Најважније из лекције
- Једнаки имениоци: Именилац се преписује, а бројиоци се сабирају или одузимају. (Пример: \( \frac{5}{7} - \frac{2}{7} = \frac{3}{7} \))
- Различити имениоци: Разломци се прво доводе на исти именилац (проширивањем до НЗС), па се тек онда сабирају или одузимају. (Пример: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \))
- Природни бројеви: Записују се као разломци са имениоцем 1 (\( 3 = \frac{3}{1} \)). Код сабирања са разломком, збир се може одмах записати као мешовити број (\( 4 + \frac{1}{5} = 4\frac{1}{5} \)).
- Веза операција: Као и код природних бројева, одузимањем једног сабирка од збира добијамо други сабирак, а сабирањем разлике и умањиоца добијамо умањеник.
Када се сабирају или одузимају разломци са једнаким имениоцима:
- именилац остаје исти (преписује се),
- бројиоци се саберу или одузму.
\[ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c} \]
\[ \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c} \]
Да би одузимање било изводљиво, умањеник мора бити већи од умањиоца или једнак њему. Разлика два једнака разломка је нула (\( \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0 \)).
Сабирање: \( \frac{5}{9} + \frac{2}{9} = \frac{7}{9} \)
Одузимање: \( \frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{3}{9} \)
Одузимање: \( \frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{3}{9} \)
Израчунај разлику: \( \frac{8}{11} - \frac{5}{11} \)
Именилац преписујемо, а бројиоце одузимамо:
\[ \frac{8}{11} - \frac{5}{11} = \frac{8 - 5}{11} = \frac{3}{11} \]
Разломци који имају различите имениоце сабирају се или одузимају тако што се прво, проширивањем или скраћивањем, доводе до једнаких именилаца (најчешће тражењем НЗС), а затим се сабирају или одузимају.
Сабирање: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \)
Најмањи заједнички садржалац за 3 и 2 је 6. Први разломак проширујемо са 2, а други са 3: \[ \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6} \]
Најмањи заједнички садржалац за 3 и 2 је 6. Први разломак проширујемо са 2, а други са 3: \[ \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6} \]
Одузимање: \( \frac{3}{4} - \frac{2}{5} \)
Најмањи заједнички садржалац за 4 и 5 је 20: \[ \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} - \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{15}{20} - \frac{8}{20} = \frac{7}{20} \]
Најмањи заједнички садржалац за 4 и 5 је 20: \[ \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} - \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{15}{20} - \frac{8}{20} = \frac{7}{20} \]
Израчунај: \( \frac{5}{6} - \frac{1}{4} \)
НЗС за 6 и 4 је 12. Први разломак проширујемо са 2, а други са 3.
\[ \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \]
Мешовити број је краћи запис збира природног броја и правог разломка, код којег се изоставља знак плус (нпр. \( 2\frac{5}{7} \)).
Збир природног броја и правог разломка директно записујемо као мешовити број, или претварамо у неправилан разломак:
\[ 2 + \frac{5}{7} = 2\frac{5}{7} \]
Детаљно: \( \frac{2}{1} + \frac{5}{7} = \frac{14}{7} + \frac{5}{7} = \frac{19}{7} \)
Природни број записујемо као разломак са имениоцем 1, затим га проширујемо да бисмо изједначили имениоце и на крају одузимамо.
\[ 3 - \frac{2}{5} = \frac{3}{1} - \frac{2}{5} = \frac{15}{5} - \frac{2}{5} = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} \]
Израчунај: \( 5 - \frac{3}{4} \)
\[ \frac{5}{1} - \frac{3}{4} = \frac{20}{4} - \frac{3}{4} = \frac{17}{4} = 4\frac{1}{4} \]
Као и код природних бројева, за разломке важе следећа правила:
- Збир разлике и умањиоца једнак је умањенику.
- Разлика збира и једног сабирка једнака је другом сабирку.
Ако је \( \frac{6}{7} - \frac{2}{7} = \frac{4}{7} \), онда је \( \frac{4}{7} + \frac{2}{7} = \frac{6}{7} \).
Ако је \( \frac{5}{9} + \frac{2}{9} = \frac{7}{9} \), онда је \( \frac{7}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5}{9} \).
Ако је \( \frac{5}{9} + \frac{2}{9} = \frac{7}{9} \), онда је \( \frac{7}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5}{9} \).
Задаци за вежбање
Лаки ниво: Израчунај збир и разлику датих разломака:
а) \( \frac{3}{8} + \frac{1}{8} \)
б) \( \frac{7}{10} - \frac{3}{10} \)
а) \( \frac{3}{8} + \frac{1}{8} \)
б) \( \frac{7}{10} - \frac{3}{10} \)
Пошто су имениоци једнаки, рачунамо само бројиоце:
а) \( \frac{3 + 1}{8} = \frac{4}{8} \) (што се може скратити у \( \frac{1}{2} \))
б) \( \frac{7 - 3}{10} = \frac{4}{10} \) (што се може скратити у \( \frac{2}{5} \))
а) \( \frac{3 + 1}{8} = \frac{4}{8} \) (што се може скратити у \( \frac{1}{2} \))
б) \( \frac{7 - 3}{10} = \frac{4}{10} \) (што се може скратити у \( \frac{2}{5} \))
Средњи ниво: Израчунај вредност израза \( \frac{7}{9} - \frac{1}{6} \).
Тражимо НЗС за 9 и 6, што је 18. Први разломак проширујемо са 2, а други са 3:
\[ \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{14}{18} - \frac{3}{18} = \frac{11}{18} \]
Средњи ниво: Израчунај збир: \( 4 + \frac{2}{3} \) и разлику: \( 2 - \frac{1}{5} \).
Збир: \( 4 + \frac{2}{3} = 4\frac{2}{3} \) (или претворено у неправилан разломак: \( \frac{12}{3} + \frac{2}{3} = \frac{14}{3} \))
Разлика: \( \frac{2}{1} - \frac{1}{5} = \frac{10}{5} - \frac{1}{5} = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} \)
Разлика: \( \frac{2}{1} - \frac{1}{5} = \frac{10}{5} - \frac{1}{5} = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} \)
Тешки ниво: Користећи везу између сабирања и одузимања, одреди непознати разломак \( x \) ако важи:
\[ x + \frac{1}{3} = \frac{4}{5} \]
Разлика збира и познатог сабирка даје непознати сабирак:
\[ x = \frac{4}{5} - \frac{1}{3} \]
НЗС за 5 и 3 је 15.
\[ x = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} \]
\[ x = \frac{12}{15} - \frac{5}{15} \]
\[ x = \frac{7}{15} \]
