Множење Полинома

Question 1

Дати израз запиши у једноставнијем облику: а) $ 7 \cdot 2^4 \cdot 3^5 \cdot 2^7 \cdot 3^2 $; б) $ -11 \cdot 7^4 \cdot (-3)^3 \cdot 2 \cdot 7^3 $.

Accepted Answer

Користимо правило за множење степена истих основа: $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $. Зато чиниоце прво прегрупишемо тако да степени исте основе стоје један уз други.
а) $ 7 \cdot 2^4 \cdot 3^5 \cdot 2^7 \cdot 3^2 $
Због комутативности и асоцијативности множења смемо да променимо редослед чинилаца:
$$ 7 \cdot 2^4 \cdot 3^5 \cdot 2^7 \cdot 3^2 = 7 \cdot (2^4 \cdot 2^7) \cdot (3^5 \cdot 3^2) $$
$$ = 7 \cdot 2^{4+7} \cdot 3^{5+2} = 7 \cdot 2^{11} \cdot 3^{7} $$
б) \( -11 \cdot 7^4 \cdot (-3)^3 \cdot...

Question 2

Страница $ a = 5\,\text{cm} $ правоугаоника $ ABCD $ повећана је за $ 3\,\text{cm} $, а страница $ b = 4\,\text{cm} $ за $ 2\,\text{cm} $ и тако је добијен правоугаоник $ AB_1C_1D_1 $. а) Израчунај површину правоугаоника $ AB_1C_1D_1 $. б) Да нису познате величине страница $ a $ и \(...

Accepted Answer

Дато је: правоугаоник $ ABCD $ са страницама $ a = 5\ \text{cm} $ и $ b = 4\ \text{cm} $. Страница $ a $ се продужава за $ 3\ \text{cm} $, а страница $ b $ за $ 2\ \text{cm} $, чиме настаје правоугаоник $ AB_1C_1D_1 $.
а) Површина правоугаоника $ AB_1C_1D_1 $
Нове странице су:
$$ AB_1 = a + 3 = 5 + 3 = 8\ \text{cm}, \qquad AD_1 = b + 2 = 4 + 2 = 6\ \text{cm} $$
Површина правоугаоника је производ његових страница:
$$ P = 8\ \text{cm} \cdot 6\ \text{cm} = 48\ \text{cm}^2 $$
б) Из...

Question 3

Одреди производ монома $ A $ и $ B $ и степен добијеног монома ако је: а) $ A = -2x $, $ B = 3x^2 $; б) $ A = \frac{5}{6} a^4 $, $ B = 15a^2 $; в) $ A = -3xy^3 z $, $ B = 2x^5 y z^2 $.

Accepted Answer

Два монома множимо тако што помножимо њихове коефицијенте, а затим степене исте основе (правило $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $). Степен добијеног монома једнак је збиру степена монома чинилаца.
а) $ A = -2x $, $ B = 3x^2 $
$$ A \cdot B = (-2x) \cdot 3x^2 = (-2) \cdot 3 \cdot x \cdot x^2 = -6x^{1+2} = -6x^{3} $$
Степен монома $ A $ је $ 1 $, степен монома $ B $ је $ 2 $, па је степен производа $ 1 + 2 = 3 $.
б) $ A = \frac{5}{6}a^4 $, $ B = 15a^2 $
\[ A \cdot B = \frac{5}{6}a^4 \...

Question 4

Одреди производ монома $ A $, $ B $ и $ C $ и степен добијеног монома ако је: а) $ A = -x\sqrt{2} $, $ B = 4x^3 $, $ C = -x^2 $; б) $ A = \frac{2}{3} ab^2 $, $ B = -5a $, $ C = 3b^2 c^3 $.

Accepted Answer

Производ произвољног броја монома је моном. Поступамо као у Примеру 2: помножимо све коефицијенте, па степене исте основе.
а) $ A = -x\sqrt{2} $, $ B = 4x^3 $, $ C = -x^2 $
Коефицијенти су $ -\sqrt{2} $, $ 4 $ и $ -1 $. Два негативна чиниоца дају позитиван производ:
$$ (-\sqrt{2}) \cdot 4 \cdot (-1) = 4\sqrt{2} $$
Променљиве множимо сабирањем изложилаца:
$$ x \cdot x^3 \cdot x^2 = x^{1+3+2} = x^{6} $$
$$ A \cdot B \cdot C = 4\sqrt{2}\,x^{6} $$
Степен монома је $ 6 $ (број \( \sqrt{...

Question 5

Одреди сређен облик монома: а) $ (3x^2)^3 $; б) $ (2xy^2)^5 $; в) $ (-3x^3 y z^2)^2 $.

Accepted Answer

Користимо формуле за степен производа $ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n $ и за степен степена $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $, као у Примеру 3.
а) $ (3x^2)^3 $
$$ (3x^2)^3 = 3^3 \cdot (x^2)^3 = 27 \cdot x^{2 \cdot 3} = 27x^{6} $$
Степен монома $ 3x^2 $ је $ 2 $, па је степен резултата $ 2 \cdot 3 = 6 $.
б) $ (2xy^2)^5 $
$$ (2xy^2)^5 = 2^5 \cdot x^5 \cdot (y^2)^5 = 32x^{5}y^{10} $$
Степен монома $ 2xy^2 $ је $ 1 + 2 = 3 $, па је степен резултата $ 3 \cdot 5 = 15 $. Провера: \( 5 + 1...

Question 6

Одреди производ $ A \cdot M $, као и степен тог полинома, ако је: а) $ A = 7x^2 - 3x + 5 $, $ M = 2x $; б) $ A = -5x^2 - 4x + 8 $, $ M = -3x^2 $; в) $ A = 12x^4 - 2x^2 + x $, $ M = -x^3 $; г) $ A = -3a^4 + 2a^3 - a^2 + 6a $, $ M = 7a $.

Accepted Answer

Полином $ A $ множимо мономом $ M $ тако што сваки члан полинома $ A $ помножимо мономом $ M $, па добијене производе саберемо (дистрибутивни закон).
а) $ A = 7x^2 - 3x + 5 $, $ M = 2x $
$$ A \cdot M = (7x^2 - 3x + 5) \cdot 2x = 7x^2 \cdot 2x - 3x \cdot 2x + 5 \cdot 2x $$
$$ = 14x^{3} - 6x^{2} + 10x $$
Степен полинома $ A $ је $ 2 $, степен монома $ M $ је $ 1 $, па је степен производа $ 2 + 1 = 3 $.
б) $ A = -5x^2 - 4x + 8 $, $ M = -3x^2 $
\[ A \cdot M = (-5x^2) \cdot...

Question 7

Пронађи грешку: а) $ (x^4 - 3x) \cdot (-x) = x^4 + 3x^2 $; б) $ 2x \cdot (3 - x) = 6x + 2x^2 $; в) $ -5x^3 \cdot (2x - 1) = -5x^4 - 5x^3 $.

Accepted Answer

У сваком примеру треба уочити где је погрешено и записати тачан резултат. Подсетимо се: сваки члан полинома множи се мономом, при чему се коефицијенти множе, а изложиоци сабирају; знак минус испред монома мења знак сваког добијеног члана.
а) $ (x^4 - 3x) \cdot (-x) = x^4 + 3x^2 $
Тачно је:
$$ (x^4 - 3x) \cdot (-x) = x^4 \cdot (-x) - 3x \cdot (-x) = -x^{5} + 3x^{2} $$
Грешка: у првом члану. Уместо да се изложиоци саберу ($ 4 + 1 = 5 $) и да се узме знак минус, написано је $ x^4 $. Други чла...

Question 8

За дате полиноме $ A $ и $ B $ израчунај производ $ A \cdot B $ и одреди његов степен: а) $ A = 3x - 5 $, $ B = 6x - 1 $; б) $ A = -4x + 7 $, $ B = 2x - 1 $; в) $ A = 3a - 2 $, $ B = 3a^2 - 5a + 7 $; г) $ A = 5 - a $, $ B = -a^2 + 2a - 1 $; д) $ A = -3a^2 + 4a - 9 $, \( B = 5...

Accepted Answer

Полином $ A $ множимо полиномом $ B $ тако што сваки члан полинома $ A $ помножимо сваким чланом полинома $ B $, па добијене производе саберемо и сведемо на сређен облик. Степен производа једнак је збиру степена чинилаца.
а) $ A = 3x - 5 $, $ B = 6x - 1 $
$$ (3x - 5)(6x - 1) = 3x \cdot 6x + 3x \cdot (-1) + (-5) \cdot 6x + (-5) \cdot (-1) $$
$$ = 18x^{2} - 3x - 30x + 5 = 18x^{2} - 33x + 5 $$
Степен: $ 1 + 1 = 2 $.
б) $ A = -4x + 7 $, $ B = 2x - 1 $
\[ (-4x + 7)(2x - 1) = -8x^{2}...

Question 9

Свака страница једног пара паралелних страница квадрата дужине $ a $ центиметара продужена је за $ 2\,\text{cm} $, а свака страница другог пара продужена је за $ 5\,\text{cm} $. У зависности од $ a $, одреди површину добијеног правоугаоника у $ \text{cm}^2 $.

Accepted Answer

Дато је: квадрат странице $ a $ центиметара. Квадрат има два пара паралелних страница. Свака страница првог пара продужена је за $ 2\ \text{cm} $, а свака страница другог пара за $ 5\ \text{cm} $.
Странице једног пара су међусобно паралелне, а нормалне на странице другог пара. Зато продужење првог пара мења једну димензију добијеног правоугаоника, а продужење другог пара другу димензију:
$$ \text{прва страница} = a + 2, \qquad \text{друга страница} = a + 5 $$
Површина правоугаоника је прои...

Question 10

Ако је $ A = -3x + 5 $, $ B = 4x - 7 $, $ C = x^2 - 8x - 1 $ и $ D = x^3 $, одреди: а) $ A \cdot B \cdot C $; б) $ B \cdot C \cdot D $; в) $ A \cdot B \cdot C \cdot D $; г) $ A \cdot (-B) \cdot C $; д) $ A \cdot (-B) \cdot (-C) \cdot D $; ђ) $ (A + B) \cdot C $; е) \( B \cdot (C...

Accepted Answer

Дато је: $ A = -3x + 5 $, $ B = 4x - 7 $, $ C = x^2 - 8x - 1 $, $ D = x^3 $.
Више полинома множимо ослањајући се на асоцијативност множења: прво помножимо два, па добијени резултат помножимо трећим (Пример 7).
Припрема
$$ A \cdot B = (-3x + 5)(4x - 7) = -12x^{2} + 21x + 20x - 35 = -12x^{2} + 41x - 35 $$
$$ A + B = (-3x + 5) + (4x - 7) = x - 2 $$
$$ C + D = x^{3} + x^{2} - 8x - 1 $$
а) $ A \cdot B \cdot C $
$$ (-12x^2 + 41x - 35)(x^2 - 8x - 1) $$
\[ = -12x^{4} + 96x^{3} + 12x^{2} + 41x^...

Question 11

У зависности од дужине $ a $, одреди разлику у запреминама квадра чије су ивице $ 2a $, $ a + 1 $ и $ a + 7 $ и коцке чија је ивица $ a $.

Accepted Answer

Дато је: квадар са ивицама $ 2a $, $ a + 1 $ и $ a + 7 $ и коцка са ивицом $ a $.
Запремина квадра
Запремина квадра је производ његових ивица:
$$ V_1 = 2a \cdot (a + 1) \cdot (a + 7) $$
Прво помножимо две заграде:
$$ (a + 1)(a + 7) = a^{2} + 7a + a + 7 = a^{2} + 8a + 7 $$
Затим тај полином помножимо мономом $ 2a $:
$$ V_1 = 2a \cdot (a^2 + 8a + 7) = 2a^{3} + 16a^{2} + 14a $$
Запремина коцке
$$ V_2 = a \cdot a \cdot a = a^{3} $$
Разлика запремина
\[ V_1 - V_2 = (2a^3 + 16a^2 + 14a) - a^...

Question 12

Ако је $ A = 3xy + x + 1 $, $ B = 2xy - x + 3y $, одреди: а) $ A \cdot B $; б) $ -B \cdot A $; в) $ A \cdot (A - B) $; г) $ (A + B) \cdot (-B) $; д) $ (2A - B) \cdot (3A + 2B) $; ђ) $ A - (A - 2B) \cdot B $.

Accepted Answer

Дато је: $ A = 3xy + x + 1 $, $ B = 2xy - x + 3y $.
Припремни збирови и разлике
$$ A + B = (3xy + x + 1) + (2xy - x + 3y) = 5xy + 3y + 1 $$
$$ A - B = (3xy + x + 1) - (2xy - x + 3y) = xy + 2x - 3y + 1 $$
$$ 2A - B = (6xy + 2x + 2) - (2xy - x + 3y) = 4xy + 3x - 3y + 2 $$
$$ 3A + 2B = (9xy + 3x + 3) + (4xy - 2x + 6y) = 13xy + x + 6y + 3 $$
$$ A - 2B = (3xy + x + 1) - (4xy - 2x + 6y) = -xy + 3x - 6y + 1 $$
а) $ A \cdot B $
$$ (3xy + x + 1)(2xy - x + 3y) $$
\[ = 6x^{2}y^{2} - 3x^{2}y + 9xy^{2}...

III.8. Множење Полинома

Изабери решење задатка:

а) \( 7 \cdot 2^4 \cdot 3^5 \cdot 2^7 \cdot 3^2 \)

б) \( -11 \cdot 7^4 \cdot (-3)^3 \cdot 2 \cdot 7^3 \)

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста