Најважније из лекције
Директна пропорционалност: Величина \( y \) зависи од величине \( x \) по правилу \( y = k \cdot x \), где је \( k = \frac{y}{x} \) сталан количник (коефицијент). Њен график је права/полуправа која пролази кроз координатни почетак \( (0, 0) \).
Процентне промене производа: Сваки чинилац се множи фактором \( (1 \pm p\%) \). Коначна промена производа једнака је производу појединачних фактора промене.
Задаци са испаравањем и сушењем: Кључ за решавање је чињеница да је маса суве материје константна: \[ m_{\text{суве}} = (100\% - \%_{\text{воде}})_{\text{почетно}} \cdot M_{\text{почетно}} = (100\% - \%_{\text{воде}})_{\text{крајње}} \cdot M_{\text{крајње}} \]
Процентне промене производа: Сваки чинилац се множи фактором \( (1 \pm p\%) \). Коначна промена производа једнака је производу појединачних фактора промене.
Задаци са испаравањем и сушењем: Кључ за решавање је чињеница да је маса суве материје константна: \[ m_{\text{суве}} = (100\% - \%_{\text{воде}})_{\text{почетно}} \cdot M_{\text{почетно}} = (100\% - \%_{\text{воде}})_{\text{крајње}} \cdot M_{\text{крајње}} \]
Две зависне величине су директно пропорционалне ако је количник њихових одговарајућих вредности сталан (константан). То значи: колико се пута повећа или смањи једна величина, толико се пута повећа или смањи и друга величина.
\[ \frac{y}{x} = k \quad \Longleftrightarrow \quad y = k \cdot x \]
\( k \) је коефицијент директне пропорционалности (\( k \neq 0 \)).
Када величине меримо различитим јединицама мере, коефицијент пропорционалности добија одговарајућу изведену јединицу мере (количник полазних јединица):
| Величина \( x \) | Величина \( y \) | Коефицијент \( k = \frac{y}{x} \) |
|---|---|---|
| Запремина \( V \text{ (cm}^3\text{)} \) | Маса \( m \text{ (g)} \) | Густина \( \rho = \frac{m}{V} \text{ (g/cm}^3\text{)} \) |
| Време \( t \text{ (s)} \) | Пређени пут \( s \text{ (m)} \) | Брзина \( v = \frac{s}{t} \text{ (m/s)} \) |
| Количина робе \( K \text{ (kg)} \) | Вредност \( P \text{ (дин.)} \) | Цена по јединици \( c = \frac{P}{K} \text{ (дин./kg)} \) |
Претварање јединица брзине:
\[ 90 \text{ km/h} = 90 \cdot \frac{1000 \text{ m}}{60 \text{ min}} = 1500 \text{ m/min} \]
График директне пропорционалности \( y = k \cdot x \) у координатном систему представља полуправу или праву која полази из координатног почетка \( (0, 0) \).
Све тачке са координатама \( (x, y) \) које задовољавају формулу директне пропорционалности налазе се на истој правој (колинеарне су). За цртање графика довољно је одредити координатни почетак \( (0,0) \) и још једну тачку \( (x_1, y_1) \).
Ако се тело равномерно креће брзином \( 1,5 \text{ m/min} \), зависност пређеног пута \( s \) од времена \( t \) дата је формулом \( s = 1,5 \cdot t \). График је полуправа која полази из \( (0, 0) \) и пролази кроз тачке \( (1; 1,5) \), \( (2; 3) \), \( (3; 4,5) \).
Када се чиниоци у неком производу повећају или смање за одређени проценат, нови производ се израчунава множењем полазних вредности одговарајућим децималним факторима \( (1 + p\%) \) или \( (1 - p\%) \).
Изразити сваки промењени чинилац преко полазног: повећање од \( p\% \) је \( (1 + 0,01 \cdot p) \cdot x \), а смањење од \( q\% \) је \( (1 - 0,01 \cdot q) \cdot x \).
Помножити добијене коефицијенте да се одреди укупан фактор промене производа.
Упоредити нови фактор са бројем 1 и изразити крајњу промену у процентима.
За колико се процената промени производ два броја ако се један чинилац повећа за \( 10\% \), а други смањи за \( 20\% \)?
Нека је полазни производ \( P = a \cdot b \).
Нови чиниоци су: \( a' = 1,1 \cdot a \) и \( b' = 0,8 \cdot b \).
Нови производ је: \[ P' = a' \cdot b' = 1,1 \cdot a \cdot 0,8 \cdot b = (1,1 \cdot 0,8) \cdot (a \cdot b) = 0,88 \cdot P \] Пошто је \( 0,88 = 88\% \), производ се смањио за: \[ 100\% - 88\% = 12\% \] Одговор: Производ се смањио за \( 12\% \).
Нови чиниоци су: \( a' = 1,1 \cdot a \) и \( b' = 0,8 \cdot b \).
Нови производ је: \[ P' = a' \cdot b' = 1,1 \cdot a \cdot 0,8 \cdot b = (1,1 \cdot 0,8) \cdot (a \cdot b) = 0,88 \cdot P \] Пошто је \( 0,88 = 88\% \), производ се смањио за: \[ 100\% - 88\% = 12\% \] Одговор: Производ се смањио за \( 12\% \).
Приликом стајања, сушења или испаравања намирница (воће, поврће, печурке), маса суве (суве материје) остаје непромењена, док се мења само количина воде и укупна маса!
Укупна маса састоји се од воде и суве материје:
\[ \text{проценат суве материје} = 100\% - \text{проценат воде} \]
\[ m_{\text{суве материје}} = \text{const.} \]
У подруму је било \( 100 \text{ kg} \) кромпира који садржи \( 96\% \) воде. Стајањем, кромпир губи воду, тако да је нови садржај воде у њему \( 95\% \). Колика је нова маса кромпира?
1. Одредимо масу суве материје на почетку:
\[ 100\% - 96\% = 4\% \text{ суве материје} \]
\[ m_{\text{суве}} = 4\% \text{ од } 100 \text{ kg} = 0,04 \cdot 100 = 4 \text{ kg} \]
2. Након губитка воде, сува материја чини \( 100\% - 95\% = 5\% \) нове масе \( M \):
\[ 5\% \cdot M = 4 \text{ kg} \implies 0,05 \cdot M = 4 \]
\[ M = \frac{4}{0,05} = 80 \text{ kg} \]
Одговор: Сада у подруму има \( 80 \text{ kg} \) кромпира.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Вода се у празну посуду равномерно улива брзином од \( 0,4 \text{ l/min} \).
- Напишите формулу која повезује запремину воде \( V \) (у литрима) и време уливања \( t \) (у минутима).
- Колика ће бити запремина воде у посуди након \( 15 \text{ min} \)?
- Формула директне пропорционалности гласи: \( V = 0,4 \cdot t \).
- За \( t = 15 \text{ min} \): \[ V = 0,4 \cdot 15 = 6 \text{ l} \]
Задатак 2 (средњи): Столњак правоугаоног облика при првом прању се скупио за \( 3\% \) по дужини и за \( 2\% \) по ширини. За колико процената се смањила површина столњака после првог прања?
Нека су почетне димензије столњака дужина \( a \) и ширина \( b \), а почетна површина \( P = a \cdot b \).
Након прања:
Нова дужина: \( a' = a - 0,03a = 0,97a \)
Нова ширина: \( b' = b - 0,02b = 0,98b \)
Нова површина: \[ P' = a' \cdot b' = 0,97a \cdot 0,98b = 0,9506 \cdot (a \cdot b) = 0,9506 \cdot P \] Површина износи \( 95,06\% \) од првобитне површине, па је смањење: \[ 100\% - 95,06\% = 4,94\% \] Одговор: Површина столњака се смањила за \( 4,94\% \).
Након прања:
Нова дужина: \( a' = a - 0,03a = 0,97a \)
Нова ширина: \( b' = b - 0,02b = 0,98b \)
Нова површина: \[ P' = a' \cdot b' = 0,97a \cdot 0,98b = 0,9506 \cdot (a \cdot b) = 0,9506 \cdot P \] Површина износи \( 95,06\% \) од првобитне површине, па је смањење: \[ 100\% - 95,06\% = 4,94\% \] Одговор: Површина столњака се смањила за \( 4,94\% \).
Задатак 3 (средњи/тежак): Свеже шљиве садрже \( 85\% \) воде, а суве шљиве \( 25\% \) воде. Колико се килограма сувих шљива може добити сушењем \( 85 \text{ kg} \) свежих шљива?
1. Израчунавамо проценат и масу суве материје у свежим шљивама:
Проценат суве материје: \( 100\% - 85\% = 15\% \). \[ m_{\text{суве}} = 15\% \text{ од } 85 \text{ kg} = 0,15 \cdot 85 = 12,75 \text{ kg} \] 2. Сува материја остаје иста у сувим шљивама, где чини: \[ 100\% - 25\% = 75\% \text{ укупне масе сувих шљива } (M_s) \] 3. Постављамо једначину: \[ 0,75 \cdot M_s = 12,75 \implies M_s = \frac{12,75}{0,75} = \frac{1275}{75} = 17 \text{ kg} \] Одговор: Може се добити \( 17 \text{ kg} \) сувих шљива.
Проценат суве материје: \( 100\% - 85\% = 15\% \). \[ m_{\text{суве}} = 15\% \text{ од } 85 \text{ kg} = 0,15 \cdot 85 = 12,75 \text{ kg} \] 2. Сува материја остаје иста у сувим шљивама, где чини: \[ 100\% - 25\% = 75\% \text{ укупне масе сувих шљива } (M_s) \] 3. Постављамо једначину: \[ 0,75 \cdot M_s = 12,75 \implies M_s = \frac{12,75}{0,75} = \frac{1275}{75} = 17 \text{ kg} \] Одговор: Може се добити \( 17 \text{ kg} \) сувих шљива.
Задатак 4 (тежак): Свеже печурке садрже \( 81\% \) воде, а суве печурке \( 5\% \) воде. Колико је килограма свежих печурака потребно да би се добило \( 5 \text{ kg} \) сувих печурака?
1. У \( 5 \text{ kg} \) сувих печурака проценат суве материје је \( 100\% - 5\% = 95\% \).
\[ m_{\text{суве}} = 0,95 \cdot 5 = 4,75 \text{ kg} \]
2. У свежим печуркама проценат суве материје је:
\[ 100\% - 81\% = 19\% \]
3. Нека је \( M_{sv} \) потребна маса свежих печурака:
\[ 19\% \cdot M_{sv} = 4,75 \text{ kg} \]
\[ 0,19 \cdot M_{sv} = 4,75 \implies M_{sv} = \frac{4,75}{0,19} = \frac{475}{19} = 25 \text{ kg} \]
Одговор: Потребно је \( 25 \text{ kg} \) свежих печурака.
