II.3. Обрат Питагорине Теореме

Поступак

За сваку тројку радимо два корака. 1. корак: проверавамо неједнакост троугла — најдужа страница мора бити строго мања од збира преостале две. 2. корак: ако троугао постоји, означимо са \( c \) најдужу страницу и упоредимо \( a^2 + b^2 \) са \( c^2 \): • ако је \( a^2 + b^2 \) веће од \( c^2 \), троугао је оштроугли;
• ако је \( a^2 + b^2 = c^2 \), троугао је правоугли (обрат Питагорине теореме);
• ако је \( a^2 + b^2 \) мање од \( c^2 \), троугао је тупоугли.

а) \( a = 2\ \text{cm} \), \( b = 4\ \text{cm} \), \( c = 3\ \text{cm} \)

Најдужа страница је \( 4\ \text{cm} \), а \( 2 + 3 = 5 \) је веће од \( 4 \), па троугао постоји. Упоређујемо квадрате (најдужа страница је \( 4 \)): \[ 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13, \qquad 4^2 = 16. \] Пошто је \( 13 \) мање од \( 16 \), троугао је тупоугли.

б) \( a = 1,2\ \text{cm} \), \( b = 3,8\ \text{cm} \), \( c = 5\ \text{cm} \)

Најдужа страница је \( 5\ \text{cm} \), а збир преостале две је \[ 1,2 + 3,8 = 5. \] Збир је једнак најдужој страници, а мора бити строго већи од ње. Неједнакост троугла није испуњена, па такав троугао не постоји и нема шта даље да се испитује.

в) \( a = 1,4\ \text{cm} \), \( b = 2,3\ \text{cm} \), \( c = 3\ \text{cm} \)

Најдужа страница је \( 3\ \text{cm} \), а \( 1,4 + 2,3 = 3,7 \) је веће од \( 3 \), па троугао постоји. Квадрирамо: \[ 1,4^2 + 2,3^2 = 1,96 + 5,29 = 7,25, \qquad 3^2 = 9. \] Пошто је \( 7,25 \) мање од \( 9 \), троугао је тупоугли.

г) \( a = 5\ \text{cm} \), \( b = 6\ \text{cm} \), \( c = 7\ \text{cm} \)

Најдужа страница је \( 7\ \text{cm} \), а \( 5 + 6 = 11 \) је веће од \( 7 \), па троугао постоји. Квадрирамо: \[ 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61, \qquad 7^2 = 49. \] Пошто је \( 61 \) веће од \( 49 \), троугао је оштроугли.

д) \( a = 30\ \text{cm} \), \( b = 12\ \text{cm} \), \( c = 17\ \text{cm} \)

Најдужа страница је \( 30\ \text{cm} \), а збир преостале две је \[ 12 + 17 = 29, \] што је мање од \( 30 \). Неједнакост троугла није испуњена, па такав троугао не постоји.

ђ) \( a = 3\ \text{cm} \), \( b = 2,25\ \text{cm} \), \( c = 3,75\ \text{cm} \)

Најдужа страница је \( 3,75\ \text{cm} \), а \( 3 + 2,25 = 5,25 \) је веће од \( 3,75 \), па троугао постоји. Квадрирамо: \[ 3^2 + 2,25^2 = 9 + 5,0625 = 14,0625, \qquad 3,75^2 = 14,0625. \] Збир квадрата две краће странице једнак је квадрату најдуже, па је по обрату Питагорине теореме троугао правоугли (катете \( 3\ \text{cm} \) и \( 2,25\ \text{cm} \), хипотенуза \( 3,75\ \text{cm} \)). Провера: све три дужине су \( 0,75 \) пута дужине троугла \( 4 \), \( 3 \), \( 5 \) — \( 0,75 \cdot 4 = 3 \), \( 0,75 \cdot 3 = 2,25 \), \( 0,75 \cdot 5 = 3,75 \) — а тај троугао јесте правоугли, што потврђује резултат.

Закључак

а) тупоугли; б) троугао не постоји; в) тупоугли; г) оштроугли; д) троугао не постоји; ђ) правоугли.

Тројке б) и д) не задовољавају неједнакост троугла, па троугао не постоји; за остале поредимо \( a^2+b^2 \) са квадратом најдуже странице: а) \( 13 \) према \( 16 \) → тупоугли, в) \( 7,25 \) према \( 9 \) → тупоугли, г) \( 61 \) према \( 49 \) → оштроугли, ђ) \( 14,0625 = 14,0625 \) → правоугли.