Најважније из лекције
- Вектор је одређен усмереном дужи; две усмерене дужи представљају исти вектор ако имају исти правац, исти смер и једнак интензитет.
- Колинеарни вектори имају исти правац (исти или супротан смер).
- Супротан вектор \( -\vec{a} \) има исти правац и интензитет, али супротан смер; нула вектор \( \vec{0} \) има интензитет \( 0 \) и важи \( \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0} \).
- Збир вектора рачунамо надовезивањем: \( \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \). Сабирање је комутативно: \( \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \).
- Разлика: \( \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) \).
- Производ броја и вектора \( k \cdot \vec{a} \): исти правац, интензитет \( |k| \) пута већи; смер исти ако је \( k > 0 \), супротан ако је \( k < 0 \).
- Средња линија троугла спаја средишта двеју страница, паралелна је трећој и једнака њеној половини.
Усмерена дуж је дуж чији је један крај почетак, а други крај (са стрелицом) њен крај.
Две усмерене дужи представљају исти вектор ако имају исти правац, исти смер и једнак интензитет (дужину).
Вектор одређен усмереном дужи од тачке \( A \) до тачке \( B \) означавамо са \( \vec{AB} \), а вектор једним словом пишемо \( \vec{a} \).
Правац вектора је права на којој лежи усмерена дуж, смер показује стрелица, а интензитет је дужина те усмерене дужи.
Колинеарни вектори су вектори који имају исти правац (леже на истој или паралелним правама).
Колинеарни вектори могу имати исти смер или супротан смер. Њихови интензитети не морају бити једнаки.
Супротан вектор вектора \( \vec{a} \) који је представљен усмереном дужи \( \vec{AB} \) јесте вектор \( -\vec{a} \) који је представљен усмереном дужи \( \vec{BA} \).
Супротни вектори имају исти правац и једнак интензитет, али супротан смер.
Нула вектор \( \vec{0} \) је вектор чији се почетак и крај поклапају. Његов интензитет је \( 0 \).
Збир супротних вектора је нула вектор:
\[ \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0} \]
Збир вектора \( \vec{a} \) који је представљен усмереном дужи \( \vec{AB} \) и вектора \( \vec{b} \) који је представљен усмереном дужи \( \vec{BC} \) јесте вектор \( \vec{c} \) представљен усмереном дужи \( \vec{AC} \).
\[ \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} \]
Правило надовезивања: крај првог вектора је почетак другог вектора, а збир је усмерена дуж од почетка првог до краја другог вектора. Тако се могу надовезати и три или више вектора.
За сваки вектор \( \vec{a} \) важи:
\[ \vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a} \]
Сабирање вектора је комутативно: \( \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \).
Разлика вектора \( \vec{a} \) и вектора \( \vec{b} \) јесте вектор \( \vec{c} \) који је једнак збиру вектора \( \vec{a} \) и вектора супротног вектору \( \vec{b} \).
\[ \vec{c} = \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) \]
Дакле, одузимање вектора \( \vec{b} \) исто је што и сабирање са његовим супротним вектором \( -\vec{b} \).
Производ броја \( k \) (\( k \neq 0 \)) и вектора \( \vec{a} \) (\( \vec{a} \neq \vec{0} \)) јесте вектор \( \vec{b} = k \cdot \vec{a} \) који има:
| Особина | Производ \( k \cdot \vec{a} \) |
|---|---|
| Правац | исти као вектор \( \vec{a} \) |
| Смер (ако је \( k > 0 \)) | исти као вектор \( \vec{a} \) |
| Смер (ако је \( k < 0 \)) | супротан вектору \( \vec{a} \) |
| Интензитет | \( |k| \) пута већи од интензитета вектора \( \vec{a} \) |
За производ броја \( 0 \) и вектора важи:
\[ 0 \cdot \vec{a} = \vec{0} \]
За вектор \( \vec{a} \):
- \( 3 \cdot \vec{a} \) има исти правац и смер, а интензитет три пута већи;
- \( -2 \cdot \vec{a} \) има исти правац, супротан смер и интензитет два пута већи;
- \( \tfrac{1}{2} \cdot \vec{a} \) има исти правац и смер, а интензитет два пута мањи.
Средња линија троугла јесте дуж чији су крајеви средишта двеју страница троугла. Сваки троугао има три средње линије.
Средња линија троугла паралелна је трећој страници и једнака је половини те странице.
У троуглу \( ABC \), ако је \( A_1 \) средиште странице \( BC \), а \( B_1 \) средиште странице \( CA \), тада је дуж \( A_1 B_1 \) средња линија паралелна страници \( AB \) и важи:
\[ \vec{A_1 B_1} = \tfrac{1}{2}\,\vec{BA} \]
Задаци за вежбање
Лак задатак: Вектор \( \vec{a} \) има интензитет \( 5 \text{ cm} \). Колики је интензитет вектора \( 3 \cdot \vec{a} \) и какав му је смер у односу на \( \vec{a} \)?
Множимо интензитет позитивним бројем \( 3 \), па је интензитет \( |3| \) пута већи:
\[ 3 \cdot 5 \text{ cm} = 15 \text{ cm} \] Пошто је \( 3 > 0 \), смер је исти као код вектора \( \vec{a} \).
Одговор: интензитет је \( 15 \text{ cm} \), смер је исти.
\[ 3 \cdot 5 \text{ cm} = 15 \text{ cm} \] Пошто је \( 3 > 0 \), смер је исти као код вектора \( \vec{a} \).
Одговор: интензитет је \( 15 \text{ cm} \), смер је исти.
Средњи задатак: Тачке \( A \), \( B \) и \( C \) су темена троугла. Одреди збир \( \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} \).
Векторе сабирамо надовезивањем. Крај првог је почетак другог:
\( \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \) (од \( A \) до \( C \)).
Затим додамо \( \vec{CA} \):
\( \vec{AC} + \vec{CA} = \vec{AA} \).
Пошто се почетак и крај поклапају, то је нула вектор.
\[ \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0} \] Одговор: \( \vec{0} \) (нула вектор).
\( \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \) (од \( A \) до \( C \)).
Затим додамо \( \vec{CA} \):
\( \vec{AC} + \vec{CA} = \vec{AA} \).
Пошто се почетак и крај поклапају, то је нула вектор.
\[ \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0} \] Одговор: \( \vec{0} \) (нула вектор).
Тежак задатак: Вектори \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) су колинеарни и истог смера. Интензитет вектора \( \vec{a} \) је \( 5 \text{ cm} \), а интензитет вектора \( \vec{b} \) је \( 3 \text{ cm} \). Одреди интензитет вектора \( 2 \cdot (\vec{a} + \vec{b}) \).
Пошто су \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) колинеарни и истог смера, интензитет њиховог збира једнак је збиру интензитета:
\[ |\vec{a} + \vec{b}| = 5 \text{ cm} + 3 \text{ cm} = 8 \text{ cm} \] Множимо позитивним бројем \( 2 \), па је интензитет два пута већи:
\[ |2 \cdot (\vec{a} + \vec{b})| = 2 \cdot 8 \text{ cm} = 16 \text{ cm} \] Одговор: \( 16 \text{ cm} \).
\[ |\vec{a} + \vec{b}| = 5 \text{ cm} + 3 \text{ cm} = 8 \text{ cm} \] Множимо позитивним бројем \( 2 \), па је интензитет два пута већи:
\[ |2 \cdot (\vec{a} + \vec{b})| = 2 \cdot 8 \text{ cm} = 16 \text{ cm} \] Одговор: \( 16 \text{ cm} \).
