Најважније из лекције
Збир унутрашњих углова сваког троугла једнак је опруженом углу: \( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \). Према угловима, троуглови су оштроугли (сви углови оштри), правоугли (један угао \( 90^\circ \); страница наспрам њега је хипотенуза, а друге две катете) или тупоугли (један угао туп). Спољашњи угао настаје продужавањем странице преко темена; он и њему суседни унутрашњи угао чине опружен угао (\( 180^\circ \)), а спољашњи угао једнак је збиру два несуседна унутрашња угла (нпр. \( \alpha_1 = \beta + \gamma \)). Збир сва три спољашња угла троугла је пун угао, \( 360^\circ \).
Ако унутрашње углове троугла означимо са \( \alpha \), \( \beta \) и \( \gamma \), онда је њихов збир увек исти.
Збир унутрашњих углова троугла једнак је опруженом углу. Мера опруженог угла је \( 180^\circ \).
\[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \]
Тврђење се доказује помоћу праве \( p \) која пролази кроз теме \( C \) и паралелна је страници \( AB \) (слика доле). Тада су наизменични углови уз праву \( p \) једнаки угловима троугла: \( \alpha' = \alpha \) и \( \beta' = \beta \). Пошто ти углови заједно чине опружен угао, важи \( \alpha' + \gamma + \beta' = 180^\circ \), односно \( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \).
Ако су позната два угла троугла, трећи угао добијамо тако што њихов збир одузмемо од \( 180^\circ \).
Задатак 3.1. Колика је мера унутрашњег угла \( \gamma \) троугла \( ABC \) ако је \( \alpha = 27^\circ \) и \( \beta = 67^\circ \)?
\[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \]
\[ 27^\circ + 67^\circ + \gamma = 180^\circ \]
\[ 94^\circ + \gamma = 180^\circ \]
\[ \gamma = 180^\circ - 94^\circ = 86^\circ \]
Пошто је збир сва три угла тачно \( 180^\circ \), не могу постојати троуглови са произвољно задатим угловима. На пример, углови \( 70^\circ, 80^\circ, 90^\circ \) не могу бити углови троугла јер је њихов збир \( 240^\circ > 180^\circ \), а углови \( 20^\circ, 30^\circ, 40^\circ \) не могу јер је њихов збир \( 90^\circ < 180^\circ \).
Према врсти углова троуглови се деле на три врсте:
Оштроугли троугао — оштроугли је ако су сви његови унутрашњи углови оштри (сваки мањи од \( 90^\circ \)).
Правоугли троугао — правоугли је ако му је један унутрашњи угао прав (\( 90^\circ \)). Страница наспрам правог угла назива се хипотенуза, а стране које одређују прав угао називају се катете.
Тупоугли троугао — тупоугли је ако му је један унутрашњи угао туп (између \( 90^\circ \) и \( 180^\circ \)).
Троугао може имати највише један прав угао или највише један туп угао, јер би у противном збир унутрашњих углова био већи од \( 180^\circ \).
Спољашњи угао троугла добија се када једну страницу троугла продужимо преко темена. Спољашњи угао је упоредан (суседан) са одговарајућим унутрашњим углом. Сваком унутрашњем углу одговарају два једнака спољашња угла (упоредни углови су једнаки).
Збир унутрашњег и њему одговарајућег спољашњег угла троугла јесте опружен угао. Мера опруженог угла је \( 180^\circ \).
\[ \alpha + \alpha_1 = 180^\circ, \quad \beta + \beta_1 = 180^\circ, \quad \gamma + \gamma_1 = 180^\circ \]
Спољашњи угао троугла једнак је збиру два њему несуседна унутрашња угла тог троугла.
\[ \alpha_1 = \beta + \gamma, \quad \beta_1 = \alpha + \gamma, \quad \gamma_1 = \alpha + \beta \]
Задатак 3.6. Одреди спољашњи угао \( \alpha_1 \) троугла \( ABC \) ако је \( \beta = 77^\circ \) и \( \gamma = 44^\circ \).
\[ \alpha_1 = \beta + \gamma = 77^\circ + 44^\circ = 121^\circ \]
Збир спољашњих углова троугла јесте пун угао. Мера пуног угла је \( 360^\circ \).
\[ \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 = (\beta + \gamma) + (\alpha + \gamma) + (\alpha + \beta) = 2 \cdot (\alpha + \beta + \gamma) = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ \]
Задаци за вежбање
Лак задатак: Одреди трећи унутрашњи угао троугла \( ABC \) ако су његова два унутрашња угла \( \alpha = 17^\circ \) и \( \beta = 71^\circ \).
Збир унутрашњих углова троугла је \( 180^\circ \):
\[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \]
\[ 17^\circ + 71^\circ + \gamma = 180^\circ \]
\[ 88^\circ + \gamma = 180^\circ \]
\[ \gamma = 180^\circ - 88^\circ = 92^\circ \]
Одговор: \( \gamma = 92^\circ \). (Пошто је \( \gamma \) туп, троугао је тупоугли.)
Средњи задатак: Један унутрашњи угао правоуглог троугла је \( \alpha = 20^\circ \). Одреди остале унутрашње углове тог троугла.
Троугао је правоугли, па је један угао прав: нека је \( \beta = 90^\circ \). Трећи угао означимо са \( \gamma \):
\[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \]
\[ 20^\circ + 90^\circ + \gamma = 180^\circ \]
\[ 110^\circ + \gamma = 180^\circ \]
\[ \gamma = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \]
Одговор: Прав угао је \( 90^\circ \), а трећи угао је \( \gamma = 70^\circ \).
Тежак задатак: Одреди трећи спољашњи угао и све унутрашње углове троугла \( ABC \) ако је \( \alpha_1 = 111^\circ \) и \( \beta_1 = 142^\circ \).
Спољашњи и њему суседни унутрашњи угао заједно чине опружен угао (\( 180^\circ \)), па из спољашњих добијамо унутрашње углове:
\[ \alpha = 180^\circ - \alpha_1 = 180^\circ - 111^\circ = 69^\circ \]
\[ \beta = 180^\circ - \beta_1 = 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ \]
Трећи унутрашњи угао добијамо из збира унутрашњих углова:
\[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \implies 69^\circ + 38^\circ + \gamma = 180^\circ \implies \gamma = 73^\circ \]
Трећи спољашњи угао је суседан углу \( \gamma \):
\[ \gamma_1 = 180^\circ - \gamma = 180^\circ - 73^\circ = 107^\circ \]
Одговор: Унутрашњи углови су \( \alpha = 69^\circ \), \( \beta = 38^\circ \), \( \gamma = 73^\circ \); трећи спољашњи угао је \( \gamma_1 = 107^\circ \).
