Сабирање Полинома

Question 1

За $ x = 2,1 $ упореди бројевну вредност израза: а) $ 6x + 5x - 0,3x $ и $ (6 + 5 - 0,3)x $; б) $ -2x^2 - \frac{5}{6} x^2 + 3,4x^2 $ и $ \left(-2 - \frac{5}{6} + 3,4\right) x^2 $.

Accepted Answer

Шта је дато
Дато је $ x = 2,1 $. У сваком делу треба израчунати бројевну вредност оба израза и упоредити их.

а) $ 6x + 5x - 0,3x $ и $ (6 + 5 - 0,3)x $
Први израз рачунамо тако што сваки моном посебно израчунамо:
$$ 6x = 6 \cdot 2,1 = 12,6, \qquad 5x = 5 \cdot 2,1 = 10,5, \qquad 0,3x = 0,3 \cdot 2,1 = 0,63 $$
$$ 6x + 5x - 0,3x = 12,6 + 10,5 - 0,63 = 23,1 - 0,63 = 22,47 $$
У другом изразу најпре саберемо коефицијенте, па тек онда множимо:
\[ 6 + 5 - 0,3 = 10,7, \qquad (6 + 5 - 0,3)x = 10,7...

Question 2

На слици десно приказан је правоугаоник који се састоји од 6 квадрата. а) Изрази површину правоугаоника преко странице $ a $ најмањег квадрата. б) Ако је $ a = 2\,\text{cm} $, израчунај површину датог правоугаоника.

Accepted Answer

Читање слике
Правоугаоник је састављен од шест квадрата. Најмањи квадрат има страницу $ a $; поред њега стоји још један исти такав квадрат странице $ a $. Изнад та два најмања квадрата је квадрат странице $ 2a $, десно од њега квадрат странице $ 3a $, испод њих квадрат странице $ 5a $, а целу леву страну заузима највећи квадрат странице $ 8a $.

а) Површина изражена преко $ a $
Одредимо димензије правоугаоника. Дужина је збир странице највећег квадрата и странице квадрата $ 5a $:...

Question 3

Одреди збир монома: а) $ 2x $ и $ 3x $; б) $ 0,7x $ и $ -\frac{2}{3} x $; в) $ 3,4ab $ и $ 9ab $.

Accepted Answer

Правило
Сличне мономе сабирамо тако што саберемо њихове коефицијенте, а слово (моном) остаје исто: $ aM + bM = (a + b)M $.

а) $ 2x $ и $ 3x $
$$ 2x + 3x = (2 + 3)x = 5x $$

б) $ 0,7x $ и $ -\frac{2}{3}x $
Коефицијенте $ 0,7 $ и $ -\frac{2}{3} $ сабирамо као разломке. Како је $ 0,7 = \frac{7}{10} $, сведемо их на именилац $ 30 $:
$$ \frac{7}{10} - \frac{2}{3} = \frac{21}{30} - \frac{20}{30} = \frac{1}{30} $$
\[ 0,7x + \left(-\frac{2}{3}x\right) = \left(\frac{7}{10} - \frac{2}{3...

Question 4

Одреди разлику: а) $ 7x - 9x $; б) $ 0,037y - 2y $; в) $ 5a^2 b - \frac{3}{7} a^2 b $.

Accepted Answer

Правило
Одузимање сличних монома схватамо као сабирање са супротним мономом: $ aM - bM = aM + (-b)M = (a - b)M $. Дакле, одузмемо коефицијенте, а моном остаје исти.

а) $ 7x - 9x $
$$ 7x - 9x = (7 - 9)x = -2x $$

б) $ 0,037y - 2y $
$$ 0,037y - 2y = (0,037 - 2)y = -1,963y $$
Јер је $ 2 - 0,037 = 1,963 $, а резултат је негативан.

в) $ 5a^2b - \frac{3}{7}a^2b $
Оба монома имају исти слововни део $ a^2b $. Коефицијент $ 5 $ запишемо као $ \frac{35}{7} $:
\[ 5a^2b - \frac{3}{7}a^2b =...

Question 5

Ако је $ A = 5x $, $ B = -4x $, $ C = \frac{2}{3} x $ и $ D = -3,7x $, одреди сређен моном који је једнак изразу: а) $ A + B + C + D $; б) $ A + B - C + D $; в) $ -A - B + C + D $.

Accepted Answer

Шта је дато
$ A = 5x $, $ B = -4x $, $ C = \frac{2}{3}x $, $ D = -3,7x $. Сви су слични мономи (сви имају слововни део $ x $), па се сваки израз своди на сабирање коефицијената.

а) $ A + B + C + D $
$$ A + B + C + D = 5x + (-4x) + \frac{2}{3}x + (-3,7x) = \left(5 - 4 + \frac{2}{3} - 3,7\right)x $$
Саберемо коефицијенте: $ 5 - 4 = 1 $, затим $ 1 - 3,7 = -2,7 $, па додамо $ \frac{2}{3} $. Сведемо на именилац $ 30 $:
\[ -2,7 + \frac{2}{3} = -\frac{81}{30} + \frac{20}{30} = -\fr...

Question 6

Дати полином запиши у сређеном облику: а) $ -5x + 1 + x^2 $; б) $ 7,1 + x + 9x^2 $; в) $ -3a^2 + 8a^2 b + b + 1 $.

Accepted Answer

Правило
Полином је у сређеном облику ако међу његовим мономима нема сличних и ако степени монома слева надесно опадају или су једнаки.

а) $ -5x + 1 + x^2 $
Нема сличних монома, треба их само поређати по опадајућим степенима: $ x^2 $ је степена $ 2 $, $ -5x $ степена $ 1 $, а $ 1 $ степена $ 0 $.
$$ -5x + 1 + x^2 = x^2 - 5x + 1 $$

б) $ 7,1 + x + 9x^2 $
Степени су редом $ 0 $, $ 1 $, $ 2 $, па их запишемо обрнутим редоследом:
$$ 7,1 + x + 9x^2 = 9x^2 + x + 7,1 $$

в) \( -3a...

Question 7

Полином $ P $ запиши у сређеном облику: а) $ P = 4x - 2 + 3x $; б) $ P = x^2 - x + 4x^2 + 5x $; в) $ P = x^4 + 5x + 1 + 8x^2 - 2x^4 - x $; г) $ P = 3 - a^2 b^2 + 2b - 5a + ab + 1 - 4ab $; д) $ P = 2a^2 b - a^2 + b - 5a^2 + 3ab^2 - 7b $.

Accepted Answer

Поступак
Полином сређујемо у два корака: прво саберемо све међусобно сличне мономе, а затим добијене мономе поређамо по опадајућим степенима.

а) $ P = 4x - 2 + 3x $
$$ P = (4 + 3)x - 2 = 7x - 2 $$

б) $ P = x^2 - x + 4x^2 + 5x $
Слични су $ x^2 $ и $ 4x^2 $, као и $ -x $ и $ 5x $:
$$ P = (1 + 4)x^2 + (-1 + 5)x = 5x^2 + 4x $$

в) $ P = x^4 + 5x + 1 + 8x^2 - 2x^4 - x $
Слични су $ x^4 $ и $ -2x^4 $, као и $ 5x $ и $ -x $:
\[ P = (1 - 2)x^4 + 8x^2 + (5 - 1)x + 1 = -x^4 + 8x^2...

Question 8

Дати полином запиши у сређеном облику и одреди његов степен: а) $ 3a^2 - 15 + 5a - 6a^2 + 7 $; б) $ 8x^3 - 6x^2 - 2x^3 - x + 11x^2 + 43x $.

Accepted Answer

Правило
Степен полинома једнак је највећем степену монома у његовом сређеном облику.

а) $ 3a^2 - 15 + 5a - 6a^2 + 7 $
Саберемо сличне мономе: $ 3a^2 $ и $ -6a^2 $, затим слободне чланове $ -15 $ и $ 7 $:
$$ 3a^2 - 6a^2 = (3 - 6)a^2 = -3a^2, \qquad -15 + 7 = -8 $$
$$ 3a^2 - 15 + 5a - 6a^2 + 7 = -3a^2 + 5a - 8 $$
Највећи степен монома је степен монома $ -3a^2 $, а то је $ 2 $.

б) $ 8x^3 - 6x^2 - 2x^3 - x + 11x^2 + 43x $
Групишемо сличне мономе:
\[ 8x^3 - 2x^3 = 6x^3, \qquad -6x^2...

Question 9

Одреди сређен облик и степен полинома $ A + B $ ако је: а) $ A = 2x^2 + 3 $ и $ B = x - 4 $; б) $ A = 3a^3 - 4a $ и $ B = -3a^3 - 2a^2 + 15a $; в) $ A = 2x^2 y + 3xy + x $ и $ B = xy + 7y $; г) $ A = -3a^2 b^2 + 4ab + a $ и $ B = a^2 b^2 + 4ab^2 - b $.

Accepted Answer

Поступак
Сабрати полиноме $ A $ и $ B $ значи полином $ A + B $ свести на сређен облик: уочимо парове сличних монома, саберемо их, па поређамо по опадајућим степенима.

а) $ A = 2x^2 + 3 $, $ B = x - 4 $
$$ A + B = 2x^2 + 3 + x - 4 = 2x^2 + x + (3 - 4) = 2x^2 + x - 1 $$
Степен: $ 2 $.

б) $ A = 3a^3 - 4a $, $ B = -3a^3 - 2a^2 + 15a $
$$ A + B = 3a^3 - 4a - 3a^3 - 2a^2 + 15a = (3 - 3)a^3 - 2a^2 + (-4 + 15)a = -2a^2 + 11a $$
Мономи $ 3a^3 $ и $ -3a^3 $ су супротни, па се потиру...

Question 10

Одреди супротан полином полинома $ P $ ако је: а) $ P = 3x $; б) $ P = 4a^2 - 5a $; в) $ P = x^2 - 3x + 4 $; г) $ P = 6a^3 b + 5a^2 b^2 - ab^3 $.

Accepted Answer

Правило
Полиноми чији је збир једнак нули су међусобно супротни. Супротан полином полинома $ P $ означавамо са $ -P $ и добијамо га тако што сваком моному полинома $ P $ променимо знак (то јест, помножимо $ P $ бројем $ -1 $).

а) $ P = 3x $
$$ -P = -3x $$
Провера: $ 3x + (-3x) = 0 $.

б) $ P = 4a^2 - 5a $
$$ -P = -4a^2 + 5a $$
Провера: $ (4a^2 - 5a) + (-4a^2 + 5a) = 0 \cdot a^2 + 0 \cdot a = 0 $.

в) $ P = x^2 - 3x + 4 $
$$ -P = -x^2 + 3x - 4 $$
Провера: сваки пар монома је...

Question 11

Одреди сређен облик полинома $ A - B $ ако је: а) $ A = 3a - 5 $, $ B = 4a + 6 $; б) $ A = 3x^2 - x + 2 $, $ B = -5x^2 + 1 $; в) $ A = 3x^2 y^2 - 4x^2 y + xy^2 $, $ B = x^2 y^2 + 2x^2 y - 3xy^2 - 7 $.

Accepted Answer

Правило
За сваки пар полинома важи $ A - B = A + (-B) $. Дакле, полином $ B $ који одузимамо заменимо његовим супротним полиномом (свим члановима променимо знак), па саберемо сличне мономе.

а) $ A = 3a - 5 $, $ B = 4a + 6 $
$$ A - B = (3a - 5) - (4a + 6) = 3a - 5 - 4a - 6 $$
$$ = (3 - 4)a + (-5 - 6) = -a - 11 $$

б) $ A = 3x^2 - x + 2 $, $ B = -5x^2 + 1 $
$$ A - B = (3x^2 - x + 2) - (-5x^2 + 1) = 3x^2 - x + 2 + 5x^2 - 1 $$
$$ = (3 + 5)x^2 - x + (2 - 1) = 8x^2 - x + 1 $$

в) \( A = 3...

Question 12

Ако је $ A = x^2 + 2 $, $ B = 3x^2 - 5x - 6 $ и $ C = -12x + 1 $, одреди сређен облик и степен полинома: а) $ A + B + C $; б) $ A + B - C $; в) $ A - B - C $.

Accepted Answer

Шта је дато
$ A = x^2 + 2 $, $ B = 3x^2 - 5x - 6 $, $ C = -12x + 1 $. Тамо где испред заграде стоји знак минус, свим члановима те заграде мењамо знак.

а) $ A + B + C $
$$ A + B + C = (x^2 + 2) + (3x^2 - 5x - 6) + (-12x + 1) $$
$$ = x^2 + 2 + 3x^2 - 5x - 6 - 12x + 1 $$
$$ = (1 + 3)x^2 + (-5 - 12)x + (2 - 6 + 1) = 4x^2 - 17x - 3 $$
Степен: $ 2 $.

б) $ A + B - C $
$$ A + B - C = x^2 + 2 + 3x^2 - 5x - 6 - (-12x + 1) = x^2 + 2 + 3x^2 - 5x - 6 + 12x - 1 $$
\[ = (1 + 3)x^2 + (-5 + 12)x +...

Question 13

Дати су полиноми $ A = x^2 y^2 + 3xy - 2 $, $ B = -2x^2 y + 5xy - 8y - 1 $ и $ C = 7x^2 y^2 + 5xy^2 - xy + x - 11 $. Одреди сређен облик полинома: а) $ A - B + C $; б) $ -A + B - C $; в) $ A + B - C $.

Accepted Answer

Шта је дато
$ A = x^2y^2 + 3xy - 2 $, $ B = -2x^2y + 5xy - 8y - 1 $, $ C = 7x^2y^2 + 5xy^2 - xy + x - 11 $.
Испред заграде са знаком минус свим члановима мењамо знак, а затим сабирамо сличне мономе и ређамо их по опадајућим степенима.

а) $ A - B + C $
$$ A - B + C = (x^2y^2 + 3xy - 2) - (-2x^2y + 5xy - 8y - 1) + (7x^2y^2 + 5xy^2 - xy + x - 11) $$
$$ = x^2y^2 + 3xy - 2 + 2x^2y - 5xy + 8y + 1 + 7x^2y^2 + 5xy^2 - xy + x - 11 $$
Саберемо сличне мономе:
\[ x^2y^2 + 7x^2y^2 = 8x^2y^2, \qquad...

Question 14

Ако је $ A = -3x^2 + 1 $, $ B = 3x^2 + 7x - 4 $ и $ C = 23x + 11 $, одреди сређен облик полинома: а) $ A + B + C - B $ и $ A + C $; б) $ -A - C - B + A + C $ и $ -B $. Шта запажаш?

Accepted Answer

Шта је дато
$ A = -3x^2 + 1 $, $ B = 3x^2 + 7x - 4 $, $ C = 23x + 11 $.

а) $ A + B + C - B $ и $ A + C $
Рачунамо корак по корак:
$$ A + B = (-3x^2 + 1) + (3x^2 + 7x - 4) = (-3 + 3)x^2 + 7x + (1 - 4) = 7x - 3 $$
$$ A + B + C = 7x - 3 + 23x + 11 = (7 + 23)x + (-3 + 11) = 30x + 8 $$
$$ A + B + C - B = 30x + 8 - (3x^2 + 7x - 4) = 30x + 8 - 3x^2 - 7x + 4 = -3x^2 + 23x + 12 $$
Сада други израз:
$$ A + C = -3x^2 + 1 + 23x + 11 = -3x^2 + 23x + 12 $$
Добили смо исти полином.

б) \( -A - C - B...

III.7. Сабирање Полинома

Изабери решење задатка:

Поступак

а) \( P = 4x - 2 + 3x \)

б) \( P = x^2 - x + 4x^2 + 5x \)

в) \( P = x^4 + 5x + 1 + 8x^2 - 2x^4 - x \)

г) \( P = 3 - a^2b^2 + 2b - 5a + ab + 1 - 4ab \)

д) \( P = 2a^2b - a^2 + b - 5a^2 + 3ab^2 - 7b \)

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста