Најважније из лекције
Разломци и децимални бројеви: Разломак \(\frac{a}{b} = a : b\) представља дељење. Прави разломак (\(a < b\)) је мањи од 1, а неправи (\(a \ge b\)) се претвара у мешовити број \(q\frac{r}{b}\). Разломак је у децималном запису коначан ако именилац несводљивог разломка садржи само факторе 2 и 5, а у супротном је бесконачан периодичан.
Операције:
Средина, размера и проценти: Аритметичка средина је \(\frac{x_1 + \dots + x_n}{n}\). Размера \(a : b\) упоређује истоимене величине. Проценат је стоти део целине: \(p\% = \frac{p}{100}\) (нпр. \(25\% = \frac{1}{4} = 0,25\)).
Операције:
- Сабирање и одузимање: свођење на исти именилац помоћу \(\text{НЗС}\); код децималних потписивање „запета испод запете”.
- Множење: \(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\) (уз обавезно унакрсно скраћивање пре множења).
- Дељење: множење реципрочним разломком \(\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}\); двојни разломак: \(\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{ad}{bc}\).
Средина, размера и проценти: Аритметичка средина је \(\frac{x_1 + \dots + x_n}{n}\). Размера \(a : b\) упоређује истоимене величине. Проценат је стоти део целине: \(p\% = \frac{p}{100}\) (нпр. \(25\% = \frac{1}{4} = 0,25\)).
Разломак описује делове неке целине. Записује се помоћу два броја и разломачке црте: \(\frac{a}{b}\).
Именилац (\(b\)) означава на колико је једнаких делова целина подељена (\(b \neq 0\)).
Бројилац (\(a\)) означава колико је таквих делова узето.
Разломак је количник бројиоца и имениоца, а разломачка црта представља симбол за дељење:
\[ \frac{a}{b} = a : b \quad (a \in \mathbb{N}_0, b \in \mathbb{N}) \]
Сваки природан број \(n\) може се записати као разломак: \(n = \frac{n}{1}\), док је \(\frac{0}{n} = 0\) и \(\frac{n}{n} = 1\).
Разломак је прави ако је бројилац мањи од имениоца (\(a < b\)). Његова вредност је мања од 1.
Разломак је неправи ако је бројилац већи или једнак имениоцу (\(a \ge b\)). Његова вредност је већа или једнака 1.
Мешовити број приказује цео део и прави разломак:
\[ \frac{a}{b} = q\frac{r}{b} \quad (a : b = q \text{ са остатком } r) \]
Претварање мешовитог броја у неправи разломак:
\[ q\frac{r}{b} = \frac{q \cdot b + r}{b} \]
\(\frac{17}{5} = 3\frac{2}{5}\) јер је \(17 : 5 = 3\) (остатак \(2\)).
\(2\frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{17}{7}\).
\(2\frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{17}{7}\).
Запишите неправи разломак \(\frac{29}{6}\) као мешовити број, а мешовити број \(4\frac{3}{8}\) као неправи разломак.
\(29 : 6 = 4\) (остатак \(5\)) \(\implies \frac{29}{6} = 4\frac{5}{6}\).
\(4\frac{3}{8} = \frac{4 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{35}{8}\).
\(4\frac{3}{8} = \frac{4 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{35}{8}\).
Проширивање: Бројилац и именилац се множе истим природним бројем \(n > 1\). Вредност разломка остаје непромењена:
\[ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \]
Скраћивање: Бројилац и именилац се деле заједничким делиоцем \(n > 1\):
\[ \frac{a}{b} = \frac{a : n}{b : n} \]
Разломак \(\frac{a}{b}\) је несводљив ако су бројилац и именилац узајамно прости, односно \(\text{НЗД}(a, b) = 1\). Најбрже се добија скраћивањем са \(\text{НЗД}(a, b)\).
Два разломка су једнака ако и само ако важи:
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c \]
Правила упоређивања:
- Једнаки имениоци: већи је онај са већим бројиоцем (\(a < b \implies \frac{a}{c} < \frac{b}{c}\)).
- Једнаки бројиоци: већи је онај са мањим имениоцем (\(a < b \implies \frac{c}{a} > \frac{c}{b}\)).
- Различити бројиоци и имениоци: разломци се проширивањем своде на заједнички именилац (најбоље \(\text{НЗС}\)) или заједнички бројилац.
На бројевној полуправој прави разломци се увек налазе на јединичној дужи између \(0\) и \(1\). Мањи бројеви се налазе лево, а већи десно.
Упоредите разломке \(\frac{5}{6}\) и \(\frac{7}{9}\).
Одређујемо \(\text{НЗС}(6, 9) = 18\).
\(\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{15}{18}\), а \(\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{14}{18}\).
Пошто је \(\frac{15}{18} > \frac{14}{18}\), следи \(\frac{5}{6} > \frac{7}{9}\).
\(\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{15}{18}\), а \(\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{14}{18}\).
Пошто је \(\frac{15}{18} > \frac{14}{18}\), следи \(\frac{5}{6} > \frac{7}{9}\).
Децимални разломци су разломци чији су имениоци декадне јединице (\(10, 100, 1000, \dots\)). Записују се помоћу децималне запете, где цифре десно од запете представљају децимале (десети, стоти, хиљадити део...).
Дописивање или изостављање нула са десне стране децималног броја не мења његову вредност: \(0,7 = 0,70 = 0,700\).
Коначан или бесконачан децимални запис:
- Ако несводљив разломак у имениоцу има као просте чиниоце само бројеве 2 и 5, његов децимални запис је коначан. Добија се проширивањем до декадне јединице или дељењем бројиоца имениоцем.
- Ако именилац садржи и друге просте чиниоце, запис је бесконачан периодичан: \(\frac{1}{3} = 0,333\dots = 0,(3)\).
Заокруглити број на одређену позицију значи одредити му приближну вредност (\(\approx\)):
- Ако је прва одбачена цифра \(0, 1, 2, 3\) или \(4\), последња задржана цифра остаје иста.
- Ако је прва одбачена цифра \(6, 7, 8\) или \(9\), последња задржана цифра повећава се за 1.
- Ако је прва одбачена цифра \(5\) и иза ње има још цифара различитих од нуле, последња задржана цифра повећава се за 1.
- Ако је прва одбачена цифра тачно \(5\) (без даљих цифара): ако је цифра испред парна, она остаје непромењена; ако је непарна, повећава се за 1.
Заокруглите број \(4,735\) и број \(4,765\) на две децимале.
Код \(4,735\) прва одбачена цифра је \(5\), а испред је непарна цифра \(3\), па се повећава: \(4,735 \approx 4,74\).
Код \(4,765\) прва одбачена цифра је \(5\), а испред је парна цифра \(6\), па остаје непромењена: \(4,765 \approx 4,76\).
Код \(4,765\) прва одбачена цифра је \(5\), а испред је парна цифра \(6\), па остаје непромењена: \(4,765 \approx 4,76\).
Исти имениоци:
\[ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}, \qquad \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c} \quad (a \ge b) \]
Различити имениоци: разломци се прво прошире до заједничког имениоца (\(\text{НЗС}\)), па се онда саберу/одузму.
Мешовити бројеви се могу претворити у неправе разломке, или се сабирају/одузимају посебно цели делови, а посебно разломљени делови.
Код одузимања, ако је разломљени део умањиоца већи од разломљеног дела умањеника, „позајмљујемо” једно цело из целог дела: \[ 5\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4} = 4\frac{5}{4} - 2\frac{3}{4} = 2\frac{2}{4} = 2\frac{1}{2} \]
Код одузимања, ако је разломљени део умањиоца већи од разломљеног дела умањеника, „позајмљујемо” једно цело из целог дела: \[ 5\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4} = 4\frac{5}{4} - 2\frac{3}{4} = 2\frac{2}{4} = 2\frac{1}{2} \]
Децимални бројеви: Сабирају се и одузимају потписивањем тако да децимална запета буде строго испод децималне запете. По потреби се са десне стране дописују нуле ради поравнања.
Својства:
- Комутативност: \(a + b = b + a\)
- Асоцијативност: \((a + b) + c = a + (b + c)\)
- Неутрални елемент: \(a + 0 = a\), \(a - 0 = a\), \(a - a = 0\)
Израчунајте: \(3\frac{1}{6} - 1\frac{3}{4}\).
\(\text{НЗС}(6, 4) = 12\).
\(3\frac{1}{6} - 1\frac{3}{4} = 3\frac{2}{12} - 1\frac{9}{12} = 2\frac{14}{12} - 1\frac{9}{12} = 1\frac{5}{12}\).
\(3\frac{1}{6} - 1\frac{3}{4} = 3\frac{2}{12} - 1\frac{9}{12} = 2\frac{14}{12} - 1\frac{9}{12} = 1\frac{5}{12}\).
Множење разломака:
\[ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \]
Пре множења врши се унакрсно скраћивање. Мешовити бројеви се обавезно преводе у неправе разломке.
Реципрочна вредност: За разломак \(\frac{a}{b}\) (\(a, b \neq 0\)), реципрочна вредност је \(\frac{b}{a}\), јер је \(\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1\). За природан број \(n\), реципрочна вредност је \(\frac{1}{n}\).
Дељење разломака: Дељење је множење реципрочном вредношћу делиоца:
\[ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \]
Двојни разломак: Количник два разломка:
\[ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \quad \left(\frac{\text{производ спољашњих}}{\text{производ унутрашњих}}\right) \]
Операције са децималним бројевима:
- Множење декадном јединицом: запета се помера удесно за онолико места колико декадна јединица има нула (\(2,35 \cdot 10 = 23,5\)).
- Дељење декадном јединицом: запета се помера улево (\(23,5 : 100 = 0,235\)).
- Множење два децимална броја: помноже се бројеви без запете, а производ има збир децимала оба чиниоца.
- Дељење децималних бројева: проширују се и дељеник и делилац са \(10, 100, \dots\) тако да делилац постане цео број (\(4,8 : 0,12 = 480 : 12 = 40\)).
Израчунајте вредност двојног разломка \(\frac{\frac{4}{9}}{\frac{8}{15}}\).
\(\frac{\frac{4}{9}}{\frac{8}{15}} = \frac{4 \cdot 15}{9 \cdot 8}\).
Скраћивањем \(4\) и \(8\) са \(4\) (остају \(1\) и \(2\)), а \(15\) и \(9\) са \(3\) (остају \(5\) и \(3\)): \[ \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6} \]
Скраћивањем \(4\) и \(8\) са \(4\) (остају \(1\) и \(2\)), а \(15\) и \(9\) са \(3\) (остају \(5\) и \(3\)): \[ \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6} \]
- Непознати сабирак: \(x + a = b \implies x = b - a\)
- Непознати умањеник: \(x - a = b \implies x = b + a\)
- Непознати умањилац: \(a - x = b \implies x = a - b\)
- Непознати чинилац: \(a \cdot x = b \implies x = b : a\)
- Непознати дељеник: \(x : a = b \implies x = b \cdot a\)
- Непознати делилац: \(a : x = b \implies x = a : b\)
Неједначине – понашање знака неједнакости:
- Знак неједнакости остаје исти код непознатог сабирка, умањеника, чиниоца и дељеника.
- Знак неједнакости се окреће (мења) код:
- Непознатог умањиоца: \(a - x < b \implies x > a - b\) (уз услов \(x \le a\))
- Непознатог делиоца: \(a : x < b \implies x > a : b\) (уз услов \(x > 0\))
При решавању неједначина у скупу позитивних разломака мора се водити рачуна о условима дефинисаности (израз не сме бити мањи од нуле и нулом се не дели).
Решите неједначину: \(2,4 : x > 0,8\).
Непознат је делилац, па долази до окретања знака неједнакости:
\[ x < 2,4 : 0,8 \implies x < 3 \]
Пошто делилац мора бити строго већи од нуле (\(x > 0\)), скуп решења је:
\[ 0 < x < 3 \]
Аритметичка средина више бројева једнака је количнику њиховог збира и броја сабирака:
\[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \]
За два броја \(a\) и \(b\):
\[ \bar{x} = \frac{a + b}{2} \]
Аритметичка средина се увек налази између најмањег и највећег од датих бројева:
\[ x_{\text{min}} \le \bar{x} \le x_{\text{max}} \]
На бројевној полуправој, аритметичка средина два броја представља тачно средиште дужи чији су крајеви те две тачке.
Просечна маса три пакета износи \(4,2\text{ kg}\). Ако су масе прва два пакета \(3,8\text{ kg}\) и \(4,5\text{ kg}\), колика је маса трећег пакета?
Нека је \(x\) маса трећег пакета.
\[ \frac{3,8 + 4,5 + x}{3} = 4,2 \]
\[ 8,3 + x = 4,2 \cdot 3 = 12,6 \]
\[ x = 12,6 - 8,3 = 4,3\text{ kg} \]
Размера бројева \(a\) и \(b\) (\(b \neq 0\)) је њихов количник \(a : b\). Вредност размере је разломак \(\frac{a}{b}\).
Размера истоимених величина може се одредити само ако су изражене истим мерним јединицама (размера је неименован број).
Када се величина \(S\) дели у размери \(m : n\):
- Одреди се укупан број једнаких делова: \(k = m + n\).
- Израчуна се вредност једног дела: \(d = S : k\).
- Делови износе: \(m \cdot d\) и \(n \cdot d\).
Проценат (\(\%\)) означава стоти део целине:
\[ p\% = \frac{p}{100} = 0,01 \cdot p \]
Важни проценти: \(50\% = \frac{1}{2}\), \(25\% = \frac{1}{4}\), \(20\% = \frac{1}{5}\), \(10\% = \frac{1}{10}\), \(100\% = 1\).
Промена цена:
- Поскупљење за \(p\%\): нова вредност је \((100 + p)\%\) почетне вредности.
- Снижење за \(p\%\): нова вредност је \((100 - p)\%\) почетне вредности.
Јакна која је коштала \(6\,000\) динара прво је појефтинила за \(20\%\), а затим је нова цена снижена за још \(10\%\). Колика је коначна цена јакне?
После првог снижења (\(100\% - 20\% = 80\%\)):
\[ 0,8 \cdot 6\,000 = 4\,800\text{ динара} \]
После другог снижења (\(100\% - 10\% = 90\%\)):
\[ 0,9 \cdot 4\,800 = 4\,320\text{ динара} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лак): Израчунајте вредност израза:
\[ 2\frac{1}{4} + 1,5 : \frac{3}{4} \]
Множење и дељење имају предност над сабирањем.
Децимални број \(1,5\) претварамо у разломак: \(1,5 = \frac{3}{2}\).
1. Израчунавамо количник: \[ \frac{3}{2} : \frac{3}{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{2} = 2 \] 2. Сабирамо: \[ 2\frac{1}{4} + 2 = 4\frac{1}{4} \quad (\text{или } 4,25) \]
Децимални број \(1,5\) претварамо у разломак: \(1,5 = \frac{3}{2}\).
1. Израчунавамо количник: \[ \frac{3}{2} : \frac{3}{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{2} = 2 \] 2. Сабирамо: \[ 2\frac{1}{4} + 2 = 4\frac{1}{4} \quad (\text{или } 4,25) \]
Задатак 2 (Средњи): Решите једначину:
\[ 3,5 \cdot \left(x - \frac{3}{4}\right) = 2,8 \]
Прво одређујемо вредност у загради као непознати чинилац:
\[ x - \frac{3}{4} = 2,8 : 3,5 \]
\[ x - \frac{3}{4} = 28 : 35 = \frac{28}{35} = \frac{4}{5} = 0,8 \]
Пошто је \(\frac{3}{4} = 0,75\), сада је \(x\) непознати умањеник:
\[ x = 0,8 + 0,75 \]
\[ x = 1,55 \quad \left(\text{или } 1\frac{11}{20}\right) \]
Задатак 3 (Средњи): Дуж \(AB\) дужине \(48\text{ cm}\) подељена је тачком \(C\) на два дела у размери \(3 : 5\). Одредите дужине дужи \(AC\) и \(CB\).
Укупан број делова је:
\[ 3 + 5 = 8 \]
Вредност једног дела износи:
\[ 48\text{ cm} : 8 = 6\text{ cm} \]
Дужине делова су:
\[ AC = 3 \cdot 6\text{ cm} = 18\text{ cm} \]
\[ CB = 5 \cdot 6\text{ cm} = 30\text{ cm} \]
Задатак 4 (Тежак): Решите неједначину:
\[ 2\frac{1}{2} - 3 \cdot x > \frac{2}{5} \]
и прикажите сва решења у скупу позитивних бројева.
Прво израз \(3 \cdot x\) посматрамо као непознати умањилац (знак се окреће):
\[ 3 \cdot x < 2\frac{1}{2} - \frac{2}{5} \]
Сводимо на заједнички именилац: \(2\frac{1}{2} = \frac{5}{2} = \frac{25}{10}\), а \(\frac{2}{5} = \frac{4}{10}\).
\[ 3 \cdot x < \frac{25}{10} - \frac{4}{10} \implies 3 \cdot x < \frac{21}{10} \]
Сада је \(x\) непознати чинилац (знак остаје исти):
\[ x < \frac{21}{10} : 3 \implies x < \frac{21}{10} \cdot \frac{1}{3} \implies x < \frac{7}{10} \]
Како посматрамо ненегативне бројеве, услов је \(x \ge 0\).
Коначно решење: \(0 \le x < \frac{7}{10}\) (односно \(0 \le x < 0,7\)).
Коначно решење: \(0 \le x < \frac{7}{10}\) (односно \(0 \le x < 0,7\)).
