Најважније из лекције
Угаона линија и угао: Две полуправе са заједничким почетком чине угаону линију (\(\angle aOb\)). Угаона линија заједно са једном облашћу коју ограничава чини угао (\(\sphericalangle aOb\)).
Врсте: Угао може бити конвексан (мања област) или неконвексан (већа област). Ако краци припадају истој правој, у питању је опружен угао (сви опружени углови су једнаки).
Кружница и углови: Угао са теменом у центру кружнице је централни угао, део кружнице који он исеца је кружни лук, а дуж између крајева лука је тетива.
Једнакост: Два угла су једнака ако на луковима једнаких полупречника имају једнаке тетиве. На овом својству се заснива геометријско преношење углова шестаром и лењиром.
Врсте: Угао може бити конвексан (мања област) или неконвексан (већа област). Ако краци припадају истој правој, у питању је опружен угао (сви опружени углови су једнаки).
Кружница и углови: Угао са теменом у центру кружнице је централни угао, део кружнице који он исеца је кружни лук, а дуж између крајева лука је тетива.
Једнакост: Два угла су једнака ако на луковима једнаких полупречника имају једнаке тетиве. На овом својству се заснива геометријско преношење углова шестаром и лењиром.
Угаона линија је геометријска фигура коју чини унија две полуправе са заједничком почетном тачком.
Заједничка почетна тачка полуправих назива се теме, а саме полуправе се називају краци.
Угао је геометријска фигура коју образују угаона линија и једна од две области на које та линија дели раван.
Угаона линија са теменом \(O\) и крацима \(a\) и \(b\) означава се са \(\angle aOb\) или \(\angle bOa\). Када су на крацима истакнуте тачке \(A\) и \(B\), означава се са \(\angle AOB\).
Угао се означава са \(\sphericalangle aOb\), \(\sphericalangle AOB\), или малим грчким словима: \(\alpha, \beta, \gamma \dots\)
Ако полуправе \(BA\) и \(BC\) имају заједнички почетак у тачки \(B\), како се означава та угаона линија и шта представља тачка \(B\)?
Угаона линија се означава са \(\angle ABC\) или \(\angle CBA\). Тачка \(B\) представља теме те угаоне линије.
Свака угаона линија дели раван на две области. У зависности од тога коју област посматрамо заједно са угаоном линијом, разликујемо различите врсте углова.
Конвексан угао чине угаона линија и њена конвексна област (област у којој дуж која спаја било које две њене тачке у целини припада тој области).
Неконвексан угао чине угаона линија и њена неконвексна област.
Опружена угаона линија је угаона линија чији краци припадају истој правој и чине две супротне полуправе.
Опружена угаона линија дели раван на две полуравни. Свака од тих полуравни заједно са опруженом угаоном линијом образује опружени угао. Свака два опружена угла су једнака.
Колико углова одређује једна угаона линија у равни чији краци не припадају истој правој?
Одређује тачно два угла: један конвексан и један неконвексан угао.
Централни угао кружнице је сваки угао чије се теме налази у центру те кружнице.
Кружни лук је део кружнице који се налази унутар одговарајућег централног угла (пресек кружнице и централног угла).
Дуж чије су крајње тачке крајеви кружног лука назива се тетива која одговара том кружном луку.
Област угла се на цртежима најчешће истиче и означава цртањем кружног лука са центром у темену угла.
Кружница има центар у тачки \(O\). Угао \(\sphericalangle AOB\) има теме у тачки \(O\), а тачке \(A\) и \(B\) припадају кружници. Како се зове овај угао и шта представља дуж \(AB\)?
Угао \(\sphericalangle AOB\) је централни угао, а дуж \(AB\) је тетива кружнице која одговара луку \(AB\).
Два конвексна угла су једнака ако су им једнаке тетиве одређене луковима истог полупречника.
Пренети угао значи конструисати угао једнак датом углу на задатој полуправи помоћу лењира и шестара.
Из темена датог угла шестаром опишемо кружни лук произвољног полупречника \(r\) који сече оба крака.
Истим отвором шестара (\(r\)) опишемо кружни лук из темена нове полуправе тако да сече ту полуправу.
Шестаром измеримо растојање између пресечних тачака на крацима првог угла (дужину тетиве) и пренесемо га на нови лук.
Повучемо полуправу кроз новодобијену тачку пресека лукова и теме новог угла.
Ако за углове \(\sphericalangle aOb\) и \(\sphericalangle pSq\) на луковима полупречника \(r = 3\text{ cm}\) одговарају тетиве једнаких дужина \(t = 2\text{ cm}\), онда важи \(\sphericalangle aOb = \sphericalangle pSq\).
Угао многоугла одређују две суседне странице тог многоугла које имају заједничко теме.
Област конвексног многоугла налази се унутар области сваког његовог угла.
Угао у темену \(A\) многоугла често се краће обележава као \(\sphericalangle A\).
Колико страница и колико углова има петоугао?
Петоугао има 5 страница и 5 одговарајућих углова у својим теменима.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Дата је угаона линија \(\angle xOy\).
1) Шта представља тачка \(O\), а шта су полуправе \(Ox\) и \(Oy\)?
2) Које углове образује ова угаона линија у равни ако полуправе \(Ox\) и \(Oy\) не припадају истој правој?
1) Шта представља тачка \(O\), а шта су полуправе \(Ox\) и \(Oy\)?
2) Које углове образује ова угаона линија у равни ако полуправе \(Ox\) и \(Oy\) не припадају истој правој?
1) Тачка \(O\) је теме угаоне линије, а полуправе \(Ox\) и \(Oy\) су њени краци.
2) Образује два угла: један конвексан и један неконвексан угао.
2) Образује два угла: један конвексан и један неконвексан угао.
Задатак 2 (средњи): У кружници \(k(O, 5\text{ cm})\) конструисана је најдужа могућа тетива.
1) Како се назива та тетива и колика је њена дужина?
2) Какав је централни угао који одговара тој тетиви?
1) Како се назива та тетива и колика је њена дужина?
2) Какав је централни угао који одговара тој тетиви?
1) Најдужа тетива у кружници је пречник (дијаметар), а њена дужина је \(2 \cdot r = 2 \cdot 5\text{ cm} = 10\text{ cm}\).
2) Краци тог централног угла су две супротне полуправе које пролазе кроз центар \(O\), што значи да је тај централни угао опружен угао.
2) Краци тог централног угла су две супротне полуправе које пролазе кроз центар \(O\), што значи да је тај централни угао опружен угао.
Задатак 3 (средњи): Из једне тачке \(S\) у равни полазе три различите полуправе \(Sa\), \(Sb\) и \(Sc\) такве да никоје две не припадају истој правој. Колико различитих угаоних линија оне одређују? Наведи их.
Свака угаона линија је одређена паром од две полуправе. Од три полуправе могу се формирати следећи парови:
\[ (Sa, Sb), \quad (Sb, Sc), \quad (Sa, Sc) \]
Дакле, оне одређују тачно 3 угаоне линије: \(\angle aSb\), \(\angle bSc\) и \(\angle aSc\).
Задатак 4 (тежак): Дати су углови \(\alpha\) и \(\beta\). Око њихових темена су описани кружни лукови полупречника \(r_1 = 4\text{ cm}\) и \(r_2 = 6\text{ cm}\). Измерено је да су дужине одговарајућих тетива једнаке (\(t_1 = t_2 = 3\text{ cm}\)). Да ли су ови углови једнаки? Обраложити одговор.
Нису једнаки.
Критеријум једнакости углова захтева да тетиве буду једнаке на луковима истог полупречника. Како су овде полупречници различити (\(r_1 \neq r_2\)), једнакост дужина тетива не значи да су и углови једнаки (угао \(\alpha\) је већи од угла \(\beta\) јер се иста дужина тетиве налази на мањем полупречнику).
Критеријум једнакости углова захтева да тетиве буду једнаке на луковима истог полупречника. Како су овде полупречници различити (\(r_1 \neq r_2\)), једнакост дужина тетива не значи да су и углови једнаки (угао \(\alpha\) је већи од угла \(\beta\) јер се иста дужина тетиве налази на мањем полупречнику).
