 20\text{ m}\). Користећи закон одржања механичке енергије, одредити брзину тела у тренутку удара о тло. Узети \(g = 10\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\) и занемарити отпор ваздуха.
На почетку пада тело мирује на висини \(h\), па има само гравитациону потенцијалну енергију:
\[ E_1 = E_p = mgh \]
Непосредно пре удара о тло висина је \(0\), па се сва потенцијална енергија претворила у кинетичку:
\[ E_2 = E_k = \frac{mv^2}{2} \]
Према закону одржања механичке енергије (\(E_1 = E_2\)):
\[ mgh = \frac{mv^2}{2} \implies gh = \frac{v^2}{2} \implies v = \sqrt{2gh} \]
\[ v = \sqrt{2 \cdot 10\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 20\text{ m}} = \sqrt{400} = 20\frac{\text{m}}{\text{s}} \]
Одговор: Брзина тела при удару о тло износи \(20\frac{\text{m}}{\text{s}}\).
Задатак 3 (тежак): Лопта је бачена са висине \(h_1 = 3\text{ m}\) вертикално навише почетном брзином \(v_1 = 10\frac{\text{m}}{\text{s}}\). Занемарујући отпор ваздуха, израчунати брзину коју ће лопта имати на висини \(h_2 = 6{,}2\text{ m}\). Узети \(g = 10\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\).
На лопту делује само сила теже, па важи закон одржања механичке енергије:
\[ E_1 = E_2 \implies E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2} \]
\[ \frac{mv_1^2}{2} + mgh_1 = \frac{mv_2^2}{2} + mgh_2 \]
Дељењем целе једначине са масом \(m\) добијамо:
\[ \frac{v_1^2}{2} + gh_1 = \frac{v_2^2}{2} + gh_2 \]
Уврштавањем бројних вредности:
\[ \frac{10^2}{2} + 10 \cdot 3 = \frac{v_2^2}{2} + 10 \cdot 6{,}2 \]
\[ 50 + 30 = \frac{v_2^2}{2} + 62 \]
\[ 80 = \frac{v_2^2}{2} + 62 \implies \frac{v_2^2}{2} = 80 - 62 = 18 \]
\[ v_2^2 = 36 \implies v_2 = 6\frac{\text{m}}{\text{s}} \]
Одговор: Брзина лопте на висини од \(6{,}2\text{ m}\) износи \(6\frac{\text{m}}{\text{s}}\).
