Изразом опиши: а) петоструку вредност реалног броја; б) збир два реална броја; в) збир три реална броја; г) двоструки производ три реална броја; д) збир квадрата два реална броја; ђ) куб реалног броја умањен за тај реални број.

Непознате реалне бројеве означаваћемо словима \( a \), \( b \), \( c \). Свака реченица се преводи у алгебарски израз тако што се речи замене одговарајућим операцијама: „петострука вредност“ значи множење са \( 5 \), „збир“ значи сабирање, „производ“ значи множење, „квадрат“ и „куб“ значе степеновање изложиоцем \( 2 \), односно \( 3 \), а „умањен за“ значи одузимање.а) петострука вредност реалног бројаРеалан број означимо са \( a \). Петострука вредност значи пет пута већа вредност, тј. \( 5 \cd...

Напиши три различита полинома и један алгебарски израз који није полином.

Шта јесте полиномПолиноми су алгебарски изрази састављени од бројева (бројевних израза), променљивих и знакова за операције сабирања „+“, одузимања „–“ и множења „ \( \cdot \) “. Другим речима, у полиному се израз са променљивом никада не појављује као делилац (никада није у имениоцу).Три различита полиномаБирамо изразе у којима су променљиве повезане само сабирањем, одузимањем и множењем:\[ A = 3x + 5 \]\[ B = x^2 - 2x + 7 \]\[ C = 4a^2b - ab^3 + \sqrt{5} \]Провера: у изразу \( A \) имамо произ...

Напиши три различита монома и један полином који није моном.

Шта јесте мономМономи су бројеви (бројевни изрази) и променљиве, као и изрази добијени њиховим множењем. Дакле, у моному се појављује само операција множења (степеновање је скраћено записано множење), а никако сабирање или одузимање различитих сабирака.Три различита монома\[ 7a \qquad -3x^2y \qquad \frac{1}{2}ab^3 \]Провера: \( 7a = 7 \cdot a \); \( -3x^2y = -3 \cdot x \cdot x \cdot y \); \( \frac{1}{2}ab^3 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot b \cdot b \). Сваки од њих је производ константе и ст...

Одреди коефицијент монома: а) \( 2x^2 \); б) \( -5ab^3 \); в) \( \frac{1}{12} x^2 y z \).

Коефицијент монома је бројевна константа која у сређеном облику монома стоји испред степена променљивих. Сваки дати моном већ јесте у сређеном облику, па коефицијент само прочитамо.а) \( 2x^2 \)Испред степена \( x^2 \) стоји број \( 2 \), па је коефицијент \( 2 \).б) \( -5ab^3 \)Овде је моном записан као \( (-5) \cdot a \cdot b^3 \), па је коефицијент \( -5 \). Знак „–“ припада коефицијенту.в) \( \frac{1}{12}x^2yz \)Испред степена променљивих стоји број \( \frac{1}{12} \), па је то и коефицијент...

Моном запиши у сређеном облику, па одреди његов коефицијент: а) \( a^3 \cdot (-2) \cdot a^2 \); б) \( \frac{5}{7} ab^3 a \cdot (-14) b \).

Моном сређујемо тако што, користећи комутативност и асоцијативност множења, најпре помножимо све бројеве, а затим степене исте променљиве применом правила \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \). Број који добијемо испред степена јесте коефицијент монома.а) \( a^3 \cdot (-2) \cdot a^2 \)Прегрупишемо чиниоце тако да број дође на прво место:\[ a^3 \cdot (-2) \cdot a^2 = (-2) \cdot a^3 \cdot a^2 \]Степене исте основе множимо тако што изложиоце саберемо:\[ a^3 \cdot a^2 = a^{3+2} = a^5 \]Дакле, сређени облик...

Напиши три монома: а) који су слични моному \( -8x^3 \); б) који су слични моному \( xy^2 \); в) који садрже променљиву \( x \), а нису слични моному \( -8x^3 \); г) који садрже променљиве \( x \) и \( y \), а нису слични моному \( xy^2 \).

Два монома су слична ако се у њиховим сређеним облицима појављују исти степени променљивих, тј. исте променљиве са истим изложиоцима. Коефицијенти при томе могу бити различити.а) три монома слична моному \( -8x^3 \)Морају садржати тачно \( x^3 \) и ништа друго од променљивих, а коефицијент бирамо произвољно:\[ 5x^3 \qquad -x^3 \qquad \frac{2}{3}x^3 \]б) три монома слична моному \( xy^2 \)Морају садржати \( x \) (изложилац \( 1 \)) и \( y^2 \):\[ 3xy^2 \qquad -7xy^2 \qquad \frac{1}{2}xy^2 \]в) тр...

За \( a = 0,8 \) и \( b = -\frac{\sqrt{7}}{2} \) одреди бројевну вредност бинома: а) \( a^2 - 1 \); б) \( 6b + 1 \); в) \( a + b^2 \); г) \( 5a^2 - b^2 \).

Дато је \( a = 0,8 \) и \( b = -\frac{\sqrt{7}}{2} \). Бројевну вредност бинома добијамо тако што уместо слова уврстимо дате бројеве и израчунамо. Унапред израчунајмо два степена која ће нам више пута требати:\[ a^2 = 0,8^2 = 0,64 \]\[ b^2 = \left( -\frac{\sqrt{7}}{2} \right)^2 = \frac{(\sqrt{7})^2}{2^2} = \frac{7}{4} = 1,75 \]Приметимо да је \( b^2 \) позитиван број, јер је квадрат негативног броја позитиван.а) \( a^2 - 1 \)\[ a^2 - 1 = 0,64 - 1 = -0,36 \]б) \( 6b + 1 \)\[ 6b + 1 = 6 \cdot \lef...

Одреди бројевну вредност тринома \( P = -2x^2 + 3x - 1 \) за: а) \( x = 0 \); б) \( x = 1 \); в) \( x = 2 \); г) \( x = -2 \); д) \( x = -\sqrt{2} \).

Дат је трином \( P = -2x^2 + 3x - 1 \). За сваку вредност променљиве \( x \) уврстимо тај број уместо \( x \) и израчунамо, пазећи на редослед операција: прво степен, затим множење, па сабирање и одузимање.а) \( x = 0 \)\[ P = -2 \cdot 0^2 + 3 \cdot 0 - 1 = 0 + 0 - 1 = -1 \]б) \( x = 1 \)\[ P = -2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 - 1 = -2 + 3 - 1 = 0 \]в) \( x = 2 \)\[ P = -2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 - 1 = -2 \cdot 4 + 6 - 1 = -8 + 6 - 1 = -3 \]г) \( x = -2 \)Пази на знак: \( (-2)^2 = 4 \), јер је квадрат нег...

Полиноми

Најважније из лекције

Шта је полином? Израз састављен од бројева и променљивих код којег нема дељења променљивом.
Моном: Само множење (нпр. \( 5x^2y \)). Има свој коефицијент (\( 5 \)) и степен (\( 2+1=3 \)).
Врсте полинома: Бином (2 члана, нпр. \( x+3 \)) и трином (3 члана, нпр. \( x^2+x+1 \)).
Степен полинома: Одређује се према члану (моному) са највећим степеном.
Слични мономи: Мономи који имају потпуно исти променљиви део (нпр. \( 4ab \) и \( -7ab \)).

Рационални алгебарски изрази су реални бројеви (константе) и променљиве, као и сви изрази који настају њиховим сабирањем, одузимањем, множењем, дељењем и степеновањем природним бројем.

Дељење је дозвољено само под условом да је делилац различит од нуле (\( B \neq 0 \)).

Примери рационалних алгебарских израза:
\( 2 + a \)
\( \sqrt{2} \cdot z \)
\( (s - 0,5p)^2 \)
\( \frac{x+1}{y} \)

Полином (цели алгебарски израз) јесте рационални алгебарски израз у чијем формирању не учествује операција дељења изразом који садржи променљиву.

Полиноми се обично обележавају великим латиничним словима уз навођење променљивих у загради, на пример: \( A(x) \), \( P(a,b) \), \( Q(x,y,z) \).

Изрази \( 5 \), \( -\sqrt{2} \), \( x \), \( \frac{1}{3}ab \) и \( 2x^2 - 9x + 8 \) јесу полиноми.
Израз \( \frac{x-2}{x-3} \) није полином, јер садржи дељење изразом \( x-3 \) који садржи променљиву.

Да ли је израз \( P(x) = \frac{x}{5} + 3x^2 \) полином?

Одговор: Да, јесте. Иако постоји разломак (дељење), делилац је константа (\( 5 \)), а не променљива.

Моном је полином у чијем формирању не учествују операције сабирања и одузимања (састоји се само од множења константи и променљивих).

Сваки моном се састоји од коефицијента (производ константи) и променљивог дела (производ променљивих).

Ако константа није написана, коефицијент је \( 1 \) или \( -1 \) (нпр. за моном \( x \) коефицијент је \( 1 \), за \( -ab \) је \( -1 \)).

Моном	Коефицијент	Променљиви део
\( 3x^2 \)	\( 3 \)	\( x^2 \)
\( -0,5ab \)	\( -0,5 \)	\( ab \)
\( -5 \)	\( -5 \)	нема

Степен монома је збир изложилаца свих степена променљивих у моному. Константа различита од нуле има степен \( 0 \).

Степен монома \( -2z^3 \) је \( 3 \).
Степен монома \( \frac{1}{7}x^2y^3 \) је \( 5 \) (\( 2 + 3 = 5 \)).
Степен монома \( -5 \) је \( 0 \).

Одреди коефицијент, променљиви део и степен монома \( M(a,b,c) = -a^3bc^2 \).

Коефицијент: \( -1 \)
Променљиви део: \( a^3bc^2 \)
Степен монома: \( 3 + 1 + 2 = 6 \) (не заборавите да је \( b = b^1 \)).

Слични мономи су мономи који имају потпуно једнаке променљиве делове (разликују се само у коефицијенту).

Мономи \( A = 3x^2 \) и \( B = -\frac{1}{2}x^2 \) јесу слични.
Мономи \( 2x \) и \( 2x^2 \) нису слични (иако имају исти коефицијент, променљиви делови \( x \) и \( x^2 \) нису исти).

Сваки полином се може представити као збир несличних монома. Ти мономи се називају чланови полинома.

Према броју чланова, полиноми могу бити:
• Бином – збир два неслична монома (нпр. \( 2x - 3 \)).
• Трином – збир три неслична монома (нпр. \( x^2 + 6x - 0,1 \)).

Степен полинома јесте највећи од степена монома који су чланови тог полинома (након што се полином сведе на збир несличних монома).

За полином \( -3x^2y^4 + 4x^3y^2 - xy \):
• Први члан \( -3x^2y^4 \) има степен \( 6 \) (\( 2+4 \)).
• Други члан \( 4x^3y^2 \) има степен \( 5 \) (\( 3+2 \)).
• Трећи члан \( -xy \) има степен \( 2 \) (\( 1+1 \)).
Највећи степен је \( 6 \), па је степен целог полинома \( 6 \).

Вредност полинома се добија када се све променљиве замене конкретним бројевима и изврше се рачунске операције.

Израчунај вредност бинома \( Q(x) = 2x^2 - 1 \) за \( x = -3 \).

Мењамо \( x \) са \( -3 \): \[ Q(-3) = 2 \cdot (-3)^2 - 1 = 2 \cdot 9 - 1 = 18 - 1 = 17 \] Одговор: Вредност полинома је \( 17 \).

Задаци за вежбање

Лак: Дат је моном \( M(x) = -7x^4 \). Одреди његов коефицијент и степен.

Коефицијент је број који множи променљиву, а степен је изложилац променљиве.
Одговор: Коефицијент је \( -7 \), а степен је \( 4 \).

Средњи: Дат је полином \( P(x, y) = 5xy^3 - 2x^2y + 8 \). Ког је степена овај полином и како се назива према броју чланова?

Рачунамо степене сваког члана:
1. члан: \( 5xy^3 \rightarrow \) степен \( 1 + 3 = 4 \).
2. члан: \( -2x^2y \rightarrow \) степен \( 2 + 1 = 3 \).
3. члан: \( 8 \rightarrow \) степен \( 0 \).
Највећи степен је 4. Полином се састоји од три неслична члана.
Одговор: Полином је 4. степена и назива се трином.

Тежак: Израчунај вредност полинома \( S(x, y) = -x^3 + 2x^2y - xy^2 \) за \( x = -2 \) и \( y = \frac{1}{2} \).

Замењујемо вредности у израз: \[ S(-2, \frac{1}{2}) = -(-2)^3 + 2 \cdot (-2)^2 \cdot (\frac{1}{2}) - (-2) \cdot (\frac{1}{2})^2 \] \[ = -(-8) + 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} - (-2) \cdot \frac{1}{4} \] \[ = 8 + 4 - (-\frac{2}{4}) \] \[ = 12 + \frac{1}{2} = 12,5 \] Одговор: Вредност полинома је \( 12,5 \) (или \( 12 \frac{1}{2} \)).

III.6. Полиноми

Изабери решење задатка:

а) три монома слична моному \( -8x^3 \)

б) три монома слична моному \( xy^2 \)

в) три монома који садрже \( x \), а нису слични моному \( -8x^3 \)

г) три монома који садрже \( x \) и \( y \), а нису слични моному \( xy^2 \)

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

Детаљно решење

а) три монома слична моному \( -8x^3 \)

б) три монома слична моному \( xy^2 \)

в) три монома који садрже \( x \), а нису слични моному \( -8x^3 \)

г) три монома који садрже \( x \) и \( y \), а нису слични моному \( xy^2 \)

Кратак запис решења:

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: