Најважније из лекције
Нула као сабирак и умањилац: за сваки број \( n \) из скупа \( \mathbb{N}_0 \) важи \( n + 0 = 0 + n = n \) и \( n - 0 = n \) — додавање и одузимање нуле не мењају број.
Сталност збира: ако један сабирак увећамо за неки број, а други умањимо за исти тај број, збир се не мења: из \( a + b = z \) следи \( (a + c) + (b - c) = z \).
Ово својство користимо да један сабирак допунимо до округлог броја (стотине или хиљаде) и тако лакше израчунамо збир, нпр. \( (1\,196 + 4) + (546 - 4) = 1\,200 + 542 = 1\,742 \).
Сталност збира: ако један сабирак увећамо за неки број, а други умањимо за исти тај број, збир се не мења: из \( a + b = z \) следи \( (a + c) + (b - c) = z \).
Ово својство користимо да један сабирак допунимо до округлог броја (стотине или хиљаде) и тако лакше израчунамо збир, нпр. \( (1\,196 + 4) + (546 - 4) = 1\,200 + 542 = 1\,742 \).
Када неком броју додамо нулу, тај број се не мења. Исто важи и када нули додамо неки број — резултат је опет тај број.
За сваки број \( n \) из скупа \( \mathbb{N}_0 \) важи:
\[ n + 0 = 0 + n = n \]
\[ 9\,994 + 0 = 9\,994 \]
\[ 0 + 17\,999 = 17\,999 \]
\[ 902\,007 + 0 = 902\,007 \]
Када од неког броја одузмемо нулу, тај број се не мења.
У одузимању \( \text{умањеник} - \text{умањилац} = \text{разлика} \) нула је овде умањилац (број који одузимамо).
За сваки број \( n \) из скупа \( \mathbb{N}_0 \) важи:
\[ n - 0 = n \]
\[ 9\,994 - 0 = 9\,994 \]
\[ 81\,589 - 0 = 81\,589 \]
\[ 517\,063 - 0 = 517\,063 \]
Збир се неће променити ако један сабирак увећамо за неки број, а други сабирак умањимо за исти тај број. Ово својство сабирања назива се сталност збира.
Ако је \( a + b = z \), онда важи:
\[ (a + c) + (b - c) = z \]
\[ (a - c) + (b + c) = z \]
где су \( a, b, c \) бројеви из скупа \( \mathbb{N}_0 \) (за прво правило мора бити \( b > c \), а за друго \( a > c \)).
Рачунамо \( 1\,196 + 546 \). Први сабирак увећамо за \( 4 \), а други умањимо за \( 4 \):
\[ (1\,196 + 4) + (546 - 4) = 1\,200 + 542 = 1\,742 \]
Провера без промене: \( 1\,196 + 546 = 1\,742 \). Збир је исти, а рачунање је лакше јер смо добили округао број \( 1\,200 \).
Помоћу сталности збира један сабирак „допунимо" до округлог броја (стотине или хиљаде), а исти толико одузмемо од другог сабирка. Тако сабирање постаје једноставније.
Саберемо \( 18\,994 \) и \( 3\,980 \). Први сабирак допунимо до \( 19\,000 \) (увећамо за \( 6 \)), па други умањимо за \( 6 \):
\[ (18\,994 + 6) + (3\,980 - 6) = 19\,000 + 3\,974 = 22\,974 \]
Задаци за вежбање
Лак задатак: Израчунај: \( 902\,007 + 0 \) и \( 517\,063 - 0 \).
Додавање нуле и одузимање нуле не мењају број:
\[ 902\,007 + 0 = 902\,007 \]
\[ 517\,063 - 0 = 517\,063 \]
Одговор: \( 902\,007 \) и \( 517\,063 \).
Средњи задатак: Примени сталност збира да лакше израчунаш \( 1\,196 + 546 \). Први сабирак увећај за \( 4 \), а други умањи за \( 4 \).
\[ (1\,196 + 4) + (546 - 4) = 1\,200 + 542 \]
\[ 1\,200 + 542 = 1\,742 \]
Одговор: \( 1\,196 + 546 = 1\,742 \).
Тежак задатак: Применом сталности збира израчунај збир бројева \( 180\,636 \) и \( 1\,992 \).
Други сабирак \( 1\,992 \) допунимо до округлог броја \( 2\,000 \) (увећамо за \( 8 \)), па први сабирак умањимо за \( 8 \):
\[ (180\,636 - 8) + (1\,992 + 8) = 180\,628 + 2\,000 \]
\[ 180\,628 + 2\,000 = 182\,628 \]
Одговор: \( 180\,636 + 1\,992 = 182\,628 \).
