Најважније из лекције
Операције: Код сабирања истих знакова апсолутне вредности се сабирају, код различитих се одузимају. Одузимање је сабирање супротног броја: \( a - b = a + (-b) \). Код множења и дељења исти знаци дају \( + \), различити дају \( - \).
Дељење и двојни разломци: Дељење је множење реципрочном вредношћу (\( \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \)), а двојни разломак се решава множењем спољашњих кроз производ унутрашњих чланова (\( \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \)).
Једначине: Решавају се применом правила за одређивање непознатих компонената операција. Једначина облика \( |X| = c \) за \( c > 0 \) раставља се на две линеарне једначине: \( X = c \) или \( X = -c \).
Дељење и двојни разломци: Дељење је множење реципрочном вредношћу (\( \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \)), а двојни разломак се решава множењем спољашњих кроз производ унутрашњих чланова (\( \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \)).
Једначине: Решавају се применом правила за одређивање непознатих компонената операција. Једначина облика \( |X| = c \) за \( c > 0 \) раставља се на две линеарне једначине: \( X = c \) или \( X = -c \).
Сабирање бројева истог знака: Саберу се њихове апсолутне вредности, а збиру се приписује заједнички знак.
Сабирање бројева различитог знака: Од веће апсолутне вредности одузме се мања, а резултату се приписује знак сабирка са већом апсолутном вредношћу. Ако су бројеви супротни, њихов збир је \(0\).
Сабирање бројева различитог знака: Од веће апсолутне вредности одузме се мања, а резултату се приписује знак сабирка са већом апсолутном вредношћу. Ако су бројеви супротни, њихов збир је \(0\).
\[ a - b = a + (-b) \]
Одузимање рационалног броја \(b\) своди се на сабирање са његовим супротним бројем \(-b\).
Ако су сабирци дати у различитим записима (разломак и децимални број), преводе се у исти запис. Ако разломак даје бесконачан периодичан децимални број (нпр. \( \frac{1}{3} = 0{,}333\ldots \)), обавезно се рачуна у облику разломка.
Знак минус код негативног разломка може стајати испред разломка, уз бројилац или уз именилац:
\[ -\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} \]
\[ -\frac{3}{5} + \left(-\frac{1}{2}\right) = -\left(\frac{6}{10} + \frac{5}{10}\right) = -\frac{11}{10} = -1\frac{1}{10} \]
\[ 2{,}4 - 3{,}15 = 2{,}4 + (-3{,}15) = -(3{,}15 - 2{,}4) = -0{,}75 \]
Знак производа:
- Производ два броја истог знака је позитиван: \( (+) \cdot (+) = + \) и \( (-) \cdot (-) = + \).
- Производ два броја различитог знака је негативан: \( (+) \cdot (-) = - \) и \( (-) \cdot (+) = - \).
Реципрочна вредност броја \( r \) (\( r \neq 0 \)) јесте број \( \frac{1}{r} \) такав да је њихов производ једнак \( 1 \):
\[ \frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p} = 1 \quad (p \neq 0, q \neq 0) \]
Реципрочан број има исти знак као полазни број. Број \( 0 \) нема реципрочну вредност.
Пре множења бројилаца и именилаца, разломке обавезно скратити. Мешовите бројеве увек најпре претворити у неправилне разломке:
\[ -2\frac{1}{5} = -\left(2 + \frac{1}{5}\right) = -\frac{11}{5} \]
\[ \left(-\frac{3}{8}\right) \cdot \frac{10}{27} = -\frac{\cancel{3}^{1}}{\cancel{8}_{4}} \cdot \frac{\cancel{10}^{5}}{\cancel{27}_{9}} = -\frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 9} = -\frac{5}{36} \]
Поделити бројем \( \frac{r}{s} \) (\( \frac{r}{s} \neq 0 \)) исто је што и помножити његовом реципрочном вредношћу \( \frac{s}{r} \):
\[ \frac{p}{q} : \frac{r}{s} = \frac{p}{q} \cdot \frac{s}{r} \]
Нулом се не сме делити! За сваки број \( r \neq 0 \) важи \( 0 : r = 0 \).
Двојни разломак је количник два разломка записан помоћу разломачке црте:
\[ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \quad (b, c, d \neq 0) \]
Производ спољашњих чланова (\( a \) и \( d \)) пише се у бројилац, а производ унутрашњих чланова (\( b \) и \( c \)) у именилац.
\[ \left(-\frac{9}{11}\right) : \left(-\frac{12}{13}\right) = -\frac{9}{11} \cdot \left(-\frac{13}{12}\right) = \frac{\cancel{9}^{3} \cdot 13}{11 \cdot \cancel{12}_{4}} = \frac{39}{44} \]
\[ \frac{1\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{\cancel{3}^{1} \cdot \cancel{4}^{2}}{\cancel{2}_{1} \cdot \cancel{3}_{1}} = 2 \]
За све рационалне бројеве \( a, b, c \in \mathbb{Q} \) важи:
- Комутативност: \( a + b = b + a \), \( a \cdot b = b \cdot a \)
- Асоцијативност: \( (a + b) + c = a + (b + c) \), \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)
- Дистрибутивност према сабирању и одузимању: \( a \cdot (b \pm c) = a \cdot b \pm a \cdot c \)
- Неутрални елементи: \( a + 0 = a \), \( a \cdot 1 = a \)
- Множење са \(-1\): \( a \cdot (-1) = -a \)
1. Заграде: Прво се рачунају изрази унутар заграда.
2. Множење и дељење: Изводе се слева надесно пре сабирања и одузимања.
3. Сабирање и одузимање: Изводе се последња, слева надесно.
2. Множење и дељење: Изводе се слева надесно пре сабирања и одузимања.
3. Сабирање и одузимање: Изводе се последња, слева надесно.
Аритметичка средина бројева \( a \) и \( b \) јесте број:
\[ A_s = \frac{a + b}{2} \]
На бројевној правој она представља тачку која је тачно на средини између тачака \( a \) и \( b \).
За \( n \) бројева: \( A_s = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \).
За \( n \) бројева: \( A_s = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \).
Основни типови линеарних једначина:
- Непознати сабирак: \( x + a = b \implies x = b - a \)
- Непознати умањеник: \( x - a = b \implies x = b + a \)
- Непознати умањилац: \( a - x = b \implies x = a - b \)
- Непознати чинилац: \( a \cdot x = b \implies x = b : a \quad (a \neq 0) \)
- Непознати дељеник: \( x : a = b \implies x = b \cdot a \quad (a \neq 0) \)
- Непознати делилац: \( a : x = b \implies x = a : b \quad (b \neq 0) \)
Једначине са апсолутном вредношћу (\( |x| = c \)):
- Ако је \( c > 0 \), једначина има два решења: \( x = c \) или \( x = -c \).
- Ако је \( c = 0 \), јединствено решење је \( x = 0 \).
- Ако је \( c < 0 \), једначина нема решења (јер је апсолутна вредност увек ненегативна).
Решавање једначине са непознатим умањиоцем:
\[ 2{,}4 - a = 2\frac{1}{5} \implies a = 2{,}4 - 2{,}2 \implies a = 0{,}2 \]
Задаци за вежбање
Лак задатак: Израчунај:
а) \( -\frac{3}{8} + \frac{5}{6} \)
б) \( (-2{,}4) \cdot \left(-\frac{5}{12}\right) \)
а) \( -\frac{3}{8} + \frac{5}{6} \)
б) \( (-2{,}4) \cdot \left(-\frac{5}{12}\right) \)
а) Сводимо на заједнички именилац (НЗС за 8 и 6 је 24):
\[ -\frac{3 \cdot 3}{24} + \frac{5 \cdot 4}{24} = -\frac{9}{24} + \frac{20}{24} = \frac{11}{24} \]
б) Преведемо децимални број у разломак: \( -2{,}4 = -\frac{24}{10} = -\frac{12}{5} \).
Производ два негативна броја је позитиван: \[ \left(-\frac{12}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{12}\right) = \frac{\cancel{12}^{1}}{\cancel{5}_{1}} \cdot \frac{\cancel{5}^{1}}{\cancel{12}_{1}} = 1 \] Одговор: а) \( \frac{11}{24} \), б) \( 1 \).
Производ два негативна броја је позитиван: \[ \left(-\frac{12}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{12}\right) = \frac{\cancel{12}^{1}}{\cancel{5}_{1}} \cdot \frac{\cancel{5}^{1}}{\cancel{12}_{1}} = 1 \] Одговор: а) \( \frac{11}{24} \), б) \( 1 \).
Средњи задатак 1: Израчунај вредност израза:
\[ \frac{-\frac{3}{5}}{1{,}2} + \left( \frac{1}{2} - \frac{5}{6} \right) : \frac{2}{3} \]
1. Рачунамо двојни разломак превођењем \( 1{,}2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} \):
\[ \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{6}{5}} = -\frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2} \]
2. Рачунамо израз у загради:
\[ \frac{1}{2} - \frac{5}{6} = \frac{3}{6} - \frac{5}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3} \]
3. Делимо добијени разломак:
\[ \left(-\frac{1}{3}\right) : \frac{2}{3} = -\frac{1}{\cancel{3}_{1}} \cdot \frac{\cancel{3}^{1}}{2} = -\frac{1}{2} \]
4. Сабирамо резултате:
\[ -\frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) = -1 \]
Одговор: \( -1 \).
Средњи задатак 2: Реши једначину:
\[ \left( x - \frac{4}{3} \right) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{5}{6} \]
Прво одређујемо непознати чинилац \( \left( x - \frac{4}{3} \right) \):
\[ x - \frac{4}{3} = -\frac{5}{6} : \frac{1}{2} \]
\[ x - \frac{4}{3} = -\frac{5}{\cancel{6}_{3}} \cdot \frac{\cancel{2}^{1}}{1} = -\frac{5}{3} \]
Сада одређујемо непознати умањеник \( x \):
\[ x = -\frac{5}{3} + \frac{4}{3} = \frac{-5 + 4}{3} = -\frac{1}{3} \]
Одговор: \( x = -\frac{1}{3} \).
Тежак задатак: Реши једначину у скупу \( \mathbb{Q} \):
\[ \left| y + 1 \right| - \frac{3}{4} = 3{,}75 \]
Преведемо \( 3{,}75 \) у разломак: \( 3{,}75 = 3\frac{3}{4} = \frac{15}{4} \).
Ослободимо израз са апсолутном вредношћу (непознати умањеник): \[ |y + 1| = \frac{15}{4} + \frac{3}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4{,}5 \] Пошто је \( \frac{9}{2} > 0 \), једначина има два случаја:
Први случај: \[ y + 1 = \frac{9}{2} \implies y = \frac{9}{2} - 1 = \frac{9}{2} - \frac{2}{2} = \frac{7}{2} = 3{,}5 \]
Други случај: \[ y + 1 = -\frac{9}{2} \implies y = -\frac{9}{2} - 1 = -\frac{9}{2} - \frac{2}{2} = -\frac{11}{2} = -5{,}5 \] Одговор: \( y_1 = \frac{7}{2} \) (\( 3{,}5 \)) и \( y_2 = -\frac{11}{2} \) (\( -5{,}5 \)).
Ослободимо израз са апсолутном вредношћу (непознати умањеник): \[ |y + 1| = \frac{15}{4} + \frac{3}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4{,}5 \] Пошто је \( \frac{9}{2} > 0 \), једначина има два случаја:
Први случај: \[ y + 1 = \frac{9}{2} \implies y = \frac{9}{2} - 1 = \frac{9}{2} - \frac{2}{2} = \frac{7}{2} = 3{,}5 \]
Други случај: \[ y + 1 = -\frac{9}{2} \implies y = -\frac{9}{2} - 1 = -\frac{9}{2} - \frac{2}{2} = -\frac{11}{2} = -5{,}5 \] Одговор: \( y_1 = \frac{7}{2} \) (\( 3{,}5 \)) и \( y_2 = -\frac{11}{2} \) (\( -5{,}5 \)).
