Најважније из лекције
Скуп целих бројева: \( \mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\} \), при чему је \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \).
Супротни бројеви и апсолутна вредност: За број \( a \) супротан је \( -a \). Апсолутна вредност \( |a| \) је удаљеност од нуле: \( |-5| = 5 \), \( |5| = 5 \).
Поређење: Негативан број са већом апсолутном вредношћу је мањи (\( -10 < -3 \)). Сваки позитиван број је већи од \( 0 \) и од свих негативних бројева.
Сабирање и одузимање: Исти знаци се сабирају (\( -4 + (-3) = -7 \)), различити се одузимају уз знак већег (\( -8 + 11 = 3 \)). Одузимање: \( a - b = a + (-b) \).
Множење и дељење: Исти знаци дају \( + \), различити \( - \) (\( (-4) \cdot (-5) = 20 \), \( (-20) : 4 = -5 \)). Дељење нулом није дозвољено.
Својства: Операције у \( \mathbb{Z} \) су комутативне, асоцијативне и важи дистрибутивност \( a(b+c) = ab + ac \).
Супротни бројеви и апсолутна вредност: За број \( a \) супротан је \( -a \). Апсолутна вредност \( |a| \) је удаљеност од нуле: \( |-5| = 5 \), \( |5| = 5 \).
Поређење: Негативан број са већом апсолутном вредношћу је мањи (\( -10 < -3 \)). Сваки позитиван број је већи од \( 0 \) и од свих негативних бројева.
Сабирање и одузимање: Исти знаци се сабирају (\( -4 + (-3) = -7 \)), различити се одузимају уз знак већег (\( -8 + 11 = 3 \)). Одузимање: \( a - b = a + (-b) \).
Множење и дељење: Исти знаци дају \( + \), различити \( - \) (\( (-4) \cdot (-5) = 20 \), \( (-20) : 4 = -5 \)). Дељење нулом није дозвољено.
Својства: Операције у \( \mathbb{Z} \) су комутативне, асоцијативне и важи дистрибутивност \( a(b+c) = ab + ac \).
Скуп целих бројева \( \mathbb{Z} \) чине негативни цели бројеви, нула и позитивни цели бројеви (природни бројеви).
\[ \mathbb{Z} = \mathbb{Z}^- \cup \{0\} \cup \mathbb{Z}^+ = \{\,\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\,\} \]
Важи: \( \mathbb{N} = \mathbb{Z}^+ \) и \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \). Број \( 0 \) није ни позитиван ни негативан (\(+0 = -0 = 0\)).
Бројевна права се формира одређивањем:
- Координатног почетка \( O(0) \);
- Јединичне дужи \( OI \) (где тачка \( I \) одговара броју \( 1 \));
- Позитивног смера (удесно од нуле) и негативног смера (улево од нуле).
Температура од \( 5\,^\circ\mathrm{C} \) испод нуле записује се као \( -5\,^\circ\mathrm{C} \in \mathbb{Z}^- \), док се дубина од \( 74\text{ m} \) испод површине мора записује као \( -74\text{ m} \).
Супротни бројеви су бројеви \( a \) и \( -a \). На бројевној правој они су симетрични у односу на координатни почетак (налазе се на истом растојању од нуле, са супротних страна).
\[ -(-a) = a, \qquad \text{супротан број броја } 0 \text{ је } 0. \]
Апсолутна вредност броја \( a \), у ознаци \( |a| \), представља растојање тачке \( A(a) \) од координатног почетка \( O(0) \) на бројевној правој.
\[ |a| = \begin{cases} a, & \text{ако је } a > 0 \\ 0, & \text{ако је } a = 0 \\ -a, & \text{ако је } a < 0 \end{cases} \]
Апсолутна вредност је увек ненегативна: \( |a| \ge 0 \) за свако \( a \in \mathbb{Z} \). Супротни бројеви имају једнаке апсолутне вредности: \( |a| = |-a| \).
\( |7| = 7 \), \quad \( |-12| = 12 \), \quad \( |0| = 0 \).
Одреди решења неједначине \( |x| \le 2 \) у скупу \( \mathbb{Z} \).
Тражимо све целе бројеве чије је растојање од нуле највише 2.
Решења су: \( x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\} \).
Решења су: \( x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\} \).
На бројевној правој вредности бројева расту слева надесно.
Правила за поређење:
- Сваки позитиван број је већи од нуле и од сваког негативног броја: \( a > 0 \) и \( a > -b \) (за \( a, b \in \mathbb{N} \)).
- Нула је већа од сваког негативног броја: \( 0 > -b \).
- Од два негативна броја већи је онај који има мању апсолутну вредност (онај који је ближи нули).
\( -7 < -2 \) јер је \( |-7| = 7 > 2 = |-2| \);
\( -9 < 0 < 3 \);
Поредак: \( -10 < -4 < -1 < 0 < 2 < 5 \).
\( -9 < 0 < 3 \);
Поредак: \( -10 < -4 < -1 < 0 < 2 < 5 \).
Сабирање:
- Бројеви истог знака: сабирају се њихове апсолутне вредности, а збиру се приписује њихов заједнички знак. \[ (-7) + (-8) = -(7 + 8) = -15 \]
- Бројеви различитог знака: од веће апсолутне вредности одузима се мања, а резултат добија знак сабирка са већом апсолутном вредношћу. \[ (-9) + 20 = +(20 - 9) = 11, \qquad 14 + (-20) = -(20 - 14) = -6 \]
- Збир супротних бројева једнак је нули: \( a + (-a) = 0 \).
Одузимање:
Одузимање се своди на сабирање са супротним бројем:
\[ a - b = a + (-b) \]
Ослобађање заграда: \( -(+b) = -b \), \quad \(-(-b) = +b \).
Растојање две тачке \( A(a) \) и \( B(b) \) на бројевној правој је:
\[ d(A, B) = |a - b| = |b - a| \]
\( -3 - 5 = -3 + (-5) = -8 \);
\( 4 - (-6) = 4 + 6 = 10 \);
\( -8 - (-12) = -8 + 12 = 4 \).
\( 4 - (-6) = 4 + 6 = 10 \);
\( -8 - (-12) = -8 + 12 = 4 \).
Правило знакова за множење и дељење:
- Производ/количник два броја истог знака је позитиван (\( + \)).
- Производ/количник два броја различитог знака је негативан (\( - \)).
| Операција множења | Операција дељења | Знак резултата |
|---|---|---|
| \( (+) \cdot (+) = (+) \) | \( (+) : (+) = (+) \) | Позитиван (\( + \)) |
| \( (-) \cdot (-) = (+) \) | \( (-) : (-) = (+) \) | Позитиван (\( + \)) |
| \( (+) \cdot (-) = (-) \) | \( (+) : (-) = (-) \) | Негативан (\( - \)) |
| \( (-) \cdot (+) = (-) \) | \( (-) : (+) = (-) \) | Негативан (\( - \)) |
Множење са \( -1 \), нулом и дељење:
\[ a \cdot (-1) = -a, \qquad a \cdot 0 = 0, \qquad 0 : a = 0 \quad (a \neq 0) \]
\[ c = a : b \iff a = b \cdot c \quad (b \neq 0) \]
Дељење нулом није дефинисано! Скуп \( \mathbb{Z} \) није затворен за дељење (нпр. \( 7 : 2 \notin \mathbb{Z} \)).
За све \( a, b, c \in \mathbb{Z} \) важе следећа својства:
- Комутативност: \( a + b = b + a \) \(\quad\) и \(\quad\) \( a \cdot b = b \cdot a \)
- Асоцијативност: \( (a + b) + c = a + (b + c) \) \(\quad\) и \(\quad\) \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)
- Неутрални елементи: \( a + 0 = a \) (за сабирање), \(\quad\) \( a \cdot 1 = a \) (за множење)
- Дистрибутивност множења према сабирању: \[ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \qquad \text{и} \qquad a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c) \text{ (извлачење чиниоца)} \]
- Знак производа више чинилаца:
- Паран број негативних чинилаца \(\implies\) производ је позитиван.
- Непаран број негативних чинилаца \(\implies\) производ је негативан.
1. Израчунавање вредности унутар заграда.
2. Множење и дељење (слева надесно).
3. Сабирање и одузимање (слева надесно).
2. Множење и дељење (слева надесно).
3. Сабирање и одузимање (слева надесно).
Примена дистрибутивности за брже рачунање:
\[ (-4) \cdot 73 + (-4) \cdot 27 = (-4) \cdot (73 + 27) = (-4) \cdot 100 = -400 \]
Задаци за вежбање
Лак задатак: Израчунај вредности следећих израза:
а) \( -15 + 23 \)
б) \( -8 - 14 \)
в) \( (-6) \cdot (-9) \)
г) \( -48 : 6 \)
а) \( -15 + 23 \)
б) \( -8 - 14 \)
в) \( (-6) \cdot (-9) \)
г) \( -48 : 6 \)
а) Различити знаци: \( -15 + 23 = +(23 - 15) = 8 \);
б) Одузимање: \( -8 - 14 = -8 + (-14) = -(8 + 14) = -22 \);
в) Исти знаци при множењу дају плус: \( (-6) \cdot (-9) = 54 \);
г) Различити знаци при дељењу дају минус: \( -48 : 6 = -8 \).
б) Одузимање: \( -8 - 14 = -8 + (-14) = -(8 + 14) = -22 \);
в) Исти знаци при множењу дају плус: \( (-6) \cdot (-9) = 54 \);
г) Различити знаци при дељењу дају минус: \( -48 : 6 = -8 \).
Средњи задатак: Израчунај вредност израза:
\[ A = -4 \cdot (-12 + 5) - (-36) : (-9) \]
Поштујемо приоритет операција:
1. Израз у загради: \( -12 + 5 = -7 \).
2. Множење и дељење: \[ -4 \cdot (-7) = 28 \] \[ (-36) : (-9) = 4 \]
3. Одузимање: \[ A = 28 - 4 = 24 \] Одговор: \( 24 \).
1. Израз у загради: \( -12 + 5 = -7 \).
2. Множење и дељење: \[ -4 \cdot (-7) = 28 \] \[ (-36) : (-9) = 4 \]
3. Одузимање: \[ A = 28 - 4 = 24 \] Одговор: \( 24 \).
Тежак задатак: Израчунај вредност израза користећи својства рачунских операција:
\[ B = (-25) \cdot 18 \cdot (-4) - \big( 37 \cdot (-8) + 63 \cdot (-8) \big) \]
1. За први део користимо комутативност и асоцијативност:
\[ (-25) \cdot 18 \cdot (-4) = \big((-25) \cdot (-4)\big) \cdot 18 = 100 \cdot 18 = 1\,800 \]
2. За други део примењујемо извлачење заједничког чиниоца \( -8 \) испред заграде (дистрибутивност):
\[ 37 \cdot (-8) + 63 \cdot (-8) = (-8) \cdot (37 + 63) = (-8) \cdot 100 = -800 \]
3. Сада израчунавамо цео израз:
\[ B = 1\,800 - (-800) = 1\,800 + 800 = 2\,600 \]
Одговор: \( 2\,600 \).
Примењени задатак: Једног зимског јутра температура је била \( -6\,^\circ\mathrm{C} \). До поднева је порасла за \( 9\,^\circ\mathrm{C} \), а током вечери је пала за \( 5\,^\circ\mathrm{C} \). Колика је коначна температура?
Пораст означавамо са \( +9 \), а пад са \( -5 \):
\[ -6 + 9 - 5 = (-6 + 9) - 5 = 3 - 5 = 3 + (-5) = -2 \]
Одговор: Коначна температура је \( -2\,^\circ\mathrm{C} \).
