Најважније из лекције
Операције са векторима:
- Сабирање: Врши се помоћу правила троугла (\( \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \)) или правила паралелограма (за векторе са истим почетком).
- Одузимање: Своди се на сабирање са супротним вектором: \( \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) \).
- Множење бројем: Вектор \( k\vec{a} \) задржава свој правац, интензитет му се множи са \( |k| \), а смер остаје исти за \( k > 0 \) или се мења у супротан за \( k < 0 \).
Вектор одређен усмереном дужи чији је почетак тачка \( A \), а крај тачка \( B \), означавамо са \( \vec{AB} \). Вектори се често означавају и малим словима, на пример \( \vec{a} \) или \( \vec{v} \).
Две усмерене дужи су једнаке (представљају исти вектор) ако имају исти правац, исти смер и једнаке интензитете (дужине).
Због ове особине, вектор можемо да замишљамо као објекат који можемо слободно транслирати (померати) по равни, све док му не променимо правац, смер и дужину.
За сабирање вектора користимо два основна правила, у зависности од тога како су вектори постављени.
Правило троугла (надовезивање): Ако на крај првог вектора надовежемо почетак другог, њихов збир је вектор који спаја почетак првог и крај другог вектора.
\[ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \]
Правило паралелограма: Два вектора са заједничким почетком сабирамо тако што конструишемо паралелограм над тим векторима. Збир је вектор који се поклапа са дијагоналом паралелограма која полази из тог заједничког почетка.
\[ \vec{AB} + \vec{AC} = \vec{AD} \quad \text{(где је } D \text{ четврто теме паралелограма)} \]
Сабирање вектора је комутативно (\( \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \)) и асоцијативно (\( (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) \)). Збир више вектора добијамо узастопним надовезивањем.
Вектор \( \vec{BA} \) је супротан вектор вектора \( \vec{AB} \) и обележава се са \( -\vec{AB} \). Супротни вектори имају исти правац и интензитет, али супротан смер.
Збир два супротна вектора је нула-вектор, који обележавамо са \( \vec{0} \). Интензитет нула-вектора је 0 и он нема одређен правац нити смер: \( \vec{AB} + \vec{BA} = \vec{0} \).
Одузимање вектора: Одузети вектор \( \vec{b} \) од вектора \( \vec{a} \) значи вектору \( \vec{a} \) додати вектор супротан вектору \( \vec{b} \):
\[ \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) \]
Производ вектора \( \vec{a} \) и реалног броја \( k \neq 0 \) је нови вектор \( k\vec{a} \).
Вектор \( k\vec{a} \) има следеће особине:
- Правац: Исти као правац вектора \( \vec{a} \).
- Смер: Исти као смер вектора \( \vec{a} \) ако је \( k > 0 \), а супротан смеру вектора \( \vec{a} \) ако је \( k < 0 \).
- Интензитет: Једнак је производу апсолутне вредности броја \( k \) и интензитета вектора \( \vec{a} \), односно \( |k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}| \).
Ако је вектор \( \vec{a} \) дужине 2 cm, онда вектор \( 3\vec{a} \) има дужину \( 3 \cdot 2 = 6 \text{ cm} \) и исти смер као \( \vec{a} \). Вектор \( -2\vec{a} \) има дужину 4 cm, али му је смер супротан у односу на вектор \( \vec{a} \).
Средња линија троугла је дуж чије су крајње тачке средишта две странице троугла.
Средња линија троугла паралелна је наспрамној страници и два пута је краћа од ње.
Ова теорема се лако доказује помоћу вектора. Ако је \( \vec{m} \) вектор средње линије, а \( \vec{c} \) вектор наспрамне странице, добија се да је \( \vec{c} = 2\vec{m} \). То значи да су вектори колинеарни (паралелни) и да је интензитет наспрамне странице дупло већи.
Ако кроз средиште једне странице конструишемо праву паралелну са неком другом страницом, онда та права садржи средиште треће странице.
Задаци за вежбање
Лак: Упрости израз \( \vec{PQ} + \vec{QR} \).
Према правилу троугла (надовезивања), крај првог вектора поклапа се са почетком другог вектора, па је њихов збир једнак вектору који спаја почетак првог и крај другог вектора.
Одговор: \( \vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR} \)
Одговор: \( \vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR} \)
Средњи: За било које тачке \( A, B, C \) и \( D \) у равни, упрости израз \( \vec{AB} - \vec{CB} + \vec{CD} \).
Одузимање вектора можемо претворити у сабирање са супротним вектором: \( -\vec{CB} = \vec{BC} \).
Заменом у израз добијамо:
\( \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} \)
Користећи правило надовезивања:
\( (\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CD} = \vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD} \)
Одговор: \( \vec{AD} \)
Заменом у израз добијамо:
\( \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} \)
Користећи правило надовезивања:
\( (\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CD} = \vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD} \)
Одговор: \( \vec{AD} \)
Тежак: У троуглу \( ABC \) странице су дужина \( a = 8\text{ cm} \), \( b = 6\text{ cm} \) и \( c = 10\text{ cm} \). Израчунај обим троугла чија су темена средишта страница троугла \( ABC \).
Дужи које спајају средишта страница троугла представљају његове средње линије.
Према теореми о средњој линији троугла, свака средња линија је двоструко краћа од одговарајуће наспрамне странице.
Дужине страница новог троугла биће:
\( a_1 = 8 : 2 = 4\text{ cm} \)
\( b_1 = 6 : 2 = 3\text{ cm} \)
\( c_1 = 10 : 2 = 5\text{ cm} \)
Обим новог троугла је збир ових дужина: \( O = 4 + 3 + 5 = 12\text{ cm} \).
Одговор: Обим троугла је 12 cm.
Према теореми о средњој линији троугла, свака средња линија је двоструко краћа од одговарајуће наспрамне странице.
Дужине страница новог троугла биће:
\( a_1 = 8 : 2 = 4\text{ cm} \)
\( b_1 = 6 : 2 = 3\text{ cm} \)
\( c_1 = 10 : 2 = 5\text{ cm} \)
Обим новог троугла је збир ових дужина: \( O = 4 + 3 + 5 = 12\text{ cm} \).
Одговор: Обим троугла је 12 cm.
