Најважније из лекције
За јединствену конструкцију троугла потребно је знати три његова основна елемента, међу којима је бар једна страница. Постоје четири основна правила:
- СУС: Познате су две странице и угао између њих.
- УСУ: Позната је једна страница и оба угла која на њу належу. (Ако су дата два угла и неналегла страница, трећи угао се рачуна преко збира углова од \( 180^\circ \)).
- ССС: Познате су све три странице. Услов: Збир сваке две мора бити већи од треће.
- ССУ: Познате су две странице и угао наспрам веће од њих. Напомена: Уколико је угао наспрам мање странице, троугао није јединствено одређен.
Пре почетка конструкције сложенијих фигура, важно је подсетити се како се помоћу шестара и лењира преносе основне мере.
Отвором шестара се узме дужина дате дужи \(AB\), а затим се из одабране тачке на полуправој опише лук. Пресек лука и полуправе одређује пренету дуж.
Из темена датог угла опише се лук који сече оба крака. Исти лук се опише из почетне тачке нове полуправе. Затим се шестаром измери растојање између пресечних тачака на крацима првог угла и та дужина се пренесе на нови лук како би се добио други крак.
Ако су познате дужине две странице троугла и мера угла који оне захватају, троугао је јединствено одређен.
Пример: Конструисати \( \triangle ABC \) ако је \( c = 4 \text{ cm} \), \( b = 3 \text{ cm} \) и \( \alpha = 30^\circ \).
Нацртамо дуж \( AB = 4 \text{ cm} \).
У темену \( A \) конструишемо полуправу тако да са дужи \( AB \) гради угао од \( 30^\circ \).
На тој полуправој шестаром одредимо тачку \( C \) тако да је \( AC = 3 \text{ cm} \).
Ако су познате мере два угла троугла и дужина странице на коју ти углови належу, троугао је потпуно одређен.
Пример: Конструисати \( \triangle ABC \) ако је \( c = 3,5 \text{ cm} \), \( \alpha = 60^\circ \) и \( \beta = 45^\circ \).
Цртамо дуж \( AB \) дужине \( 3,5 \text{ cm} \).
Из темена \( A \) конструишемо полуправу под углом од \( 60^\circ \) у односу на \( AB \).
Из темена \( B \) конструишемо полуправу под углом од \( 45^\circ \) у односу на \( AB \).
Пресек ове две полуправе је теме \( C \).
Да би конструкција била могућа, мора важити неједнакост троугла: збир дужина сваке две странице мора бити строго већи од дужине треће странице.
Пример: Конструисати \( \triangle ABC \) ако је \( c = 4,5 \text{ cm} \), \( b = 3,5 \text{ cm} \) и \( a = 4 \text{ cm} \).
Нацртамо дуж \( AB = c = 4,5 \text{ cm} \).
Из темена \( A \) опишемо лук полупречника \( b = 3,5 \text{ cm} \).
Из темена \( B \) опишемо лук полупречника \( a = 4 \text{ cm} \).
Пресечна тачка ова два лука је теме \( C \).
Ако су познате две странице троугла и угао наспрам веће од њих, троугао је јединствено одређен.
Пример: Конструисати \( \triangle ABC \) ако је \( c = 4 \text{ cm} \), \( a = 5 \text{ cm} \) и \( \alpha = 120^\circ \).
Нацртамо краћу од датих дужи, \( AB = 4 \text{ cm} \).
Из темена \( A \) конструишемо полуправу под углом од \( 120^\circ \).
Из темена \( B \) шестаром опишемо лук полупречника једнаког већој страници (\( a = 5 \text{ cm} \)).
Пресек овог лука и полуправе угла је теме \( C \).
Ако је дат угао наспрам мање од две задате странице, лук може сећи крак угла у две тачке. То значи да задатак може имати два решења (два различита троугла задовољавају услове), или да нема ниједно ако је лук прекратак да досегне крак угла.
Задаци за вежбање
Лак: Да ли је могуће конструисати троугао (ССС) чије су странице дужина \( 2 \text{ cm} \), \( 4 \text{ cm} \) и \( 9 \text{ cm} \)?
Да би троугао постојао, збир две најкраће странице мора бити већи од најдуже (неједнакост троугла).
\( 2 + 4 = 6 \)
Пошто је \( 6 < 9 \), неједнакост не важи.
Одговор: Није могуће конструисати такав троугао.
\( 2 + 4 = 6 \)
Пошто је \( 6 < 9 \), неједнакост не важи.
Одговор: Није могуће конструисати такав троугао.
Средњи: Желимо да конструишемо \( \triangle ABC \) помоћу странице \( c = 5 \text{ cm} \) и два угла: \( \alpha = 40^\circ \) и \( \gamma = 100^\circ \). Који је први рачунски корак пре цртања?
За конструкцију на основу странице потребно је да знамо оба угла која на њу належу (УСУ конструкција). Пошто су дати угао \( \alpha \) (који належе) и \( \gamma \) (који је наспраман), морамо израчунати други налегли угао, \( \beta \).
Збир углова у троуглу је \( 180^\circ \).
\( \beta = 180^\circ - (40^\circ + 100^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \)
Одговор: Први корак је израчунавање угла \( \beta \), након чега се ради стандардна УСУ конструкција са \( c = 5 \text{ cm} \), \( \alpha = 40^\circ \) и \( \beta = 40^\circ \).
Збир углова у троуглу је \( 180^\circ \).
\( \beta = 180^\circ - (40^\circ + 100^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \)
Одговор: Први корак је израчунавање угла \( \beta \), након чега се ради стандардна УСУ конструкција са \( c = 5 \text{ cm} \), \( \alpha = 40^\circ \) и \( \beta = 40^\circ \).
Тежак: Дата је дуж \( AB = 6 \text{ cm} \), страница \( BC = 4 \text{ cm} \) и угао \( \sphericalangle CAB = 30^\circ \). Да ли ова конструкција јединствено одређује један троугао? Објасни одговор.
У овом задатку дате су две странице (\( c = 6 \text{ cm} \), \( a = 4 \text{ cm} \)) и угао \( \alpha = 30^\circ \).
Угао \( \alpha \) налази се наспрам странице \( a \). Пошто је \( a < c \) (\( 4 \text{ cm} < 6 \text{ cm} \)), дати угао се налази наспрам мање од две дате странице.
Ово је случај где лук полупречника \( 4 \text{ cm} \) из темена \( B \) може сећи крак угла од \( 30^\circ \) у две различите тачке.
Одговор: Не, конструкција није јединствена. Задатак највероватније има два различита решења (два различита троугла).
Угао \( \alpha \) налази се наспрам странице \( a \). Пошто је \( a < c \) (\( 4 \text{ cm} < 6 \text{ cm} \)), дати угао се налази наспрам мање од две дате странице.
Ово је случај где лук полупречника \( 4 \text{ cm} \) из темена \( B \) може сећи крак угла од \( 30^\circ \) у две различите тачке.
Одговор: Не, конструкција није јединствена. Задатак највероватније има два различита решења (два различита троугла).
