Степен Производа, Количника И Степена

Question 1

Упореди бројеве: а) $ (2\sqrt{3})^3 $ и $ 2^3 \cdot \sqrt{3}^3 $; б) $ \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^4 $ и $ \frac{\sqrt{2}^4}{3^4} $; в) $ (2^3)^2 $ и $ 2^{3 \cdot 2} $.

Accepted Answer

Шта треба урадити
У сваком од три случаја упоређујемо два израза. Користимо правила која се уче у овој лекцији:
степен производа $ (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n $, степен количника $ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} $ и степен степена $ (a^m)^n=a^{m\cdot n} $.
а) $ (2\sqrt{3})^3 $ и $ 2^3\cdot(\sqrt{3})^3 $
Основа првог степена је производ $ 2\cdot\sqrt{3} $, па по правилу о степену производа важи
$$ (2\sqrt{3})^3=2^3\cdot(\sqrt{3})^3 . $$
Дакле, дати бројеви су једнаки. Њихова...

Question 2

Израчунај: а) $ 200^3 $; б) $ (-21)^4 $; в) $ (2\sqrt{5})^4 $; г) $ 8^4 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^4 $; д) $ 15^5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5 $; ђ) $ \left(\frac{2\sqrt{3}}{5}\right)^3 \cdot (10\sqrt{3})^3 $.

Accepted Answer

Идеја
Сваки задатак решавамо тако што степен производа претворимо у производ степена или, обрнуто, производ степена са истим изложиоцем спојимо у степен производа — баш као у Примеру 2 из уџбеника.
а) $ 200^3 $
$$ 200^3=(2\cdot 100)^3=2^3\cdot 100^3=8\cdot 1\,000\,000=8\,000\,000. $$
б) $ (-21)^4 $
Изложилац је паран број, па је резултат позитиван:
$$ (-21)^4=21^4=(3\cdot 7)^4=3^4\cdot 7^4=81\cdot 2401=194\,481. $$
в) $ (2\sqrt{5})^4 $
\[ (2\sqrt{5})^4=2^4\cdot(\sqrt{5})^4=16\cdot\left((\s...

Question 3

Израчунај: а) $ 1,6^4 \cdot 0,25^4 $; б) $ 45^5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5 $; в) $ \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^3 \cdot (-6)^3 $.

Accepted Answer

Идеја
У сва три примера чиниоци имају исти изложилац, па по правилу $ a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n $ прво помножимо основе, а тек онда степенујемо (Пример 3 из уџбеника).
а) $ 1,6^4\cdot 0,25^4 $
$$ 1,6^4\cdot 0,25^4=(1,6\cdot 0,25)^4=0,4^4. $$
Даље је $ 0,4^2=0,16 $, па је
$$ 0,4^4=(0,4^2)^2=0,16^2=0,0256. $$
б) $ 45^5\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^5 $
$$ 45^5\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^5=\left(45\cdot\frac{2}{3}\right)^5=30^5. $$
Рачунамо \( 30^5=(3\cdot 10)^5=3^5\cdot 10^5=243\cdot 100\...

Question 4

Израчунај: а) $ (-42\sqrt{5})^4 $; б) $ 75^5 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{25}\right)^5 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{9}\right)^5 $.

Accepted Answer

Идеја
Правило важи и за производ више чинилаца: $ (a\cdot b\cdot c)^n=a^n\cdot b^n\cdot c^n $.
а) $ (-42\sqrt{5})^4 $
Изложилац је паран, па је вредност позитивна:
$$ (-42\sqrt{5})^4=42^4\cdot(\sqrt{5})^4=42^4\cdot 25. $$
Рачунамо $ 42^2=1764 $, па је $ 42^4=(42^2)^2=1764^2=3\,111\,696 $. Одатле
$$ (-42\sqrt{5})^4=3\,111\,696\cdot 25=77\,792\,400. $$
б) $ 75^5\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{25}\right)^5\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{9}\right)^5 $
Сва три чиниоца имају изложилац $ 5 $, па их с...

Question 5

Израчунај: а) $ \left(\frac{3}{4}\right)^4 $; б) $ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^5 $; в) $ \frac{4^4}{20^4} $; г) $ 15^3 : 75^3 $.

Accepted Answer

Идеја
Користимо правило о степену количника: $ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n} $, односно $ \frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n $ (Пример 6).
а) $ \left(\frac{3}{4}\right)^4 $
$$ \left(\frac{3}{4}\right)^4=\frac{3^4}{4^4}=\frac{81}{256}. $$
б) $ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^5 $
$$ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^5=\frac{(\sqrt{3})^5}{2^5}=\frac{(\sqrt{3})^4\cdot\sqrt{3}}{32}=\frac{9\sqrt{3}}{32}, $$
јер је $ (\sqrt{3})^4=\left((\sqrt{3})^2\right)^2=3^2=9 $.
в) \( \...

Question 6

Израчунај: а) $ (3^3)^4 $; б) $ \left(\sqrt{2}^4\right)^4 $; в) $ \left(\left(\frac{1}{2}\right)^4\right)^2 $.

Accepted Answer

Идеја
Примењујемо правило о степену степена: $ (a^m)^n=a^{m\cdot n} $.
а) $ (3^3)^4 $
$$ (3^3)^4=3^{3\cdot 4}=3^{12}. $$
Да бисмо лакше израчунали, изложилац растављамо на чиниоце:
$$ 3^{12}=(3^3)^4=27^4=(27^2)^2=729^2=531\,441. $$
б) $ \left((\sqrt{2})^4\right)^4 $
$$ \left((\sqrt{2})^4\right)^4=(\sqrt{2})^{16}=\left((\sqrt{2})^2\right)^8=2^8=256. $$
в) $ \left(\left(\frac{1}{2}\right)^4\right)^2 $
\[ \left(\left(\frac{1}{2}\right)^4\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^8=\frac{1^8}{2^8}=\...

Question 7

Одреди број $ n $ тако да једнакост буде тачна: а) $ (2^2)^4 = 2^n $; б) $ \left((-5)^3\right)^5 = (-5)^n $; в) $ \left(\sqrt{7}^7\right)^4 = \sqrt{7}^n $.

Accepted Answer

Идеја
По правилу $ (a^m)^n=a^{m\cdot n} $ леву страну сводимо на степен са истом основом као десна страна, па изједначимо изложиоце.
а) $ (2^2)^4=2^n $
$$ (2^2)^4=2^{2\cdot 4}=2^8 \quad\Rightarrow\quad 2^8=2^n \quad\Rightarrow\quad n=8. $$
б) $ \left((-5)^3\right)^5=(-5)^n $
$$ \left((-5)^3\right)^5=(-5)^{3\cdot 5}=(-5)^{15} \quad\Rightarrow\quad n=15. $$
в) $ \left((\sqrt{7})^7\right)^4=(\sqrt{7})^n $
\[ \left((\sqrt{7})^7\right)^4=(\sqrt{7})^{7\cdot 4}=(\sqrt{7})^{28} \quad\Rightarrow\...

Question 8

Израчунај: а) $ (-2)^4 $; б) $ \sqrt{3}^6 $; в) $ (-\sqrt{6})^8 $.

Accepted Answer

Идеја
Изложилац растављамо на чиниоце тако да рачун буде лакши (Пример 9).
а) $ (-2)^4 $
Изложилац је паран, па је резултат позитиван:
$$ (-2)^4=\left((-2)^2\right)^2=4^2=16. $$
б) $ (\sqrt{3})^6 $
$$ (\sqrt{3})^6=(\sqrt{3})^{2\cdot 3}=\left((\sqrt{3})^2\right)^3=3^3=27. $$
в) $ (-\sqrt{6})^8 $
Изложилац је паран, па знак минус нестаје:
$$ (-\sqrt{6})^8=(\sqrt{6})^8=\left((\sqrt{6})^2\right)^4=6^4=1296. $$
Провера
в) другим путем: $ 6^4=(6^2)^2=36^2=1296 $. Исто.

Question 9

Одреди број $ n $ тако да једнакост буде тачна: а) $ (3^3)^n = 3^9 $; б) $ \left((-5)^n\right)^4 = (-5)^{32} $; в) $ \left(\sqrt{7}^{\,n}\right)^4 = \sqrt{7}^{12} $.

Accepted Answer

Идеја
Леву страну сведемо на један степен помоћу правила $ (a^m)^n=a^{m\cdot n} $, па изједначимо изложиоце.
а) $ (3^3)^n=3^9 $
$$ (3^3)^n=3^{3n},\qquad 3^{3n}=3^9 \quad\Rightarrow\quad 3n=9 \quad\Rightarrow\quad n=3. $$
б) $ \left((-5)^n\right)^4=(-5)^{32} $
$$ \left((-5)^n\right)^4=(-5)^{4n},\qquad 4n=32 \quad\Rightarrow\quad n=8. $$
в) $ \left((\sqrt{7})^{\,n}\right)^4=(\sqrt{7})^{12} $
$$ \left((\sqrt{7})^{\,n}\right)^4=(\sqrt{7})^{4n},\qquad 4n=12 \quad\Rightarrow\quad n=3. $$
Прове...

Question 10

Дати израз напиши у облику степена броја 10: а) $ \left((10^5)^4\right)^2 $; б) $ \left((10^2)^3\right)^2 $; в) $ \left((10^2)^2\right)^3 $; г) $ \left((10^3)^2\right)^2 $.

Accepted Answer

Идеја
Правило о степену степена примењујемо узастопно (Пример 10): $ \left((a^n)^m\right)^k=a^{n\cdot m\cdot k} $.
а) $ \left((10^5)^4\right)^2 $
$$ \left((10^5)^4\right)^2=10^{5\cdot 4\cdot 2}=10^{40}. $$
б) $ \left((10^2)^3\right)^2 $
$$ \left((10^2)^3\right)^2=10^{2\cdot 3\cdot 2}=10^{12}. $$
в) $ \left((10^2)^2\right)^3 $
$$ \left((10^2)^2\right)^3=10^{2\cdot 2\cdot 3}=10^{12}. $$
г) $ \left((10^3)^2\right)^2 $
$$ \left((10^3)^2\right)^2=10^{3\cdot 2\cdot 2}=10^{12}. $$
Запажање
Из...

Question 11

Израчунај: а) $ \sqrt{3}^8 $; б) $ \sqrt{2}^{12} $; в) $ \sqrt{2}^{16} $.

Accepted Answer

Идеја
Изложилац растављамо на чиниоце тако да се појави $ (\sqrt{a})^2=a $.
а) $ (\sqrt{3})^8 $
$$ (\sqrt{3})^8=(\sqrt{3})^{2\cdot 4}=\left((\sqrt{3})^2\right)^4=3^4=81. $$
б) $ (\sqrt{2})^{12} $
$$ (\sqrt{2})^{12}=(\sqrt{2})^{2\cdot 6}=\left((\sqrt{2})^2\right)^6=2^6=64. $$
в) $ (\sqrt{2})^{16} $
$$ (\sqrt{2})^{16}=(\sqrt{2})^{2\cdot 8}=\left((\sqrt{2})^2\right)^8=2^8=256. $$
Провера
в) другим путем: $ (\sqrt{2})^{16}=\left((\sqrt{2})^4\right)^4=4^4=256 $. Исто.

Question 12

Дати израз напиши у облику степена: а) $ (5^7 : 5^2) \cdot 5^5 $; б) $ (6^3)^2 : 6^2 $; в) $ \left(\frac{3^8}{3^3}\right)^3 $; г) $ \left(\frac{(50^3)^4 \cdot 50}{50^{12}}\right)^2 $.

Accepted Answer

Идеја
Комбинујемо правила $ a^m\cdot a^n=a^{m+n} $, $ a^m:a^n=a^{m-n} $ и $ (a^m)^n=a^{m\cdot n} $ (Пример 11).
а) $ (5^7:5^2)\cdot 5^5 $
$$ (5^7:5^2)\cdot 5^5=5^{7-2}\cdot 5^5=5^5\cdot 5^5=5^{5+5}=5^{10}. $$
б) $ (6^3)^2:6^2 $
$$ (6^3)^2:6^2=6^{3\cdot 2}:6^2=6^6:6^2=6^{6-2}=6^4. $$
в) $ \left(\frac{3^8}{3^3}\right)^3 $
$$ \left(\frac{3^8}{3^3}\right)^3=\left(3^{8-3}\right)^3=(3^5)^3=3^{5\cdot 3}=3^{15}. $$
г) $ \left(\frac{(50^3)^4\cdot 50}{50^{12}}\right)^2 $
Прво средимо израз у...

Question 13

Израчунај вредност израза: а) $ 4^2 \cdot 7^2 \cdot 5^4 $; б) $ 5^4 \cdot 11^2 \cdot 6^5 $.

Accepted Answer

Идеја
Чиниоце групишемо тако да добијемо основе које се лако степенују (Пример 12).
а) $ 4^2\cdot 7^2\cdot 5^4 $
Пишемо $ 5^4=(5^2)^2=25^2 $, па степене са изложиоцем $ 2 $ спајамо:
$$ 4^2\cdot 7^2\cdot 5^4=4^2\cdot 7^2\cdot 25^2=(4\cdot 25)^2\cdot 7^2=100^2\cdot 49=10\,000\cdot 49=490\,000. $$
б) $ 5^4\cdot 11^2\cdot 6^5 $
Од $ 6^5 $ издвојимо $ 6^4 $, да бисмо га спојили са $ 5^4 $:
\[ 5^4\cdot 6^5=5^4\cdot 6^4\cdot 6=(5\cdot 6)^4\cdot 6=30^4\cdot 6=810\,000\cdot 6=4\,860\,000, \...

Question 14

Упрости израз: а) $ \frac{4^5 \cdot 15^5}{30^4} $; б) $ \frac{175^3 : 5^2}{49} $.

Accepted Answer

Идеја
Сложене бројеве растављамо на погодне чиниоце и скраћујемо (Пример 13).
а) $ \frac{4^5\cdot 15^5}{30^4} $
У бројиоцу су степени са истим изложиоцем, па их спајамо:
$$ 4^5\cdot 15^5=(4\cdot 15)^5=60^5=(2\cdot 30)^5=2^5\cdot 30^5. $$
Затим скраћујемо:
$$ \frac{2^5\cdot 30^5}{30^4}=2^5\cdot 30^{5-4}=32\cdot 30=960. $$
б) $ \frac{175^3:5^2}{49} $
Раставимо $ 175=5^2\cdot 7 $, па је
$$ 175^3=(5^2\cdot 7)^3=(5^2)^3\cdot 7^3=5^6\cdot 7^3. $$
Сада делимо са $ 5^2 $, а затим са $ 49=7^2 $...

Question 15

Шта је веће: а) $ 3^{15} $ или $ 5^{10} $; б) $ 11^8 $ или $ 5^{12} $?

Accepted Answer

Идеја
Степене различитих основа поредимо тако што их сведемо на исти изложилац, па упоредимо основе — као у објашњењу уз пример $ 2^{30} $ и $ 3^{20} $ на страни 83.
а) $ 3^{15} $ или $ 5^{10} $
Изложиоци $ 15 $ и $ 10 $ имају заједнички чинилац $ 5 $, па пишемо
$$ 3^{15}=(3^3)^5=27^5,\qquad 5^{10}=(5^2)^5=25^5. $$
Сада оба степена имају исти изложилац $ 5 $. Како је $ 27 \gt 25 $, следи $ 27^5 \gt 25^5 $, па је
$$ 3^{15} \gt 5^{10}. $$
б) $ 11^8 $ или $ 5^{12} $
Изложиоц...

III.3. Степен Производа, Количника И Степена

Изабери решење задатка:

Идеја

а) \( (-42\sqrt{5})^4 \)

б) \( 75^5\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{25}\right)^5\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{9}\right)^5 \)

Провера

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста