Најважније из лекције
- Скуп \( Q \) обухвата све бројеве који се могу записати као \( \frac{p}{q} \) (\( p, q \in Z, q \neq 0 \)). Састоји се од позитивних, негативних рационалних бројева и нуле.
- Супротни бројеви (\( r \) и \( -r \)) се налазе на истим растојањима од нуле, али са различитих страна на бројевној правој. Њихове апсолутне вредности су једнаке.
- Апсолутна вредност \( |r| \) је растојање броја од нуле и увек је \( \geq 0 \).
- Операције проширивања и скраћивања важе исто као и код обичних разломака, уз пажљиво руковање негативним предзнаком.
Рационалан број је сваки број који се може записати као количник два цела броја, при чему делилац не сме бити нула.
\[ Q = \left\{ \frac{p}{q} \mid p, q \in Z, q \neq 0 \right\} \]
Број \( p \) је бројилац, а број \( q \) именилац.
Скуп рационалних бројева \( Q \) чине позитивни рационални бројеви (\( Q^+ \)), негативни рационални бројеви (\( Q^- \)) и нула.
\[ Q = Q^{-} \cup \{0\} \cup Q^{+} \]
Рационални бројеви се осим у облику разломка могу записивати и у децималном запису (нпр. \( 0,25 \)) или помоћу процената (нпр. \( 25\% \)).
Запиши број \( -3 \) и децимални број \( 0,7 \) у облику рационалног броја \( \frac{p}{q} \).
Цео број \( -3 \) можемо записати као \( \frac{-3}{1} \) или \( -\frac{3}{1} \).
Децимални број \( 0,7 \) записујемо као \( \frac{7}{10} \).
Децимални број \( 0,7 \) записујемо као \( \frac{7}{10} \).
Сваком рационалном броју одговара тачно једна тачка на бројевној правој. Позитивни бројеви су десно од координатног почетка \( O(0) \), а негативни лево.
Супротни бројеви су рационални бројеви којима су придружене тачке са разних страна координатног почетка, а на једнаком растојању од њега.
Супротан број рационалног броја \( r \) означавамо са \( -r \).
Важи правило: \( -(-r) = r \) (супротан број супротног броја је сам тај број).
Супротан број нуле је нула.
Важи правило: \( -(-r) = r \) (супротан број супротног броја је сам тај број).
Супротан број нуле је нула.
Одреди супротан број за бројеве: а) \( \frac{4}{5} \), б) \( -\frac{2}{3} \), в) \( -(-\frac{1}{7}) \).
а) Супротан број је \( -\frac{4}{5} \).
б) Супротан број је \( \frac{2}{3} \).
в) Пошто је \( -(-\frac{1}{7}) = \frac{1}{7} \), њему супротан број је \( -\frac{1}{7} \).
б) Супротан број је \( \frac{2}{3} \).
в) Пошто је \( -(-\frac{1}{7}) = \frac{1}{7} \), њему супротан број је \( -\frac{1}{7} \).
Апсолутна вредност рационалног броја \( r \), у ознаци \( |r| \), представља растојање тачке која одговара том броју од координатног почетка на бројевној правој.
- Апсолутна вредност је увек ненегативна: \( |r| \geq 0 \).
- Супротни бројеви имају једнаке апсолутне вредности: \( |r| = |-r| \).
- Ако је \( r > 0 \), онда је \( |r| = r \).
- Ако је \( r < 0 \), онда је \( |r| = -r \).
- \( \left| \frac{p}{q} \right| = \frac{|p|}{|q|} \).
\( \left| -\frac{3}{4} \right| = \frac{3}{4} \)
\( \left| 1\frac{1}{2} \right| = 1\frac{1}{2} \)
\( \left| 1\frac{1}{2} \right| = 1\frac{1}{2} \)
Реши једначину: \( |x| = \frac{5}{8} \).
Постоје два броја чија је удаљеност од нуле једнака \( \frac{5}{8} \). То су сам тај број и њему супротан број.
Решење: \( x = \frac{5}{8} \) или \( x = -\frac{5}{8} \).
Решење: \( x = \frac{5}{8} \) или \( x = -\frac{5}{8} \).
Рационалне бројеве проширујемо и скраћујемо на исти начин као и разломке, множећи односно делећи бројилац и именилац истим целим бројем различитим од нуле.
Проширивање: \( \frac{p}{q} = \frac{p \cdot k}{q \cdot k} \quad (k \neq 0) \)
Скраћивање: \( \frac{p}{q} = \frac{p : k}{q : k} \quad (k \neq 0) \)
Скраћивање: \( \frac{p}{q} = \frac{p : k}{q : k} \quad (k \neq 0) \)
Проширивањем са \( -1 \), сваки рационалан број чији је именилац негативан може се превести у број са позитивним имениоцем. На пример: \( \frac{4}{-5} = \frac{4 \cdot (-1)}{-5 \cdot (-1)} = \frac{-4}{5} = -\frac{4}{5} \).
При претварању негативног неправилног разломка у мешовити број, знак минус остаје испред целог израза.
\[ -n\frac{a}{b} = -\frac{n \cdot b + a}{b} \]
Претварање у мешовити број: \( -\frac{17}{5} = -3\frac{2}{5} \).
Задаци за вежбање
Лак:
Дати разломак запиши у децималном запису и одреди његову апсолутну вредност: \( -\frac{3}{4} \).
Да бисмо претворили у децимални запис, проширујемо разломак до имениоца 100 (множимо са 25):
\( -\frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = -\frac{75}{100} = -0,75 \)
Апсолутна вредност означава удаљеност од нуле, па одбацујемо минус:
\( |-0,75| = 0,75 \) (или \( \frac{3}{4} \)).
\( -\frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = -\frac{75}{100} = -0,75 \)
Апсолутна вредност означава удаљеност од нуле, па одбацујемо минус:
\( |-0,75| = 0,75 \) (или \( \frac{3}{4} \)).
Средњи:
Скрати рационалан број \( -\frac{54}{72} \) до несводљивог разломка, а затим одреди њему супротан број.
Тражимо највећи заједнички делилац за 54 и 72, што је 18. Делимо и бројилац и именилац са 18:
\( -\frac{54 : 18}{72 : 18} = -\frac{3}{4} \)
Супротан број броја \( -\frac{3}{4} \) је број са промењеним знаком, дакле \( \frac{3}{4} \).
\( -\frac{54 : 18}{72 : 18} = -\frac{3}{4} \)
Супротан број броја \( -\frac{3}{4} \) је број са промењеним знаком, дакле \( \frac{3}{4} \).
Тежак:
Запиши рационалан број \( \frac{23}{-7} \) у облику мешовитог броја, а затим постави једначину и пронађи све вредности \( x \) за које важи да је апсолутна вредност од \( x \) једнака том мешовитом броју (ако је то могуће).
Прво, пребацимо минус у бројилац (или испред разломка): \( \frac{23}{-7} = -\frac{23}{7} \).
Претварамо у мешовити број: \( 23 : 7 = 3 \) (остатак 2). Дакле, \( -\frac{23}{7} = -3\frac{2}{7} \).
Постављамо једначину: \( |x| = -3\frac{2}{7} \).
Закључак: Пошто апсолутна вредност било ког броја мора бити ненегативна (\( |x| \geq 0 \)), ова једначина нема решења. Не постоји број чија је апсолутна вредност негативна.
Претварамо у мешовити број: \( 23 : 7 = 3 \) (остатак 2). Дакле, \( -\frac{23}{7} = -3\frac{2}{7} \).
Постављамо једначину: \( |x| = -3\frac{2}{7} \).
Закључак: Пошто апсолутна вредност било ког броја мора бити ненегативна (\( |x| \geq 0 \)), ова једначина нема решења. Не постоји број чија је апсолутна вредност негативна.
