Најважније из лекције
Елементи четвороугла: 4 темена, 4 странице, 2 дијагонале и 4 унутрашња угла. Обим је збир дужина свих страница: \( O = a + b + c + d \).
Упоредност углова: Збир сваког унутрашњег угла и њему одговарајућег спољашњег угла износи \( 180^\circ \) (нпр. \( \alpha + \alpha_1 = 180^\circ \)).
Збир углова:
Упоредност углова: Збир сваког унутрашњег угла и њему одговарајућег спољашњег угла износи \( 180^\circ \) (нпр. \( \alpha + \alpha_1 = 180^\circ \)).
Збир углова:
- Збир унутрашњих углова четвороугла је увек \( 360^\circ \) (\( \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \)).
- Збир спољашњих углова четвороугла је увек \( 360^\circ \) (\( \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 + \delta_1 = 360^\circ \)).
Конвексна фигура је она фигура код које за сваке две тачке \( A \) и \( B \) које јој припадају, све тачке дужи \( AB \) такође припадају тој фигури.
Четвороугао је геометријска фигура коју чине четвороугаона линија и њена унутрашњост. Подразумева се да је четвороугао конвексан.
| Елемент | Ознака и опис |
|---|---|
| Темена | Тачке \( A, B, C, D \) од којих никоје три нису колинеарне. |
| Странице | Дужи \( AB, BC, CD, DA \). |
| Суседне странице | Странице које имају заједничко теме (нпр. \( AB \) и \( BC \)). |
| Наспрамне странице | Странице које немају заједничко теме (\( AB \) и \( CD \), као и \( BC \) и \( DA \)). |
| Дијагонале | Дужи које спајају несуседна темена: \( AC \) и \( BD \). |
\[ O = AB + BC + CD + DA \]
Обим четвороугла (\( O \)) представља збир дужина свих његових страница.
Израчунајте обим четвороугла \( ABCD \) чије су странице дужина \( AB = 4\text{ cm} \), \( BC = 6\text{ cm} \), \( CD = 5\text{ cm} \) и \( DA = 7\text{ cm} \).
\[ O = 4\text{ cm} + 6\text{ cm} + 5\text{ cm} + 7\text{ cm} = 22\text{ cm} \]
Унутрашњи углови четвороугла \( ABCD \) су \( \angle DAB (\alpha) \), \( \angle ABC (\beta) \), \( \angle BCD (\gamma) \) и \( \angle CDA (\delta) \).
Углови четвороугла могу бити суседни (ако им темена припадају истој страници, нпр. \( \alpha \) и \( \beta \)) или наспрамни (ако су им темена несуседна, нпр. \( \alpha \) и \( \gamma \)).
Спољашњи угао четвороугла јесте угао који је упоредан одговарајућем унутрашњем углу четвороугла. Сваком унутрашњем углу одговарају два спољашња (унакрсна) угла, од којих посматрамо један: \( \alpha_1, \beta_1, \gamma_1, \delta_1 \).
Сваки унутрашњи угао и његов одговарајући спољашњи угао су упоредни, па је њихов збир \( 180^\circ \):
\[ \alpha + \alpha_1 = 180^\circ, \quad \beta + \beta_1 = 180^\circ, \quad \gamma + \gamma_1 = 180^\circ, \quad \delta + \delta_1 = 180^\circ \]
Ако је унутрашњи угао четвороугла \( \alpha = 75^\circ \), њему одговарајући спољашњи угао износи:
\[ \alpha_1 = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ \]
Збир унутрашњих углова сваког четвороугла износи \( 360^\circ \):
\[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \]
Збир спољашњих углова сваког четвороугла износи \( 360^\circ \):
\[ \alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1 + \delta_1 = 360^\circ \]
Ако су три унутрашња угла четвороугла \( \alpha = 110^\circ \), \( \beta = 85^\circ \) и \( \gamma = 65^\circ \), израчунајте четврти угао \( \delta \).
Збир сва четири унутрашња угла мора бити \( 360^\circ \):
\[ \delta = 360^\circ - (\alpha + \beta + \gamma) \]
\[ \delta = 360^\circ - (110^\circ + 85^\circ + 65^\circ) = 360^\circ - 260^\circ = 100^\circ \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунајте непознати унутрашњи угао \( \gamma \) четвороугла ако је познато да су остали унутрашњи углови \( \alpha = 120^\circ \), \( \beta = 70^\circ \) и \( \delta = 80^\circ \).
Збир свих унутрашњих углова је \( 360^\circ \):
\[ \gamma = 360^\circ - (\alpha + \beta + \delta) \]
\[ \gamma = 360^\circ - (120^\circ + 70^\circ + 80^\circ) = 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ \]
Одговор: Угао \( \gamma \) износи \( 90^\circ \).
Задатак 2 (средњи): Обим четвороугла износи \( 38\text{ cm} \). Дужине три странице су \( a = 8\text{ cm} \), \( b = 11\text{ cm} \) и \( c = 9\text{ cm} \).
а) Одредите дужину четврте странице \( d \).
б) Ако унутрашњи угао код темена странице \( a \) и \( b \) износи \( \beta = 115^\circ \), колики је његов спољашњи угао \( \beta_1 \)?
а) Одредите дужину четврте странице \( d \).
б) Ако унутрашњи угао код темена странице \( a \) и \( b \) износи \( \beta = 115^\circ \), колики је његов спољашњи угао \( \beta_1 \)?
а) Формула за обим је \( O = a + b + c + d \):
\[ d = O - (a + b + c) = 38 - (8 + 11 + 9) = 38 - 28 = 10\text{ cm} \]
б) Спољашњи угао је упоредан са унутрашњим:
\[ \beta_1 = 180^\circ - \beta = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ \]
Одговор: Четврта страница износи \( 10\text{ cm} \), а спољашњи угао \( \beta_1 = 65^\circ \).
Задатак 3 (тежак): Дати су спољашњи углови четвороугла: \( \alpha_1 = 80^\circ \), \( \beta_1 = 105^\circ \) и \( \gamma_1 = 115^\circ \).
а) Израчунајте четврти спољашњи угао \( \delta_1 \).
б) Израчунајте сва четири унутрашња угла четвороугла и проверите њихов збир.
а) Израчунајте четврти спољашњи угао \( \delta_1 \).
б) Израчунајте сва четири унутрашња угла четвороугла и проверите њихов збир.
а) Збир свих спољашњих углова четвороугла је \( 360^\circ \):
\[ \delta_1 = 360^\circ - (\alpha_1 + \beta_1 + \gamma_1) = 360^\circ - (80^\circ + 105^\circ + 115^\circ) = 360^\circ - 300^\circ = 60^\circ \]
б) Унутрашњи углови се рачунају као допуна спољашњих до \( 180^\circ \):
\[ \alpha = 180^\circ - \alpha_1 = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \]
\[ \beta = 180^\circ - \beta_1 = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \]
\[ \gamma = 180^\circ - \gamma_1 = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ \]
\[ \delta = 180^\circ - \delta_1 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \]
Провера збира унутрашњих углова:
\[ 100^\circ + 75^\circ + 65^\circ + 120^\circ = 360^\circ \]
Одговор: \( \delta_1 = 60^\circ \), а унутрашњи углови су \( \alpha = 100^\circ \), \( \beta = 75^\circ \), \( \gamma = 65^\circ \) и \( \delta = 120^\circ \).
