Најважније из лекције
- Елементи угла: Теме и краци.
- Врсте углова: Оштар (\( <90^\circ \)), прав (\( =90^\circ \)), туп (\( 90^\circ - 180^\circ \)), опружен (\( =180^\circ \)), пун (\( =360^\circ \)).
- Мерење: \( 1^\circ = 60' \); \( 1' = 60'' \).
- Парови углова:
Комплементни (збир \( 90^\circ \)), суплементни (збир \( 180^\circ \)).
Упоредни (суседни и суплементни), унакрсни (налазе се прекопута темена, једнаки су). - Централни угао: Теме му је у центру кружнице. Једнаким тетивама одговарају једнаки централни углови.
- Трансверзала: Прави 8 углова на паралелним правама. Сви оштри су међусобно једнаки, сви тупи су међусобно једнаки, а оштар + туп = \( 180^\circ \).
Угаона линија је унија две полуправе са заједничком почетном тачком. Угао је унија угаоне линије и једне од области одређених том линијом.
Основни елементи угла су теме угла (заједничка почетна тачка) и краци угла (полуправе које чине угаону линију).
Угао се обележава са \( \angle pOq \) (теме је увек у средини), \( \angle O \) или малим грчким словима: \( \alpha, \beta, \gamma \)...
Ако угаона линија није опружена, она дели раван на две области: једну конвексну (конвексан угао) и једну неконвексну (неконвексан угао).
Основна јединица за мерење угла је степен \( (1^\circ) \). Мање јединице су угаони минут \( (1') \) и угаона секунда \( (1'') \).
\[ 1^\circ = 60' \]
\[ 1' = 60'' \]
\[ 1^\circ = 3\,600'' \]
Према мери, конвексни углови се деле на:
- Пун угао: има тачно \( 360^\circ \) (краци се поклапају, обухвата целу раван).
- Опружен угао: има тачно \( 180^\circ \) (краци чине праву линију).
- Прав угао: има тачно \( 90^\circ \) (половина опруженог угла).
- Оштар угао: мањи од \( 90^\circ \) (мањи од правог угла).
- Туп угао: већи од \( 90^\circ \), а мањи од \( 180^\circ \).
Суседни (надовезани) углови имају заједничко теме и заједнички крак, а њихове области немају заједничких тачака унутар угла.
Упоредни углови су суседни углови чији је збир опружен угао \( (180^\circ) \).
Унакрсни углови су несуседни углови одређени са две праве које се секу. Унакрсни углови су међусобно једнаки.
- Комплементни углови: два угла чији је збир прав угао \( (90^\circ) \).
- Суплементни углови: два угла чији је збир опружен угао \( (180^\circ) \).
Ако је угао \( \alpha = 40^\circ \), колико износи његов комплемент, а колико његов суплемент?
Комплемент угла \( \alpha \) је угао \( 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \).
Суплемент угла \( \alpha \) је угао \( 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \).
Суплемент угла \( \alpha \) је угао \( 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \).
При сабирању вишеименованих мера углова, сабирамо степене са степенима, минуте са минутима, секунде са секундама. Ако минута или секунди има 60 или више, претварамо их у већу јединицу.
При одузимању, уколико је умањилац већи од умањеника у минутима или секундама, "позајмљујемо" један степен (као 60 минута) или један минут (као 60 секунди).
Пример одузимања са позајмљивањем:
Израчунајмо \( 90^\circ - 35^\circ 14' \).
Пошто немамо минуте у умањенику, позајмљујемо \( 1^\circ \):
\( 90^\circ = 89^\circ 60' \)
\( 89^\circ 60' - 35^\circ 14' = 54^\circ 46' \)
Израчунајмо \( 90^\circ - 35^\circ 14' \).
Пошто немамо минуте у умањенику, позајмљујемо \( 1^\circ \):
\( 90^\circ = 89^\circ 60' \)
\( 89^\circ 60' - 35^\circ 14' = 54^\circ 46' \)
Централни угао кружнице је угао чије се теме поклапа са центром кружнице.
Тетива је дуж која спаја две тачке на кружници. Кружни лук је део кружнице између те две тачке.
Два конвексна централна угла у истој кружници (или кружницама истих полупречника) су једнака ако и само ако су им једнаке одговарајуће тетиве.
Трансверзала (пресечница) је права која сече две паралелне праве. Овим пресеком настаје 8 углова.
Основна својства углова на трансверзали паралелних правих:
- Сви оштри углови су међусобно једнаки.
- Сви тупи углови су међусобно једнаки.
- Збир било ког оштрог и било ког тупог угла на трансверзали износи \( 180^\circ \) (суплементни су).
Парови углова на трансверзали носе посебне називе у зависности од положаја: сагласни, наизменични и супротни углови.
Задаци за вежбање
Лаки задатак: Дат је угао \( \beta = 112^\circ \). Одреди да ли је овај угао оштар, прав, туп или опружен.
Угао \( \beta = 112^\circ \) је већи од \( 90^\circ \), а мањи од \( 180^\circ \).
Одговор: У питању је туп угао.
Одговор: У питању је туп угао.
Средњи задатак: Израчунај збир и разлику углова \( \alpha = 45^\circ 50' 30'' \) и \( \beta = 20^\circ 15' 45'' \).
Збир:
\( \alpha + \beta = 45^\circ 50' 30'' + 20^\circ 15' 45'' \)
\( = 65^\circ 65' 75'' \)
Претварамо: \( 75'' = 1' 15'' \) (додајемо 1' на 65', постаје 66').
Затим: \( 66' = 1^\circ 6' \) (додајемо 1° на 65°).
Резултат: \( 66^\circ 6' 15'' \)
Разлика:
\( \alpha - \beta = 45^\circ 50' 30'' - 20^\circ 15' 45'' \)
Позајмљујемо \( 1' \) (\( 60'' \)) од \( 50' \), па је \( \alpha = 45^\circ 49' 90'' \).
\( 45^\circ 49' 90'' - 20^\circ 15' 45'' = \) \( 25^\circ 34' 45'' \)
\( \alpha + \beta = 45^\circ 50' 30'' + 20^\circ 15' 45'' \)
\( = 65^\circ 65' 75'' \)
Претварамо: \( 75'' = 1' 15'' \) (додајемо 1' на 65', постаје 66').
Затим: \( 66' = 1^\circ 6' \) (додајемо 1° на 65°).
Резултат: \( 66^\circ 6' 15'' \)
Разлика:
\( \alpha - \beta = 45^\circ 50' 30'' - 20^\circ 15' 45'' \)
Позајмљујемо \( 1' \) (\( 60'' \)) од \( 50' \), па је \( \alpha = 45^\circ 49' 90'' \).
\( 45^\circ 49' 90'' - 20^\circ 15' 45'' = \) \( 25^\circ 34' 45'' \)
Тежи задатак: Трансверзала сече две паралелне праве. Ако је један од добијених тупих углова за \( 40^\circ \) већи од једног од оштрих углова, израчунај мере тих углова.
Нека је оштар угао \( x \), а туп угао \( y \).
На основу својстава трансверзале, знамо да су они суплементни: \( x + y = 180^\circ \).
Услов из задатка каже: \( y = x + 40^\circ \).
Замењујемо \( y \) у прву једначину:
\( x + x + 40^\circ = 180^\circ \)
\( 2x = 140^\circ \Rightarrow x = 70^\circ \)
Туп угао је: \( y = 70^\circ + 40^\circ = 110^\circ \).
Одговор: Оштар угао износи \( 70^\circ \), а туп \( 110^\circ \).
На основу својстава трансверзале, знамо да су они суплементни: \( x + y = 180^\circ \).
Услов из задатка каже: \( y = x + 40^\circ \).
Замењујемо \( y \) у прву једначину:
\( x + x + 40^\circ = 180^\circ \)
\( 2x = 140^\circ \Rightarrow x = 70^\circ \)
Туп угао је: \( y = 70^\circ + 40^\circ = 110^\circ \).
Одговор: Оштар угао износи \( 70^\circ \), а туп \( 110^\circ \).
