Најважније из лекције
Основни алгебарски изрази: бројеви (константе) и слова (променљиве).
Сложени алгебарски изрази: формирају се повезивањем израза рачунским операцијама (дељење нулом није дозвољено). Знак множења се изоставља: \( 2 \cdot a = 2a \), \( a \cdot b = ab \).
Дрво израза: графички приказ операција и структуре израза одозго према доле.
Бројевна вредност израза: израчунава се тако што се свако слово замени задатом бројевном вредношћу и изврше операције.
Сложени алгебарски изрази: формирају се повезивањем израза рачунским операцијама (дељење нулом није дозвољено). Знак множења се изоставља: \( 2 \cdot a = 2a \), \( a \cdot b = ab \).
Дрво израза: графички приказ операција и структуре израза одозго према доле.
Бројевна вредност израза: израчунава се тако што се свако слово замени задатом бројевном вредношћу и изврше операције.
Основни алгебарски изрази су константе (бројеви као што су \( 1 \), \( -3,43 \), \( \frac{4}{7} \), \( \sqrt{2} \)) и променљиве (најчешће означене малим латиничним словима \( a, b, c, x, y, z \) или словима са индексима \( a_1, a_2, b_1 \dots \)).
Сложени алгебарски изрази настају повезивањем основних или других алгебарских израза знацима рачунских операција (\(+, -, \cdot, :\)), уз услов да се не дели нулом.
Бројевни изрази су специјалан случај алгебарских израза у којима не учествују променљиве.
Знак за множење (\(\cdot\)) се по договору изоставља између броја и променљиве, као и између две променљиве (нпр. \( 2 \cdot a = 2a \), \( a \cdot b = ab \), \( 2 \cdot (a + b) = 2(a + b) \)).
Примери алгебарских израза:
- Основни: \( x \), \( -7,1 \), \( a_1 \)
- Сложени: \( \sqrt{5} + a \), \( 2(a + b) \), \( \frac{-7,1 - b}{a^2} \), \( x^2 + 2xy + y^2 \)
Запиши алгебарски израз којим се израчунава производ броја \( 3 \) и збира променљивих \( x \) и \( y \).
Збир променљивих је \( (x + y) \), па је њихов производ са бројем 3:
\[ 3(x + y) \]
Дрво израза је графички приказ састављен од тачака (чворова) и линија (грана) који сликовито приказује структуру израза и редослед извођења рачунских операција.
Поред полазних тачака (на врху) уписују се основни изрази (бројеви или променљиве).
Поред сваког места где се спајају две линије уписује се знак одговарајуће рачунске операције.
На дну гранања добија се коначни сложени алгебарски израз.
Који израз је представљен дрветом где се променљиве \( a \) и \( b \) спајају знаком \( - \), а затим се тај резултат и број \( 5 \) спајају знаком \( \cdot \)?
Прво се формира разлика \( (a - b) \), а затим се множи бројем 5:
\[ 5(a - b) \]
Бројевна вредност алгебарског израза је број који се добија када се све променљиве у изразу замене конкретним бројевима и изврше све назначене рачунске операције.
Израчунавање бројевне вредности израза \( (a + 2) \cdot (3,1 - b) \) за \( a = -1,3 \) и \( b = 5 \):
\[ (-1,3 + 2) \cdot (3,1 - 5) = 0,7 \cdot (-1,9) = -1,33 \]
Обим једнакокраког троугла са основицом \( a \) и крацима \( b \) изражава се као \( O = a + 2b \).
За \( a = 1,5 \) и \( b = 1 \): \[ O = 1,5 + 2 \cdot 1 = 1,5 + 2 = 3,5 \]
За \( a = 1,5 \) и \( b = 1 \): \[ O = 1,5 + 2 \cdot 1 = 1,5 + 2 = 3,5 \]
Израчунај бројевну вредност израза \( x^2 - 3y \) за \( x = -4 \) и \( y = 2 \).
Заменом вредности добијамо:
\[ (-4)^2 - 3 \cdot 2 = 16 - 6 = 10 \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај бројевну вредност израза \( 3a - 2b \) ако је \( a = 5 \) и \( b = -2 \).
Уврштавањем вредности добијамо:
\[ 3 \cdot 5 - 2 \cdot (-2) = 15 - (-4) = 15 + 4 = 19 \]
Одговор: Вредност израза је \( 19 \).
Задатак 2 (средњи): На основу текстуалног описа састави алгебарски израз: „Збир броја \( x \) и двоструке вредности броја \( y \), умањен за \( 4 \)“. Затим израчунај његову вредност за \( x = 5,2 \) и \( y = -0,4 \).
Алгебарски израз гласи:
\[ x + 2y - 4 \]
Заменом вредности:
\[ 5,2 + 2 \cdot (-0,4) - 4 = 5,2 - 0,8 - 4 = 4,4 - 4 = 0,4 \]
Одговор: Израз је \( x + 2y - 4 \), а његова вредност је \( 0,4 \).
Задатак 3 (тежи): Нека су \( a \) и \( b \) дужине страница правоугаоника.
а) Запиши алгебарске изразе за обим \( O \), површину \( P \) и квадрат дијагонале \( d^2 \) тог правоугаоника.
б) Израчунај њихове бројевне вредности ако је \( a = 2\text{ cm} \) и \( b = \sqrt{3}\text{ cm} \).
а) Запиши алгебарске изразе за обим \( O \), површину \( P \) и квадрат дијагонале \( d^2 \) тог правоугаоника.
б) Израчунај њихове бројевне вредности ако је \( a = 2\text{ cm} \) и \( b = \sqrt{3}\text{ cm} \).
а) Алгебарски изрази:
\[ O = 2a + 2b = 2(a + b), \quad P = ab, \quad d^2 = a^2 + b^2 \]
б) Бројевне вредности:
- \( O = 2 \cdot 2 + 2\sqrt{3} = (4 + 2\sqrt{3})\text{ cm} \)
- \( P = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\text{ cm}^2 \)
- \( d^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7\text{ cm}^2 \)
