Најважније из лекције
Трапез: \( P = \frac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h \quad \) (нпр. за \( a=10, b=6, h=4 \implies P = \frac{16}{2} \cdot 4 = 32 \))
Четвороугли са нормалним дијагоналама (делтоид): \( P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \quad \) (нпр. за \( d_1=6, d_2=8 \implies P = \frac{48}{2} = 24 \))
Ромб: \( P = a \cdot h = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \)
Квадрат: \( P = a^2 = \frac{d^2}{2} \quad \) (нпр. за \( d=6 \implies P = \frac{36}{2} = 18 \))
Четвороугли са нормалним дијагоналама (делтоид): \( P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \quad \) (нпр. за \( d_1=6, d_2=8 \implies P = \frac{48}{2} = 24 \))
Ромб: \( P = a \cdot h = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \)
Квадрат: \( P = a^2 = \frac{d^2}{2} \quad \) (нпр. за \( d=6 \implies P = \frac{36}{2} = 18 \))
Површина трапеза једнака је производу дужине његове средње линије и висине, односно половини производа збира дужина основица и одговарајуће висине.
\[ P = \frac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h \]
где су \( a \) и \( b \) дужине основица, \( h \) висина, а \( m = \frac{a + b}{2} \) средња линија трапеза.
Код правоуглог трапеза, крак који је нормалан на основице једнак је висини трапеза (\( h \)).
Израчунај површину трапеза чије су основице \( a = 12\text{ cm} \) и \( b = 8\text{ cm} \), а висина \( h = 5\text{ cm} \).
Средња линија је:
\[ m = \frac{a + b}{2} = \frac{12 + 8}{2} = \frac{20}{2} = 10\text{ cm} \]
Површина је:
\[ P = m \cdot h = 10 \cdot 5 = 50\text{ cm}^2 \]
Површина сваког конвексног четвороугла чије су дијагонале међусобно нормалне једнака је половини производа дужина његових дијагонала. Ова формула важи за делтоид, као и за сваки четвороугао са нормалним дијагоналама.
\[ P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \]
где су \( d_1 \) и \( d_2 \) дужине дијагонала.
Израчунај површину делтоида чије су дијагонале дужина \( d_1 = 14\text{ cm} \) и \( d_2 = 9\text{ cm} \).
\[ P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{14 \cdot 9}{2} = 7 \cdot 9 = 63\text{ cm}^2 \]
Како су дијагонале ромба и квадрата међусобно нормалне, њихова површина се поред основних формула може рачунати и помоћу дужина дијагонала.
Површина ромба:
\[ P = a \cdot h = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \]
Површина квадрата: (где је \( d_1 = d_2 = d \))
\[ P = a^2 = \frac{d^2}{2} \]
Израчунај површину квадрата чија је дијагонала \( d = 8\text{ cm} \).
\[ P = \frac{d^2}{2} = \frac{8^2}{2} = \frac{64}{2} = 32\text{ cm}^2 \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај површину трапеза ако је његова средња линија \( m = 8{,}5\text{ cm} \), а висина \( h = 4\text{ cm} \).
Применом формуле \( P = m \cdot h \):
\[ P = 8{,}5 \cdot 4 = 34\text{ cm}^2 \]
Одговор: Површина трапеза је \( 34\text{ cm}^2 \).
Задатак 2 (средњи): Ромб има дијагонале дужина \( d_1 = 16\text{ cm} \) и \( d_2 = 12\text{ cm} \), а дужина његове странице је \( a = 10\text{ cm} \). Израчунај:
а) површину тог ромба;
б) висину тог ромба.
а) површину тог ромба;
б) висину тог ромба.
а) Површина преко дијагонала:
\[ P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{16 \cdot 12}{2} = 96\text{ cm}^2 \]
б) Висина ромба из формуле \( P = a \cdot h \):
\[ h = \frac{P}{a} = \frac{96}{10} = 9{,}6\text{ cm} \]
Одговор: Површина је \( 96\text{ cm}^2 \), а висина је \( 9{,}6\text{ cm} \).
Задатак 3 (средњи): Дужине основица правоуглог трапеза су \( a = 18\text{ cm} \) и \( b = 8\text{ cm} \), а дужи крак заклапа угао од \( 45^\circ \) са већом основицом. Израчунај површину трапеза.
Висина спуштена из темена краће основице одсеца на већој основици дуж:
\[ x = a - b = 18 - 8 = 10\text{ cm} \]
Како је угао \( 45^\circ \), одсечени троугао је једнакокрако-правоугли, па је висина:
\[ h = x = 10\text{ cm} \]
Површина трапеза је:
\[ P = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{18 + 8}{2} \cdot 10 = 13 \cdot 10 = 130\text{ cm}^2 \]
Одговор: Површина трапеза је \( 130\text{ cm}^2 \).
Задатак 4 (тежак): Површина једнакокраког трапеза је \( 64\text{ cm}^2 \), а висина \( h = 8\text{ cm} \). Ако се основице односе као \( a : b = 5 : 3 \), одреди дужине основица \( a \) и \( b \).
Из формуле за површину одређујемо збир основица:
\[ P = \frac{a + b}{2} \cdot h \implies 64 = \frac{a + b}{2} \cdot 8 \]
\[ \frac{a + b}{2} = 8 \implies a + b = 16\text{ cm} \]
Како је \( a : b = 5 : 3 \), уводимо коефицијент \( k \):
\[ a = 5k, \quad b = 3k \]
\[ 5k + 3k = 16 \implies 8k = 16 \implies k = 2 \]
Дужине основица су:
\[ a = 5 \cdot 2 = 10\text{ cm}, \quad b = 3 \cdot 2 = 6\text{ cm} \]
Одговор: Основице трапеза су \( a = 10\text{ cm} \) и \( b = 6\text{ cm} \).
