Најважније из лекције
Праве и тачке: Две тачке одређују тачно једну праву \(p(A, B)\). Тачке на једној правој су колинеарне. Две праве се или секу (\(a \cap b = \{P\}\)) или су паралелне (\(p \parallel q\)).
Фигуре и конвексност: Фигура је конвексна ако садржи целу дуж за било које своје две тачке. Троугао је увек конвексан. Пресек конвексних фигура је увек конвексан.
Мерење дужине и средиште: \(1\text{ m} = 10\text{ dm} = 100\text{ cm} = 1\,000\text{ mm}\). Средиште дужи \(S\) дели дуж \(AB\) на два једнака дела (\(AS = SB\)). Обим је збир дужина свих страница многоугла.
Кружница и круг: Кружница садржи тачке на растојању \(r\) од центра; круг укључује и све унутрашње тачке. Пречник је најдужа тетива: \(d = 2r\). Права може бити сечица (2 тачке) или тангента (1 тачка). При спољашњем додиру кружница \(O_1O_2 = r_1 + r_2\), а при унутрашњем \(O_1O_2 = r_1 - r_2\).
Централна симетрија: Пресликавање код ког је центар \(O\) средиште сваке дужи \(AA_1\). Чува растојање (изометрија: \(AB = A_1B_1\)) и пресликава праве у њима паралелне праве.
Фигуре и конвексност: Фигура је конвексна ако садржи целу дуж за било које своје две тачке. Троугао је увек конвексан. Пресек конвексних фигура је увек конвексан.
Мерење дужине и средиште: \(1\text{ m} = 10\text{ dm} = 100\text{ cm} = 1\,000\text{ mm}\). Средиште дужи \(S\) дели дуж \(AB\) на два једнака дела (\(AS = SB\)). Обим је збир дужина свих страница многоугла.
Кружница и круг: Кружница садржи тачке на растојању \(r\) од центра; круг укључује и све унутрашње тачке. Пречник је најдужа тетива: \(d = 2r\). Права може бити сечица (2 тачке) или тангента (1 тачка). При спољашњем додиру кружница \(O_1O_2 = r_1 + r_2\), а при унутрашњем \(O_1O_2 = r_1 - r_2\).
Централна симетрија: Пресликавање код ког је центар \(O\) средиште сваке дужи \(AA_1\). Чува растојање (изометрија: \(AB = A_1B_1\)) и пресликава праве у њима паралелне праве.
Тачке се означавају великим словима латинице (\(A, B, C, \dots\)) или словима са индексима (\(A_1, B_2\)). Праве се означавају малим словима латинице (\(a, b, p, \dots\)) или са индексима (\(p_1, q_2\)).
Припадност тачке правој означава се са \(A \in p\) (тачка \(A\) припада правој \(p\)), а неприпадност са \(B \notin p\) (тачка \(B\) не припада правој \(p\)).
За сваке две различите тачке постоји тачно једна права која их садржи. Праву одређену тачкама \(A\) и \(B\) означавамо са \(p(A, B)\).
Колинеарне тачке су три или више тачака које припадају једној истој правој. Ако таква права не постоји, тачке су неколинеарне.
Дуж \(AB\) је скуп који чине тачке \(A\) и \(B\) (крајеви дужи) и све тачке праве \(p(A, B)\) које се налазе између њих (\(A-X-B\)).
Полуправа \(\vec{AB}\) је скуп свих тачака праве \(p(A, B)\) које се налазе са исте стране тачке \(A\) као и тачка \(B\), укључујући и тачку \(A\) (почетак полуправе). Свака тачка на правој дели ту праву на две полуправе.
Дате су четири тачке \(A, B, C, D\) од којих су тачке \(A, B, C\) колинеарне, а тачка \(D\) не припада правој \(p(A, B)\). Колико различитих правих одређују ове четири тачке?
Тачке \(A, B, C\) леже на једној правој: \(p(A, B) = p(B, C) = p(A, C)\).
Тачка \(D\) са сваком од ове три тачке одређује по једну нову праву: \(p(D, A)\), \(p(D, B)\) и \(p(D, C)\).
Укупно има \(1 + 3 = 4\) праве.
Тачка \(D\) са сваком од ове три тачке одређује по једну нову праву: \(p(D, A)\), \(p(D, B)\) и \(p(D, C)\).
Укупно има \(1 + 3 = 4\) праве.
Две различите праве у истој равни могу имати највише једну заједничку тачку. Зато се оне:
- Секу, ако имају тачно једну заједничку тачку: \(a \cap b = \{P\}\) (тачка \(P\) је пресечна тачка).
- Паралелне су, ако немају заједничких тачака: \(p \parallel q\) (\(p \cap q = \emptyset\)).
За сваку праву \(p\) и сваку тачку \(A\) ван ње (\(A \notin p\)), постоји тачно једна права која садржи тачку \(A\) и паралелна је са правом \(p\).
Две дужи (или две полуправе) су паралелне ако припадају истој правој или међусобно паралелним правама.
Две дужи се не морају сећи да би биле паралелне – неопходно је да праве које их садрже буду паралелне или да се поклапају.
Ако су праве \(a\) и \(b\) паралелне, а права \(c\) сече праву \(a\), у каквом су односу праве \(b\) и \(c\)?
Права \(c\) мора сећи и праву \(b\). Када би права \(c\) била паралелна правој \(b\), тада би кроз исту пресечну тачку са правом \(a\) пролазиле две различите праве паралелне правој \(b\), што је немогуће.
Свака права у равни дели ту раван на две полуравни. Права представља њихову заједничку границу.
Многоугао је геометријска фигура састављена од затворене многоугаоне линије (унија страница које спајају суседна темена) и унутрашње области коју та линија ограничава. Пресек три полуравни одређене са три неколинеарне тачке образује троугао (\(\Delta ABC\)).
Конвексна фигура: Геометријска фигура је конвексна ако за сваке две тачке које јој припадају садржи и целу дуж чији су крајеви те две тачке.
- Права, полуправа, дуж и сваки троугао јесу конвексне фигуре.
- Пресек две конвексне фигуре увек је конвексна фигура.
- Унија две конвексне фигуре не мора бити конвексна фигура.
Да ли је кружница конвексна фигура? А круг?
Кружница није конвексна, јер дуж која спаја било које две њене тачке (тетива) лежи унутар круга, па њене тачке (осим крајева) не припадају кружници.
Круг јесте конвексна фигура, јер садржи целу дуж за било које две тачке које му припадају.
Круг јесте конвексна фигура, јер садржи целу дуж за било које две тачке које му припадају.
Основна јединица за мерење дужине је метар (\(\text{m}\)).
- \(1 \text{ km} = 1\,000 \text{ m}\)
- \(1 \text{ m} = 10 \text{ dm} = 100 \text{ cm} = 1\,000 \text{ mm}\)
- \(1 \text{ dm} = 10 \text{ cm} = 100 \text{ mm}\)
- \(1 \text{ cm} = 10 \text{ mm}\)
Једнакост дужи: Две дужи \(AB\) и \(CD\) су једнаке (\(AB = CD\)) ако имају једнаке дужине.
Средиште дужи: Тачка \(S\) дужи \(AB\) је њено средиште ако дели дуж на два једнака дела, тј. ако важи \(AS = SB = \frac{1}{2}AB\).
\[ O = a + b + c + \dots \]
Обим многоугла представља збир дужина свих његових страница. Дужина изломљене линије је збир свих њених дужи.
Ако је тачка \(S\) средиште дужи \(AB = 7\text{ cm } 4\text{ mm}\), онда је:
\[ AS = 74 \text{ mm} : 2 = 37 \text{ mm} = 3 \text{ cm } 7 \text{ mm} \]
Израчунајте обим четвороугла чије су странице дужина \(a = 4\text{ cm}\), \(b = 25\text{ mm}\), \(c = 3\text{ cm } 7\text{ mm}\) и \(d = 1\text{ dm}\).
Претворимо све дужине у милиметре:
\(a = 40\text{ mm}\), \(b = 25\text{ mm}\), \(c = 37\text{ mm}\), \(d = 100\text{ mm}\).
\(O = 40 + 25 + 37 + 100 = 202\text{ mm} = 20\text{ cm } 2\text{ mm}\).
\(a = 40\text{ mm}\), \(b = 25\text{ mm}\), \(c = 37\text{ mm}\), \(d = 100\text{ mm}\).
\(O = 40 + 25 + 37 + 100 = 202\text{ mm} = 20\text{ cm } 2\text{ mm}\).
Кружница \(k(O, r)\) је скуп свих тачака равни једнако удаљених од центра \(O\) за дати полупречник \(r\).
Круг \(K(O, r)\) садржи кружницу и све њене унутрашње тачке (за које важи \(OX < r\)). За спољашње тачке важи \(OX > r\).
Тетива: Дуж која спаја било које две тачке кружнице.
Пречник (\(d\)): Тетива која садржи центар кружнице; најдужа тетива: \[ d = 2r \] Кружни лук: Део кружнице између две њене тачке. Лук одређен пречником је полукружница.
Пречник (\(d\)): Тетива која садржи центар кружнице; најдужа тетива: \[ d = 2r \] Кружни лук: Део кружнице између две њене тачке. Лук одређен пречником је полукружница.
Однос праве и кружнице:
- Сечица: има две заједничке тачке са кружницом.
- Тангента: има тачно једну заједничку тачку (тачка додира).
Однос две кружнице при додиру:
- Додиривање споља: \(O_1O_2 = r_1 + r_2\)
- Додиривање изнутра (\(r_1 > r_2\)): \(O_1O_2 = r_1 - r_2\)
- Додиривање споља: \(O_1O_2 = r_1 + r_2\)
- Додиривање изнутра (\(r_1 > r_2\)): \(O_1O_2 = r_1 - r_2\)
Кружнице \(k_1(O_1, 5\text{ cm})\) и \(k_2(O_2, 3\text{ cm})\) се додирују. Колико може износити растојање између њихових центара \(O_1O_2\)?
Постоје два случаја:
1. Ако се додирују споља: \(O_1O_2 = r_1 + r_2 = 5 + 3 = 8\text{ cm}\).
2. Ако се додирују изнутра: \(O_1O_2 = r_1 - r_2 = 5 - 3 = 2\text{ cm}\).
1. Ако се додирују споља: \(O_1O_2 = r_1 + r_2 = 5 + 3 = 8\text{ cm}\).
2. Ако се додирују изнутра: \(O_1O_2 = r_1 - r_2 = 5 - 3 = 2\text{ cm}\).
Тачка \(A_1\) је симетрична тачки \(A\) у односу на центар \(O\) ако је \(O\) средиште дужи \(AA_1\). Тачка \(O\) је сама себи симетрична.
Централна симетрија је изометријска трансформација – она чува растојање између тачака (\(AB = A_1B_1\)). Свака дуж се пресликава у једнаку и паралелну дуж.
Пресликавање праве централном симетријом:
- Права која садржи центар симетрије \(O\) пресликава се у саму себе.
- Права која не садржи центар симетрије пресликава се у њој паралелну праву.
Централносиметрична фигура је фигура која се централном симетријом у односу на неку тачку пресликава у саму себе (нпр. квадрат, круг).
Тачке \(A\) и \(A_1\) су симетричне у односу на центар \(O\). Ако је дужина дужи \(OA = 4\text{ cm}\), колика је дужина дужи \(AA_1\)?
По дефиницији је центар \(O\) средиште дужи \(AA_1\), па је \(OA = OA_1 = 4\text{ cm}\).
Дужина целе дужи износи \(AA_1 = OA + OA_1 = 4\text{ cm} + 4\text{ cm} = 8\text{ cm}\).
Дужина целе дужи износи \(AA_1 = OA + OA_1 = 4\text{ cm} + 4\text{ cm} = 8\text{ cm}\).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лак): Дата је дуж \(MN = 8\text{ cm } 6\text{ mm}\). Тачка \(P\) је средиште дужи \(MN\), а тачка \(Q\) је средиште дужи \(MP\). Одредити дужину дужи \(MQ\).
Претворимо дужину дужи \(MN\) у милиметре: \(MN = 86\text{ mm}\).
Пошто је \(P\) средиште дужи \(MN\): \[ MP = 86\text{ mm} : 2 = 43\text{ mm} \] Пошто је \(Q\) средиште дужи \(MP\): \[ MQ = 43\text{ mm} : 2 = 21{,}5\text{ mm} = 2\text{ cm } 1{,}5\text{ mm} \]
Пошто је \(P\) средиште дужи \(MN\): \[ MP = 86\text{ mm} : 2 = 43\text{ mm} \] Пошто је \(Q\) средиште дужи \(MP\): \[ MQ = 43\text{ mm} : 2 = 21{,}5\text{ mm} = 2\text{ cm } 1{,}5\text{ mm} \]
Задатак 2 (Средњи): Дата је кружница \(k(O, 4\text{ cm})\) и тачка \(A\) у истој равни чије је растојање од центра \(OA = 9\text{ cm}\).
- Да ли је тачка \(A\) унутрашња или спољашња тачка кружнице?
- Колико износи најкраће, а колико најдуже растојање тачке \(A\) од тачака те кружнице?
- Пошто је \(OA = 9\text{ cm} > r = 4\text{ cm}\), тачка \(A\) је спољашња тачка.
- Најкраће растојање од тачке \(A\) до кружнице је: \[ OA - r = 9\text{ cm} - 4\text{ cm} = 5\text{ cm} \] Најдуже растојање од тачке \(A\) до кружнице је: \[ OA + r = 9\text{ cm} + 4\text{ cm} = 13\text{ cm} \]
Задатак 3 (Средњи): Квадрат \(ABCD\) има странице дужине \(6\text{ cm}\). Дијагонале квадрата секу се у тачки \(O\).
- У коју тачку се централном симетријом са центром \(O\) пресликава теме \(A\)?
- У шта се пресликава дуж \(AB\), колика је њена дужина и у каквом је положају према оригиналној дужи?
- Центар симетрије \(O\) је средиште дијагонале \(AC\), тако да се теме \(A\) пресликава у наспрамно теме \(C\).
- Теме \(B\) се пресликава у теме \(D\), па се дуж \(AB\) пресликава у дуж \(CD\). Због особина централне симетрије (изометрија), важи \(CD = AB = 6\text{ cm}\) и \(CD \parallel AB\).
Задатак 4 (Тежак): Дате су две конвексне фигуре \(\Phi_1\) и \(\Phi_2\) у равни.
- Да ли њихов пресек \(\Phi_1 \cap \Phi_2\) мора бити конвексна фигура? Обраложити одговор.
- Навести геометријски пример који показује да њихова унија \(\Phi_1 \cup \Phi_2\) не мора бити конвексна фигура.
- Да, пресек увек мора бити конвексан. Нека су \(A\) и \(B\) две произвољне тачке из пресека \(\Phi_1 \cap \Phi_2\). Тада \(A, B \in \Phi_1\) и \(A, B \in \Phi_2\). Пошто су обе фигуре конвексне, дуж \(AB\) у целини припада и фигури \(\Phi_1\) и фигури \(\Phi_2\), што значи да цела дуж \(AB\) припада њиховом пресеку.
- Унија два троугла са заједничком страницом не мора бити конвексна (може имати удубљење, односно конкавне углове, чиме настаје неконвексан четвороугао или шестоугао). Такође, унија два раздвојена круга није конвексна, јер дуж која спаја тачке из два различита круга пролази кроз област ван тих кругова.
