Најважније из лекције
Ставови подударности и конструкције: ССС (три странице), СУС (две странице и угао између њих), УСУ (страница и два налегла угла), ССУ (две странице и угао наспрам веће).
Значајне тачке: Симетрале страница се секу у центру описане кружнице; симетрале углова се секу у центру уписане кружнице.
Упоређивање: Позитиван број \( > 0 > \) негативан број. Од два негативна броја већи је онај са мањом апсолутном вредношћу (\( -\frac{1}{3} > -\frac{2}{3} \)).
Децимални запис: Коначан је ако именилац несводљивог разломка има само просте факторе \(2\) и \(5\); у супротном је бесконачан периодичан.
Заокругливање на цифру 5: Ако иза петице има цифара \(\neq 0\), цифра испред се увећава за 1. Ако нема, примењује се правило парне цифре: непарна се увећава (\(-18{,}775 \approx -18{,}78\)), а парна остаје иста (\(-18{,}765 \approx -18{,}76\)).
Значајне тачке: Симетрале страница се секу у центру описане кружнице; симетрале углова се секу у центру уписане кружнице.
Упоређивање: Позитиван број \( > 0 > \) негативан број. Од два негативна броја већи је онај са мањом апсолутном вредношћу (\( -\frac{1}{3} > -\frac{2}{3} \)).
Децимални запис: Коначан је ако именилац несводљивог разломка има само просте факторе \(2\) и \(5\); у супротном је бесконачан периодичан.
Заокругливање на цифру 5: Ако иза петице има цифара \(\neq 0\), цифра испред се увећава за 1. Ако нема, примењује се правило парне цифре: непарна се увећава (\(-18{,}775 \approx -18{,}78\)), а парна остаје иста (\(-18{,}765 \approx -18{,}76\)).
Ставови подударности одређују минималне услове под којима су два троугла подударна (имају једнаке све одговарајуће странице и углове). Исти елементи користе се и за једнозначну конструкцију троугла:
1. Став СУС (Страница – Угао – Страница):
Два троугла су подударна ако су две странице и угао захваћен њима једног троугла једнаки одговарајућим страницама и углу другог троугла.
Два троугла су подударна ако су две странице и угао захваћен њима једног троугла једнаки одговарајућим страницама и углу другог троугла.
2. Став УСУ (Угао – Страница – Угао):
Два троугла су подударна ако су једна страница и два угла налегла на ту страницу једног троугла једнаки одговарајућој страници и налеглим угловима другог троугла.
Два троугла су подударна ако су једна страница и два угла налегла на ту страницу једног троугла једнаки одговарајућој страници и налеглим угловима другог троугла.
3. Став ССС (Страница – Страница – Страница):
Два троугла су подударна ако су све три странице једног троугла једнаке одговарајућим страницама другог троугла.
Два троугла су подударна ако су све три странице једног троугла једнаке одговарајућим страницама другог троугла.
4. Став ССУ (Страница – Страница – Угао):
Два троугла су подударна ако су две странице и угао наспрам веће (дуже) од њих једног троугла једнаки одговарајућим страницама и углу другог троугла.
Два троугла су подударна ако су две странице и угао наспрам веће (дуже) од њих једног троугла једнаки одговарајућим страницама и углу другог троугла.
Код ССУ става, угао обавезно мора бити наспрам веће од две дате странице како би троугао био једнозначно одређен.
Дати су подаци о троуглу: \( a = 6\text{ cm} \), \( b = 4\text{ cm} \) и \( \alpha = 60^\circ \). Којом конструкцијом конструишемо овај троугао?
Дата су два крака и угао \( \alpha \) који се налази наспрам странице \( a \). Пошто је \( a > b \) (\(6\text{ cm} > 4\text{ cm}\)), дати угао се налази наспрам веће странице. Конструкција је ССУ.
Центар описане кружнице троугла јесте тачка пресека симетрала страница троугла. Ова тачка је подједнако удаљена од сва три темена троугла.
Центар уписане кружнице троугла јесте тачка пресека симетрала унутрашњих углова троугла. Ова тачка је подједнако удаљена од све три странице троугла.
Симетрала странице је права нормална на ту страницу која пролази кроз њено средиште, док симетрала угла дели унутрашњи угао на два једнака дела.
Како одређујемо центар кружнице која додирује све три странице датог троугла?
Кружница која додирује све странице троугла јесте уписана кружница. Њен центар се добија у пресеку симетрала унутрашњих углова троугла.
| Правило | Пример |
|---|---|
| Сваки позитиван рационалан број већи је од сваког негативног рационалног броја. | \( \frac{3}{7} > -\frac{4}{5} \) |
| Број \(0\) је већи од сваког негативног, а мањи од сваког позитивног броја. | \( 0 > -\frac{1}{3} \), \( 0 < \frac{2}{5} \) |
| Од два различита негативна рационална броја већи је онај чија је апсолутна вредност мања. | \( |-\frac{1}{2}| = \frac{2}{4} < |-\frac{3}{4}| = \frac{3}{4} \implies -\frac{1}{2} > -\frac{3}{4} \) |
| Ако су \( a, b \in \mathbb{Z} \) и \( n \in \mathbb{N} \), тада из \( a < b \) следи \( \frac{a}{n} < \frac{b}{n} \). | \( -4 < -2 \implies -\frac{4}{5} < -\frac{2}{5} \) |
Упоредите рационалне бројеве \(-\frac{5}{6}\) и \(-\frac{7}{9}\).
Сведемо разломке на заједнички именилац \(18\):
\[ -\frac{5}{6} = -\frac{15}{18}, \quad -\frac{7}{9} = -\frac{14}{18} \]
Упоређујемо бројиоце: пошто је \( -15 < -14 \), следи да је \( -\frac{15}{18} < -\frac{14}{18} \), односно:
\[ -\frac{5}{6} < -\frac{7}{9} \]
Превођење разломка у децимални запис: Дељењем бројиоца имениоцем. Код негативних бројева одреди се децимални запис апсолутне вредности, па се испред напише знак минус:
\[ -\frac{4}{5} = -0{,}8 \]
Превођење децималног броја у разломак: Број са коначним записом записујемо са имениоцем који је декадна јединица (\(10, 100, 1000\dots\)), а затим скраћујемо:
\[ -0{,}28 = -\frac{28}{100} = -\frac{7}{25} \]
Особине децималног записа:
- Брисање или дописивање нула на крају децималног дела не мења вредност броја: \( -0{,}34 = -0{,}3400 \).
- Ако је именилац несводљивог разломка делилац неке декадне јединице (његови прости чиниоци су искључиво \(2\) и/или \(5\)), запис је коначан. Пример: \( \frac{3}{25} = 0{,}12 \).
- Ако именилац несводљивог разломка није делилац ниједне декадне јединице (садржи и друге просте чиниоце осим \(2\) и \(5\)), децимални запис је бесконачан периодичан. Пример: \( -\frac{6}{7} = -0{,}(857142) \).
Да ли разломак \( \frac{7}{40} \) има коначан или периодичан децимални запис?
Именилац је \( 40 = 2^3 \cdot 5 \). Пошто се у раставу јављају само чиниоци \(2\) и \(5\), број \(40\) је делилац декадне јединице (\(1000 : 40 = 25\)). Због тога је децимални запис коначан: \( \frac{7}{40} = 0{,}175 \).
| Прва одбачена цифра | Правило | Пример |
|---|---|---|
| Мања од 5 (\(0, 1, 2, 3, 4\)) | Цифре испред остају непромењене. | \( -11{,}346 \approx -11{,}3 \) (на 1 децималу) |
| Већа од 5 (\(6, 7, 8, 9\)) | Цифра испред се увећава за 1. | \( -11{,}348 \approx -11{,}35 \) (на 2 децимале) |
| Једнака 5, а иза ње има цифара различитих од 0 | Цифра испред се увећава за 1. | \( -35{,}251 \approx -35{,}3 \) (на 1 децималу) |
| Једнака 5, иза ње нема других цифара различитих од 0, а цифра испред је непарна | Цифра испред се увећава за 1 (постаје парна). | \( -18{,}775 \approx -18{,}78 \) (на 2 децимале) |
| Једнака 5, иза ње нема других цифара различитих од 0, а цифра испред је парна | Цифра испред остаје непромењена. | \( -18{,}765 \approx -18{,}76 \) (на 2 децимале) |
Ако се цифра \(9\) увећава за \(1\), она постаје \(0\), а цифра лево од ње се увећава за \(1\) (нпр. \( 11{,}496 \approx 11{,}50 \)).
Заокруглите број \( -4{,}685 \) на две децимале.
Прва одбачена цифра је \(5\), и иза ње нема других цифара. Цифра испред ње је \(8\) (парна), па она остаје непромењена:
\[ -4{,}685 \approx -4{,}68 \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Поређајте по величини од најмањег до највећег следеће рационалне бројеве:
\[ 0; \quad -\frac{2}{3}; \quad \frac{1}{4}; \quad -\frac{5}{6} \]
Упоређујемо прво негативне бројеве: \( |-\frac{2}{3}| = \frac{4}{6} \), \( |-\frac{5}{6}| = \frac{5}{6} \).
Пошто је \( \frac{5}{6} > \frac{4}{6} \), следи да је \( -\frac{5}{6} < -\frac{2}{3} \).
Негативни бројеви су мањи од \(0\), а \(0\) је мања од позитивног броја \( \frac{1}{4} \).
Редослед: \( -\frac{5}{6} < -\frac{2}{3} < 0 < \frac{1}{4} \).
Пошто је \( \frac{5}{6} > \frac{4}{6} \), следи да је \( -\frac{5}{6} < -\frac{2}{3} \).
Негативни бројеви су мањи од \(0\), а \(0\) је мања од позитивног броја \( \frac{1}{4} \).
Редослед: \( -\frac{5}{6} < -\frac{2}{3} < 0 < \frac{1}{4} \).
Задатак 2 (средњи):
а) Како се назива тачка која представља пресек симетрала унутрашњих углова троугла?
б) Троуглови \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \) имају \( AB = A_1B_1 = 5\text{ cm} \), \( AC = A_1C_1 = 7\text{ cm} \) и \( \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 = 45^\circ \). На основу ког става су ови троуглови подударни?
а) Како се назива тачка која представља пресек симетрала унутрашњих углова троугла?
б) Троуглови \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \) имају \( AB = A_1B_1 = 5\text{ cm} \), \( AC = A_1C_1 = 7\text{ cm} \) и \( \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 = 45^\circ \). На основу ког става су ови троуглови подударни?
а) Тачка пресека симетрала унутрашњих углова је центар уписане кружнице троугла.
б) Дата су два пара једнаких страница и једнак угао између њих (\( \angle A \) се налази између страница \( AB \) и \( AC \)). Према томе, троуглови су подударни на основу става СУС.
б) Дата су два пара једнаких страница и једнак угао између њих (\( \angle A \) се налази између страница \( AB \) и \( AC \)). Према томе, троуглови су подударни на основу става СУС.
Задатак 3 (средњи): Преведите разломак \( -\frac{5}{8} \) у децимални запис, а затим одредите да ли разломак \( \frac{4}{15} \) има коначан или периодичан децимални запис.
1. Рачунамо \( 5 : 8 = 0{,}625 \), па је \( -\frac{5}{8} = -0{,}625 \).
2. Разломак \( \frac{4}{15} \) је несводљив, а именилац је \( 15 = 3 \cdot 5 \). Пошто садржи чинилац \(3\) (различит од \(2\) и \(5\)), именилац није делилац ниједне декадне јединице. Стога је децимални запис периодичан (\( 4 : 15 = 0{,}2666\dots = 0{,}2(6) \)).
2. Разломак \( \frac{4}{15} \) је несводљив, а именилац је \( 15 = 3 \cdot 5 \). Пошто садржи чинилац \(3\) (различит од \(2\) и \(5\)), именилац није делилац ниједне декадне јединице. Стога је децимални запис периодичан (\( 4 : 15 = 0{,}2666\dots = 0{,}2(6) \)).
Задатак 4 (тежак): Заокруглите на једну децималу (на десете) следеће бројеве:
а) \( -12{,}450 \)
б) \( -12{,}750 \)
в) \( 3{,}6501 \)
а) \( -12{,}450 \)
б) \( -12{,}750 \)
в) \( 3{,}6501 \)
а) Прва одбачена цифра је \(5\), иза ње су само нуле. Испред петице је парна цифра \(4\), па остаје непромењена:
\[ -12{,}450 \approx -12{,}4 \]
б) Прва одбачена цифра је \(5\), иза ње су само нуле. Испред петице је непарна цифра \(7\), па се увећава за 1:
\[ -12{,}750 \approx -12{,}8 \]
в) Прва одбачена цифра је \(5\), али иза ње постоји цифра различита од нуле (\(1\)), па се цифра испред обавезно увећава за 1:
\[ 3{,}6501 \approx 3{,}7 \]
