Најважније из лекције
Потписивање: Код сабирања и одузимања децималних бројева, запета мора бити тачно испод запете. Недостајуће децимале по потреби допуњујемо нулама (нпр. \( 5 - 1,24 = 5,00 - 1,24 = 3,76 \)).
Својства сабирања: Важе закон комутативности (\( a + b = b + a \)) и асоцијативности (\( (a + b) + c = a + (b + c) \)). Број \( 0 \) је неутрални елемент (\( a + 0 = a \)).
Сталност збира: \( (a + c) + (b - c) = a + b \).
Сталност разлике: \( (a \pm c) - (b \pm c) = a - b \).
Својства сабирања: Важе закон комутативности (\( a + b = b + a \)) и асоцијативности (\( (a + b) + c = a + (b + c) \)). Број \( 0 \) је неутрални елемент (\( a + 0 = a \)).
Сталност збира: \( (a + c) + (b - c) = a + b \).
Сталност разлике: \( (a \pm c) - (b \pm c) = a - b \).
Децималне бројеве сабирамо потписивањем тако што цифре истих месних вредности и децималне запете записујемо тачно једне испод других.
Бројеве потписујемо тако да децимална запета другог сабирка буде тачно испод децималне запете првог сабирка.
Уколико бројеви немају једнак број децималних места, са десне стране децималног записа можемо дописати потребан број нула (вредност броја се тиме не мења).
Бројеве сабирамо с десна налево, као што сабирамо природне бројеве. Уколико је збир цифара на некој позицији већи од 9, вишак десетица преносимо на следеће место улево.
У резултату (збиру) децималну запету постављамо на исто место – тачно испод децималних запета сабирака.
\[
\begin{array}{r@{\,}l}
4,&26 \\
+\; 3,&70 \\
\hline
7,&96
\end{array}
\qquad\qquad
\begin{array}{r@{\,}l}
13,&500 \\
+\; 4,&654 \\
\hline
18,&154
\end{array}
\]
Израчунај збир бројева \( 25,53 \) и \( 51,25 \).
Потпишемо бројеве тако да запета буде испод запете:
\[
\begin{array}{r@{\,}l}
25,&53 \\
+\; 51,&25 \\
\hline
76,&78
\end{array}
\]
Збир је \( 76,78 \).
Децималне бројеве одузимамо тако што умањилац потпишемо испод умањеника тако да децимална запета буде тачно испод запете, а затим одузимамо цифре истих месних вредности.
Када умањеник има мање децимала од умањиоца (или је умањеник цео број), обавезно дописујемо нуле на крају децималног дела како бисмо правилно извршили одузимање са позајмљивањем!
Потписујемо умањилац испод умањеника (запета испод запете) и дописујемо нуле здесна ако умањеник има мање децимала.
Одузимамо здесна налево. Ако је цифра умањеника мања од цифре умањиоца, од цифре са претходног места улево „позајмљујемо” 1 десетицу (као код природних бројева).
У резултату (разлици) постављамо децималну запету испод запета умањеника и умањиоца.
\[
\begin{array}{r@{\,}l}
3,&80 \\
-\; 1,&25 \\
\hline
2,&55
\end{array}
\qquad\qquad
\begin{array}{r@{\,}l}
158,&00 \\
-\; 37,&99 \\
\hline
120,&01
\end{array}
\]
Израчунај вредност разлике \( 41,39 - 24,17 \).
\[
\begin{array}{r@{\,}l}
41,&39 \\
-\; 24,&17 \\
\hline
17,&22
\end{array}
\]
Разлика је \( 17,22 \).
Комутативност сабирања: Збир се не мења ако сабирци замене места.
\[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b} \]
Асоцијативност сабирања: Збир се не мења различитим груписањем сабирака.
\[ \frac{a}{b} + \left( \frac{c}{d} + \frac{e}{f} \right) = \left( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} \right) + \frac{e}{f} \]
Неутрални елемент: Број \( 0 \) је неутрални елемент за сабирање разломака, јер додавањем нуле разломак остаје непромењен:
\[ \frac{a}{b} + 0 = 0 + \frac{a}{b} = \frac{a}{b} \quad \text{и} \quad \frac{a}{b} - 0 = \frac{a}{b} \]
Када се од неког разломка одузме тај исти разломак, разлика је једнака нули:
\[ \frac{a}{b} - \frac{a}{b} = 0 \]
Сваки мешовити број представља збир целог дела и разломка: \( 2\frac{3}{5} = 2 + \frac{3}{5} \).
Промене збира:
- Ако се један сабирак увећа (умањи) за неки број, и збир се увећа (умањи) за тај број.
- Сталност збира: Ако се један сабирак увећа за неки број, а други сабирак умањи за исти тај број, збир се не мења: \[ (a + c) + (b - c) = a + b \]
Промене разлике:
- Ако се умањеник увећа (умањи) за неки број, разлика се увећа (умањи) за тај број.
- Ако се умањилац увећа за неки број, разлика се умањи за тај број (и обратно: ако се умањилац умањи, разлика се увећа).
- Сталност разлике: Разлика се не мења ако се и умањеник и умањилац увећају или умање за исти број: \[ (a + c) - (b + c) = a - b \qquad (a - c) - (b - c) = a - b \]
Примена сталности разлике олакшава одузимање:
\[ 7,4 - 2,9 = (7,4 + 0,1) - (2,9 + 0,1) = 7,5 - 3 = 4,5 \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај вредност збира: \( 7,35 + 14,8 \).
Допишемо нулу броју \( 14,8 \) да би имао две децимале, па потпишемо запету испод запете:
\[
\begin{array}{r@{\,}l}
7,&35 \\
+\; 14,&80 \\
\hline
22,&15
\end{array}
\]
Одговор: \( 22,15 \).
Задатак 2 (лак): Израчунај разлику: \( 20 - 6,43 \).
Број \( 20 \) записујемо као децимални број \( 20,00 \):
\[
\begin{array}{r@{\,}l}
20,&00 \\
-\;\; 6,&43 \\
\hline
13,&57
\end{array}
\]
Одговор: \( 13,57 \).
Задатак 3 (средњи): Применом својстава сабирања израчунај збир на најједноставнији начин:
\[ 4,28 + 9,6 + 5,72 \]
Користећи комутативност и асоцијативност, здружимо сабирке чији децимални делови дају цео број (\( 0,28 + 0,72 = 1 \)):
\[ (4,28 + 5,72) + 9,6 = 10 + 9,6 = 19,6 \]
Одговор: \( 19,6 \).
Задатак 4 (тежак): Разлика два броја износи \( 15,4 \). Колика ће бити нова разлика ако:
а) умањеник увећамо за \( 4,2 \);
б) умањилац увећамо за \( 3,1 \);
в) и умањеник и умањилац умањимо за \( 1,8 \)?
а) умањеник увећамо за \( 4,2 \);
б) умањилац увећамо за \( 3,1 \);
в) и умањеник и умањилац умањимо за \( 1,8 \)?
а) Увећање умањеника за \( 4,2 \) увећава разлику за тај исти број:
\[ 15,4 + 4,2 = 19,6 \]
б) Увећање умањиоца за \( 3,1 \) умањује разлику:
\[ 15,4 - 3,1 = 12,3 \]
в) На основу правила о сталности разлике, када се оба броја умање за исти износ, разлика се не мења:
\[ \text{Разлика остаје } 15,4 \]
