Најважније из лекције
Основни принципи множења целих бројева:
- Истозначни бројеви: \( (-) \cdot (-) = (+) \) и \( (+) \cdot (+) = (+) \). Пример: \( (-3) \cdot (-4) = 12 \).
- Разнозначни бројеви: \( (-) \cdot (+) = (-) \) и \( (+) \cdot (-) = (-) \). Пример: \( 5 \cdot (-2) = -10 \).
- Специјални бројеви: Множењем са \( 0 \) све постаје \( 0 \). Множењем са \( 1 \) број се не мења. Множењем са \( -1 \) добијамо супротан број.
- Множење и дељење увек имају предност у односу на сабирање и одузимање, осим ако заграде не одређују другачије.
Приликом множења целих бројева, прво одређујемо знак производа, а затим множимо њихове апсолутне вредности.
Правила за знак производа:
- Производ два цела броја истог знака је позитиван цео број.
- Производ два цела броја различитог знака је негативан цео број.
| Знак 1. чиниоца | Знак 2. чиниоца | Знак производа |
|---|---|---|
| \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \(-\) | \(+\) | \(-\) |
Множење бројева различитог знака: \( (-4) \cdot 3 = -(4 \cdot 3) = -12 \)
Множење бројева истог знака: \( (-4) \cdot (-5) = |-4| \cdot |-5| = 20 \)
Множење бројева истог знака: \( (-4) \cdot (-5) = |-4| \cdot |-5| = 20 \)
Израчунај производе: а) \( 6 \cdot (-7) \) б) \( (-8) \cdot (-9) \)
а) Бројеви су различитог знака, па је производ негативан: \( 6 \cdot (-7) = -42 \).
б) Бројеви су истог знака, па је производ позитиван: \( (-8) \cdot (-9) = 72 \).
б) Бројеви су истог знака, па је производ позитиван: \( (-8) \cdot (-9) = 72 \).
Специјални случајеви множења који знатно олакшавају рачун.
- Множење нулом: \( a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0 \)
- Неутрални елемент (број 1): \( a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \)
- Множење са -1 (супротан број): \( a \cdot (-1) = (-1) \cdot a = -a \)
\( 145 \cdot 0 = 0 \)
\( (-34) \cdot 1 = -34 \)
\( 15 \cdot (-1) = -15 \)
\( (-8) \cdot (-1) = -(-8) = 8 \) (супротан број од -8 је 8)
\( (-34) \cdot 1 = -34 \)
\( 15 \cdot (-1) = -15 \)
\( (-8) \cdot (-1) = -(-8) = 8 \) (супротан број од -8 је 8)
Израчунај: \( (-1) \cdot (-25) \cdot 0 \cdot 14 \)
Решење: \( 0 \).
Објашњење: Пошто је један од чинилаца 0, цео производ је аутоматски једнак 0, без обзира на остале бројеве.
Објашњење: Пошто је један од чинилаца 0, цео производ је аутоматски једнак 0, без обзира на остале бројеве.
Као и код природних бројева, множење целих бројева има својства која нам омогућавају да бирамо редослед рачунања.
За све целе бројеве \( a, b, c \) важи:
- Комутативност: \( a \cdot b = b \cdot a \)
- Асоцијативност: \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)
- Дистрибутивност: \( c \cdot (a + b) = c \cdot a + c \cdot b \)
Додатна својства знакова:
\( a \cdot b = (-a) \cdot (-b) \)
\( -(a \cdot b) = (-a) \cdot b = a \cdot (-b) \)
\( a \cdot b = (-a) \cdot (-b) \)
\( -(a \cdot b) = (-a) \cdot b = a \cdot (-b) \)
Примена асоцијативности и комутативности:
\( (-5) \cdot 17 \cdot (-2) = ((-5) \cdot (-2)) \cdot 17 = 10 \cdot 17 = 170 \)
Користећи дистрибутивност, израчунај: \( (-4) \cdot (7 + (-2)) \)
Први начин (директно): \( (-4) \cdot 5 = -20 \)
Други начин (дистрибутивност): \( (-4) \cdot 7 + (-4) \cdot (-2) = -28 + 8 = -20 \)
Други начин (дистрибутивност): \( (-4) \cdot 7 + (-4) \cdot (-2) = -28 + 8 = -20 \)
Када се испред заграде налази знак минус, он мења знак свим члановима унутар заграде. Ово произилази из дистрибутивности и множења са \(-1\).
За све целе бројеве \( a \) и \( b \) важи:
\[ -(a + b) = -a - b \] \[ -(a - b) = -a + b \]
\[ -(a + b) = -a - b \] \[ -(a - b) = -a + b \]
\( -(5 + 3) = -5 - 3 = -8 \)
\( -(-4 - 7) = 4 + 7 = 11 \)
\( -(-4 - 7) = 4 + 7 = 11 \)
Ослободи се заграда и израчунај: \( -( -15 + 8 ) \)
\( -(-15) - (+8) = 15 - 8 = 7 \).
Провера: Збир у загради је \( -7 \), а испред је минус, па је \( -(-7) = 7 \).
Провера: Збир у загради је \( -7 \), а испред је минус, па је \( -(-7) = 7 \).
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај вредност следећих производа:
а) \( (-7) \cdot 8 \)
б) \( (-12) \cdot (-3) \)
а) \( (-7) \cdot 8 \)
б) \( (-12) \cdot (-3) \)
а) \( (-7) \cdot 8 = -56 \) (различити знаци, резултат негативан)
б) \( (-12) \cdot (-3) = 36 \) (исти знаци, резултат позитиван)
б) \( (-12) \cdot (-3) = 36 \) (исти знаци, резултат позитиван)
Средњи: Израчунај вредност израза водећи рачуна о приоритету операција:
\( -25 + (-5) \cdot (-4) \)
\( -25 + (-5) \cdot (-4) \)
Множење има приоритет у односу на сабирање.
\( -25 + ((-5) \cdot (-4)) = -25 + 20 = -5 \)
\( -25 + ((-5) \cdot (-4)) = -25 + 20 = -5 \)
Тежак: Користећи својство дистрибутивности, израчунај на најлакши начин:
\( 137 \cdot (-24) + 137 \cdot (-76) \)
\( 137 \cdot (-24) + 137 \cdot (-76) \)
Уместо да множимо појединачно, можемо извући заједнички чинилац (137) испред заграде:
\( 137 \cdot (-24) + 137 \cdot (-76) = 137 \cdot ((-24) + (-76)) \)
\( = 137 \cdot (-100) \)
\( = -13700 \)
\( 137 \cdot (-24) + 137 \cdot (-76) = 137 \cdot ((-24) + (-76)) \)
\( = 137 \cdot (-100) \)
\( = -13700 \)
