Најважније из лекције
Кључна правила за рад са великим бројевима:
- Потписивање: Бројеви се обавезно поравнавају са десне стране. Јединице морају бити испод јединица, десетице испод десетица, стотине хиљада испод стотина хиљада итд.
- Смер рачунања: Увек се рачуна здесна налево.
- Пренос (сабирање): Ако је збир у једној колони већи од 9, десетице се преносе у следећу колону улево.
- Позајмљивање (одузимање): Ако је цифра горе мања од цифре доле, "позајмљује" се 1 од прве цифре са леве стране (што вреди као 10 у тренутној колони). Обратити пажњу када се позајмљује преко нуле.
Сабирање вишецифрених бројева врши се тако што се бројеви потпишу један испод другог. Веома је важно да се цифре истих месних вредности налазе у истој колони (јединице испод јединица, десетице испод десетица, милиони испод милиона итд.).
Правилно потпиши бројеве поравнавајући их са десне стране.
Сабирање увек започни са десне стране (од јединица) ка левој.
Ако је збир цифара у једној колони 10 или већи, јединице тог збира пишеш у ту колону, а десетице (пренос) додајеш колони са леве стране.
Пример сабирања бројева \( 41\,394\,320 \) и \( 50\,295\,520 \):
Месне вредности можемо приказати у табели:
(СМ - стотине милиона, ДМ - десетице милиона, ЈМ - јединице милиона, СХ - стотине хиљада, ДХ - десетице хиљада, ЈХ - јединице хиљада, С - стотине, Д - десетице, Ј - јединице)
Краћи запис потписивањем (са преносом изнад): \[ \begin{array}{r@{\quad}l} & \phantom{+} \overset{1}{4}1\,394\,320 \\ + & \underline{\phantom{0}50\,295\,520} \\ & \phantom{+} 91\,689\,840 \end{array} \]
Месне вредности можемо приказати у табели:
| СМ | ДМ | ЈМ | СХ | ДХ | ЈХ | С | Д | Ј |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 1 | 3 | 9 | 4 | 3 | 2 | 0 | |
| + | 5 | 0 | 2 | 9 | 5 | 5 | 2 | 0 |
| 9 | 1 | 6 | 8 | 9 | 8 | 4 | 0 |
Краћи запис потписивањем (са преносом изнад): \[ \begin{array}{r@{\quad}l} & \phantom{+} \overset{1}{4}1\,394\,320 \\ + & \underline{\phantom{0}50\,295\,520} \\ & \phantom{+} 91\,689\,840 \end{array} \]
Израчунај збир: \( 1\,999\,777 + 24\,888 \).
Потписујемо бројеве и сабирамо здесна налево, пазећи на пренос:
\[
\begin{array}{r@{\quad}l}
& \phantom{+} \overset{1}{1}\,\overset{1}{9}\overset{1}{9}\overset{1}{9}\,\overset{1}{7}\overset{1}{7}7 \\
+ & \underline{\phantom{000}24\,888} \\
& \phantom{+} 2\,024\,665
\end{array}
\]
Одговор: Збир је \( 2\,024\,665 \).
Као и код сабирања, умањеник и умањилац се потписују један испод другог, строго поштујући месне вредности (поравнање са десне стране).
Потпиши умањилац испод умањеника.
Одузимај колону по колону, почевши са десне стране према левој.
Ако је цифра умањеника у некој колони мања од цифре умањиоца, врши се "позајмљивање" једне јединице из прве суседне колоне са леве стране (та јединица вреди 10 јединица у колони коју тренутно рачунаш).
Пример одузимања бројева \( 50\,295\,520 \) и \( 41\,394\,320 \):
Приликом одузимања код стотина хиљада (СХ) имамо 2 - 3, што не може. Позајмљујемо од јединица милиона (ЈМ), где је 0, па морамо прво да позајмимо од десетица милиона (ДМ). Тако десетице милиона постају 4, јединице милиона постају 9, а стотине хиљада постају 12. \[ \begin{array}{r@{\quad}l} & \phantom{-} \overset{4}{5}\overset{9}{0}\overset{12}{2}95\,520 \\ - & \underline{\phantom{0}41\,394\,320} \\ & \phantom{-0}8\,901\,200 \end{array} \]
Приликом одузимања код стотина хиљада (СХ) имамо 2 - 3, што не може. Позајмљујемо од јединица милиона (ЈМ), где је 0, па морамо прво да позајмимо од десетица милиона (ДМ). Тако десетице милиона постају 4, јединице милиона постају 9, а стотине хиљада постају 12. \[ \begin{array}{r@{\quad}l} & \phantom{-} \overset{4}{5}\overset{9}{0}\overset{12}{2}95\,520 \\ - & \underline{\phantom{0}41\,394\,320} \\ & \phantom{-0}8\,901\,200 \end{array} \]
Број \( 25\,541\,305 \) умањи за \( 123\,899 \).
\[
\begin{array}{r@{\quad}l}
& \phantom{-} 25\,5\overset{3}{4}\overset{10}{1}\,\overset{12}{3}\overset{9}{0}\overset{15}{5} \\
- & \underline{\phantom{000}123\,899} \\
& \phantom{-} 25\,417\,406
\end{array}
\]
Одговор: Добијена разлика је \( 25\,417\,406 \).
Задаци за вежбање
Лаки ниво: Израчунај збир бројева \( 123\,456\,789 \) и \( 12\,345\,678 \).
Потписујемо бројеве правилно са десне стране:
\[
\begin{array}{r@{\quad}l}
& \phantom{+} 123\,456\,789 \\
+ & \underline{\phantom{0}12\,345\,678} \\
& \phantom{+} 135\,802\,467
\end{array}
\]
Средњи ниво: Разлику бројева \( 13\,865\,209 \) и \( 4\,925\,371 \) увећај за \( 1\,900\,000 \).
Прво рачунамо разлику датих бројева:
\[
\begin{array}{r@{\quad}l}
& \phantom{-} 13\,865\,209 \\
- & \underline{\phantom{0}4\,925\,371} \\
& \phantom{-0}8\,939\,838
\end{array}
\]
Затим добијену разлику увећавамо (сабирамо) за дати број:
\[
\begin{array}{r@{\quad}l}
& \phantom{+} 8\,939\,838 \\
+ & \underline{\phantom{0}1\,900\,000} \\
& \phantom{+} 10\,839\,838
\end{array}
\]
Одговор: Коначан резултат је \( 10\,839\,838 \).
Тежи ниво: Израчунај збир и разлику највећег осмицифреног парног броја и највећег шестоцифреног непарног броја.
Прво морамо одредити који су то бројеви:
- Највећи осмицифрени парни број: \( 99\,999\,998 \)
- Највећи шестоцифрени непарни број: \( 999\,999 \)
