Растављање Полинома На Чиниоце

Question 1

Трансформиши дати полином у сређен облик: а) $ (3a - 7)a $; б) $ 4a(5 - a) $; в) $ (a + 4)(a - 4) $; г) $ (2a - 7)^2 $.

Accepted Answer

Шта се тражи
Сваки од датих израза треба помножити и записати у сређеном облику, тј. као збир монома различитих степена.
а) $ (3a - 7)a $
Примењујемо дистрибутивни закон - сваки члан бинома множимо мономом $ a $:
$$ (3a - 7)a = 3a \cdot a - 7 \cdot a = 3a^2 - 7a. $$
б) $ 4a(5 - a) $
Опет множимо моном са сваким чланом заграде:
$$ 4a(5 - a) = 4a \cdot 5 - 4a \cdot a = 20a - 4a^2. $$
в) $ (a + 4)(a - 4) $
Овде препознајемо облик $ (A + B)(A - B) $, што је производ који даје разлику квадр...

Question 2

Дати полином растави на чиниоце: а) $ 3a^2 - 2a $; б) $ x^4 + 3x^2 $; в) $ a^2b - 2b $; г) $ ab^2 - 2b^2 $.

Accepted Answer

Идеја
Као у Примеру 1, у мономима датог полинома тражимо заједнички чинилац (заједничке променљиве и заједнички број) и издвајамо га испред заграде.
а) $ 3a^2 - 2a $
Оба монома садрже $ a $: $ 3a^2 = a \cdot 3a $ и $ 2a = a \cdot 2 $. Дакле:
$$ 3a^2 - 2a = a \cdot 3a - a \cdot 2 = a(3a - 2). $$
б) $ x^4 + 3x^2 $
Заједнички чинилац је $ x^2 $, јер је $ x^4 = x^2 \cdot x^2 $:
$$ x^4 + 3x^2 = x^2 \cdot x^2 + x^2 \cdot 3 = x^2(x^2 + 3). $$
в) $ a^2b - 2b $
Заједнички чинилац је \( b...

Question 3

Поступајући као у претходном примеру, у скупу $ R $ реши једначину: а) $ x^2 + 5x = 0 $; б) $ \frac{x^2}{4} - 2x = 0 $; в) $ 2x^2 + x\sqrt{2} = 0 $; г) $ 3xy - 2x = 0 $.

Accepted Answer

Идеја
Као у Примеру 2: леву страну једначине раставимо на чиниоце, а затим искористимо правило да из $ A \cdot B = 0 $ следи $ A = 0 $ или $ B = 0 $.
а) $ x^2 + 5x = 0 $
$$ x(x + 5) = 0 $$
Одатле је $ x = 0 $ или $ x + 5 = 0 $, тј. $ x = -5 $.
Решења: $ x_1 = 0 $, $ x_2 = -5 $.
б) $ \frac{x^2}{4} - 2x = 0 $
Заједнички чинилац је $ x $:
$$ x\left(\frac{x}{4} - 2\right) = 0 $$
Дакле $ x = 0 $ или $ \frac{x}{4} - 2 = 0 $. Из друге једначине је $ \frac{x}{4} = 2 $, тј. \(...

Question 4

Поступајући као у претходном примеру, растави на чиниоце полином: а) $ (2a - 1)^2 - a^2 $; б) $ (2a + 5)^2 - (b - 1)^2 $; в) $ a^4 - 16 $.

Accepted Answer

Идеја
Као у Примеру 3, препознајемо разлику квадрата $ A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) $, при чему $ A $ и $ B $ могу бити и полиноми.
а) $ (2a - 1)^2 - a^2 $
Овде је $ A = 2a - 1 $ и $ B = a $:
$$ (2a - 1)^2 - a^2 = \big((2a - 1) + a\big)\big((2a - 1) - a\big) = (3a - 1)(a - 1). $$
б) $ (2a + 5)^2 - (b - 1)^2 $
Сада је $ A = 2a + 5 $ и $ B = b - 1 $:
$$ (2a + 5)^2 - (b - 1)^2 = \big((2a + 5) + (b - 1)\big)\big((2a + 5) - (b - 1)\big) $$
$$ = (2a + b + 4)(2a - b + 6). $$
в) \( a^4 -...

Question 5

Поступајући као у претходном примеру, реши једначину: а) $ (4x + 3)^2 - x^2 = 0 $; б) $ (2x - 7)^2 - 9x^2 = 0 $; в) $ (3x - 1)^2 - (5x + 2)^2 = 0 $.

Accepted Answer

Идеја
Као у Примеру 4: леву страну раставимо помоћу формуле за разлику квадрата, па применимо правило да производ једнак нули значи да је бар један чинилац нула.
а) $ (4x + 3)^2 - x^2 = 0 $
$$ \big((4x + 3) + x\big)\big((4x + 3) - x\big) = 0 $$
$$ (5x + 3)(3x + 3) = 0 $$
Дакле $ 5x + 3 = 0 $ или $ 3x + 3 = 0 $, одакле је $ x = -\frac{3}{5} = -0,6 $ или $ x = -1 $.
б) $ (2x - 7)^2 - 9x^2 = 0 $
Како је $ 9x^2 = (3x)^2 $, имамо $ A = 2x - 7 $ и $ B = 3x $:
\[ \big((2x - 7) + 3x\bi...

Question 6

Квадрат $ ABCD $ у односу на квадрат $ PQRS $ има три пута дужу страницу и за 288 већу површину. Одреди обиме оба квадрата.

Accepted Answer

Обележавање
Нека је $ a $ дужина странице квадрата $ PQRS $. Тада квадрат $ ABCD $ има страницу $ 3a $, јер је она три пута дужа.
Постављање једначине
Површине квадрата су $ P_{PQRS} = a^2 $ и $ P_{ABCD} = (3a)^2 $. Површина квадрата $ ABCD $ је за 288 већа, па важи:
$$ (3a)^2 - a^2 = 288. $$
Решавање
Леву страну раставимо на чиниоце применом разлике квадрата:
$$ (3a - a)(3a + a) = 288 $$
$$ 2a \cdot 4a = 288 $$
$$ 8a^2 = 288 $$
$$ a^2 = 36. $$
Како је $ a $ дужина странице, важи...

Question 7

Одреди тачке $ x $-осе које су 17 јединичних дужи удаљене од тачке $ T(-4, -15) $.

Accepted Answer

Шта тражимо
Тражимо тачке $ x $-осе које су од тачке $ T(-4, -15) $ удаљене 17 јединичних дужи. Све тачке $ x $-осе имају ординату једнаку 0, па их тражимо у облику $ X(x, 0) $.
Постављање једначине
Растојање тачке $ T $ од $ x $-осе је 15, а $ 15 $ је мање од $ 17 $, па кружница $ k(T, 17) $ сече $ x $-осу у две тачке. По обрасцу за растојање тачака $ T(-4, -15) $ и $ X(x, 0) $:
$$ (x + 4)^2 + (0 - (-15))^2 = 17^2 $$
$$ (x + 4)^2 + 225 = 289 $$
$$ (x + 4)^2 = 64. $$
Реша...

Question 8

Поступајући као у претходном примеру, трансформиши трином у квадрат одговарајућег бинома: а) $ x^2 + 4x + 4 $; б) $ 9x^2 + 12x + 4 $; в) $ x^2 + x + \frac{1}{4} $.

Accepted Answer

Идеја
Као у Примеру 6: у триному тражимо два члана који су квадрати монома $ A $ и $ B $, па проверавамо да ли је трећи члан једнак двоструком производу $ 2AB $. Тада је трином једнак $ (A + B)^2 $.
а) $ x^2 + 4x + 4 $
1) $ x^2 $ је квадрат монома $ x $; 2) $ 4 = 2^2 $; 3) $ 4x = 2 \cdot 2 \cdot x $ је двоструки производ бројева 2 и $ x $. Дакле $ A = x $, $ B = 2 $:
$$ x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x + 2)^2. $$
б) $ 9x^2 + 12x + 4 $
1) \( 9x^2 = (3x)^...

Question 9

Поступајући као у претходном примеру, трансформиши трином у квадрат одговарајућег бинома: а) $ x^2 - 4x + 4 $; б) $ 25x^2 - 40x + 16 $; в) $ \frac{4x^2}{9} - \frac{4}{3}x + 1 $.

Accepted Answer

Идеја
Као у Примеру 7: сада је средњи члан негативан, па трином има облик $ A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2 $.
а) $ x^2 - 4x + 4 $
1) $ x^2 $ је квадрат монома $ x $; 2) $ 4 = (-2)^2 $; 3) $ -4x = 2 \cdot x \cdot (-2) $. Дакле:
$$ x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x - 2)^2 = (2 - x)^2. $$
б) $ 25x^2 - 40x + 16 $
1) $ 25x^2 = (5x)^2 $; 2) $ 16 = 4^2 $; 3) $ -40x = -2 \cdot 5x \cdot 4 $. Дакле:
\[ 25x^2 - 40x + 16 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 4 + 4^2 = (5x - 4)^2 = (4...

Question 10

Трансформиши трином у квадрат одговарајућег бинома: а) $ 4a^2 + 4ab + b^2 $; б) $ x^2 + xy + \frac{y^2}{4} $; в) $ x^2 - xy\sqrt{3} + \frac{3}{4}y^2 $.

Accepted Answer

Идеја
И овде тражимо два члана који су квадрати монома $ A $ и $ B $, а затим проверавамо да ли је трећи члан једнак $ 2AB $. Разлика у односу на претходне задатке је само у томе што сада мономи садрже две променљиве.
а) $ 4a^2 + 4ab + b^2 $
1) $ 4a^2 = (2a)^2 $; 2) $ b^2 $ је квадрат монома $ b $; 3) $ 4ab = 2 \cdot 2a \cdot b $. Дакле $ A = 2a $, $ B = b $:
$$ 4a^2 + 4ab + b^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot b + b^2 = (2a + b)^2. $$
б) $ x^2 + xy + \frac{y^2}{4} $
1) \( x^2 \...

Question 11

Поступајући као у претходном примеру, у скупу $ R $ реши једначину: а) $ x^2 + 10x + 25 = 0 $; б) $ \frac{x^2}{9} + 2x + 9 = 0 $; в) $ 2x^2 - 2x\sqrt{2} + 1 = 0 $.

Accepted Answer

Идеја
Као у Примеру 8: леву страну трансформишемо у квадрат бинома. Пошто квадрат реалног броја може бити нула само ако је тај број нула, из $ (A)^2 = 0 $ следи $ A = 0 $.
а) $ x^2 + 10x + 25 = 0 $
Како је $ 25 = 5^2 $ и $ 10x = 2 \cdot x \cdot 5 $, важи:
$$ x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = 0 $$
$$ (x + 5)^2 = 0 $$
$$ x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5. $$
Једначина има једно решење, $ x = -5 $.
б) $ \frac{x^2}{9} + 2x + 9 = 0 $
Како је $ \frac{x^2}{9} = \left(\frac{x}{3}\right)^2 $, \(...

Question 12

Реши једначину: а) $ x^2 + y^2 - 2x + 2y + 2 = 0 $; б) $ 4x^2 + y^2 + 4x - 10y + 26 = 0 $.

Accepted Answer

Идеја
Као у Примеру 9: леву страну груписањем чланова записујемо као збир два квадрата. Пошто је квадрат сваког реалног броја ненегативан, збир два квадрата може бити нула само ако је сваки од њих једнак нули.
а) $ x^2 + y^2 - 2x + 2y + 2 = 0 $
Број 2 растављамо као $ 1 + 1 $ и групишемо чланове са $ x $ и чланове са $ y $:
$$ (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) = 0 $$
$$ (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 0. $$
За све реалне бројеве важи $ (x - 1)^2 \ge 0 $ и $ (y + 1)^2 \ge 0 $, па мора бити
\[ (...

Question 13

Ако је површина квадрата странице $ a $ за 6 мања од површине правоугаоника страница $ 2a - 3 $ и $ a - 2 $, одреди обиме тих фигура.

Accepted Answer

Постављање једначине
Квадрат има страницу $ a $, па је његова површина $ P_1 = a^2 $. Правоугаоник има странице $ 2a - 3 $ и $ a - 2 $, па је његова површина
$$ P_2 = (2a - 3)(a - 2) = 2a^2 - 4a - 3a + 6 = 2a^2 - 7a + 6. $$
Површина квадрата је за 6 мања од површине правоугаоника, што значи да важи
$$ a^2 + 6 = 2a^2 - 7a + 6. $$
Решавање
Све пребацујемо на једну страну:
$$ 0 = 2a^2 - 7a + 6 - a^2 - 6 $$
$$ a^2 - 7a = 0 $$
$$ a(a - 7) = 0. $$
Дакле $ a = 0 $ или $ a = 7 $. Вредност \(...

III.11. Растављање Полинома На Чиниоце

Изабери решење задатка:

Идеја

а) \( x^2 + y^2 - 2x + 2y + 2 = 0 \)

б) \( 4x^2 + y^2 + 4x - 10y + 26 = 0 \)

Провера

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста