Најважније из лекције
Делтоид је четвороугао са два пара суседних једнаких страница.
- Дијагонале су му узајамно нормалне (\(d_1 \perp d_2\)).
- Једна дијагонала је оса симетрије, полови другу дијагоналу и унутрашње углове на својим крајевима.
- Има један пар наспрамних једнаких углова (они које не полови оса симетрије).
- У сваки делтоид се може уписати круг.
Делтоид је четвороугао који има два пара суседних једнаких страница.
Назив потиче од грчког слова делта (\(\Delta\)) које има облик једнакокраког троугла. Делтоид се, заправо, састоји из два једнакокрака троугла који имају заједничку основицу.
Ако посматрамо делтоид \(ABCD\) где је \(AB = AD\) и \(CB = CD\), дијагонала \(BD\) га дели на једнакокраки троугао \(BAD\) и једнакокраки троугао \(BCD\).
Дијагонале делтоида су узајамно нормалне (секу се под правим углом).
Делтоид је осносиметричан четвороугао. Једна његова дијагонала представља осу симетрије, она полови другу дијагоналу и полови углове на својим крајевима.
Углови који се налазе наспрам дијагонале која је оса симетрије су међусобно једнаки.
Ако су два наспрамна угла делтоида једнака \(43^\circ\) и \(67^\circ\), одреди преостала два угла.
Пошто су мере датих наспрамних углова различите (то су углови које оса симетрије полови), остала два угла (наспрам осе симетрије) морају бити међусобно једнака.
Збир углова у четвороуглу је \(360^\circ\). Ако непознате углове означимо са \(\phi\), имамо: \[ 2\phi + 43^\circ + 67^\circ = 360^\circ \] \[ 2\phi + 110^\circ = 360^\circ \] \[ 2\phi = 250^\circ \implies \phi = 125^\circ \] Одговор: Преостала два угла износе по \(125^\circ\).
Збир углова у четвороуглу је \(360^\circ\). Ако непознате углове означимо са \(\phi\), имамо: \[ 2\phi + 43^\circ + 67^\circ = 360^\circ \] \[ 2\phi + 110^\circ = 360^\circ \] \[ 2\phi = 250^\circ \implies \phi = 125^\circ \] Одговор: Преостала два угла износе по \(125^\circ\).
Због симетричности делтоида у односу на главну дијагоналу (осу симетрије), симетрале свих углова делтоида секу се у једној истој тачки.
У сваки конвексни делтоид се може уписати круг. Центар тог круга налази се на дијагонали која је оса симетрије.
Конструише се први једнакокраки троугао коришћењем познатих података (нпр. познате две једнаке странице и угао између њих).
Из темена на основици конструисаног троугла, описују се кружни луци чији је полупречник једнак дужини друге две једнаке странице делтоида.
Пресек тих кружних лукова (са супротне стране основице) даје четврто теме делтоида.
За конструкцију делтоида \(ABCD\) где је \(AB = AD = 3\text{ cm}\), \(CB = CD = 4\text{ cm}\) и \(\angle BAD = 75^\circ\):
Прво се нацрта угао од \(75^\circ\) и на његовим крацима одреде тачке \(B\) и \(D\) на удаљености од \(3\text{ cm}\) од темена \(A\). Затим се из тачака \(B\) и \(D\) опишу луци полупречника \(4\text{ cm}\), чији пресек даје теме \(C\).
Задаци за вежбање
Лак: У делтоиду су три угла редом једнака \(100^\circ\), \(100^\circ\) и \(40^\circ\). Колика је мера четвртог угла?
Збир унутрашњих углова сваког четвороугла је \(360^\circ\).
Нека је непознати угао \(\alpha\). \[ \alpha + 100^\circ + 100^\circ + 40^\circ = 360^\circ \] \[ \alpha + 240^\circ = 360^\circ \] \[ \alpha = 120^\circ \] Одговор: Мера четвртог угла је \(120^\circ\).
Нека је непознати угао \(\alpha\). \[ \alpha + 100^\circ + 100^\circ + 40^\circ = 360^\circ \] \[ \alpha + 240^\circ = 360^\circ \] \[ \alpha = 120^\circ \] Одговор: Мера четвртог угла је \(120^\circ\).
Средњи: У делтоиду \(ABCD\) странице су \(AB = AD\) и \(CB = CD\). Дијагонале се секу у тачки \(O\). Ако је дужина дијагонале \(BD = 8\text{ cm}\), колика је дужина дужи \(BO\)?
Пошто су странице \(AB = AD\) и \(CB = CD\), дијагонала \(AC\) је оса симетрије овог делтоида.
Једна од особина делтоида је да оса симетрије полови другу дијагоналу. Дакле, тачка \(O\) полови дијагоналу \(BD\). \[ BO = \frac{BD}{2} = \frac{8\text{ cm}}{2} = 4\text{ cm} \] Одговор: Дужина дужи \(BO\) је \(4\text{ cm}\).
Једна од особина делтоида је да оса симетрије полови другу дијагоналу. Дакле, тачка \(O\) полови дијагоналу \(BD\). \[ BO = \frac{BD}{2} = \frac{8\text{ cm}}{2} = 4\text{ cm} \] Одговор: Дужина дужи \(BO\) је \(4\text{ cm}\).
Тежак: Код делтоида два наспрамна једнака угла износе по \(110^\circ\). Од преостала два угла, један је три пута већи од другог. Израчунај мере та два непозната угла.
Означимо мањи непознати угао са \(x\). Тада је други непознати угао \(3x\).
Збир свих углова у делтоиду је \(360^\circ\): \[ 110^\circ + 110^\circ + x + 3x = 360^\circ \] \[ 220^\circ + 4x = 360^\circ \] \[ 4x = 140^\circ \] \[ x = 35^\circ \] Већи угао је: \(3 \cdot 35^\circ = 105^\circ\).
Одговор: Непознати углови износе \(35^\circ\) и \(105^\circ\).
Збир свих углова у делтоиду је \(360^\circ\): \[ 110^\circ + 110^\circ + x + 3x = 360^\circ \] \[ 220^\circ + 4x = 360^\circ \] \[ 4x = 140^\circ \] \[ x = 35^\circ \] Већи угао је: \(3 \cdot 35^\circ = 105^\circ\).
Одговор: Непознати углови износе \(35^\circ\) и \(105^\circ\).
