III.9. Квадрат Бинома

Која формула се примењује

Пошто је \( A - B = A + (-B) \), из формуле за квадрат бинома добијамо и \[ (A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2. \] Значи, квадрати чланова се сабирају, а њихов двоструки производ се одузима.

а) \( P = 4a - 3 \)

Овде је \( A = 4a \) и \( B = 3 \): \[ P^2 = (4a-3)^2 = (4a)^2 - 2 \cdot 4a \cdot 3 + 3^2 = 16a^2 - 24a + 9. \]Провера множењем: \( (4a-3)(4a-3) = 16a^2 - 12a - 12a + 9 = 16a^2 - 24a + 9 \).

б) \( P = 9x - \frac{4}{7}y \)

Сада је \( A = 9x \) и \( B = \frac{4}{7}y \). Рачунамо редом сваки члан:квадрат првог члана: \( (9x)^2 = 81x^2 \);двоструки производ: \( 2 \cdot 9x \cdot \frac{4}{7}y = \frac{72}{7}xy \);квадрат другог члана: \( \left( \frac{4}{7}y \right)^2 = \frac{16}{49}y^2 \).Уврштавањем у формулу добијамо \[ P^2 = \left( 9x - \frac{4}{7}y \right)^2 = 81x^2 - \frac{72}{7}xy + \frac{16}{49}y^2. \]

в) \( P = -6a - 5b \)

Оба члана су негативна, па је згодно испред заграде извући минус: \( -6a - 5b = -(6a+5b) \). Како је \( (-P)^2 = P^2 \), следи \[ P^2 = (-(6a+5b))^2 = (6a+5b)^2 = (6a)^2 + 2 \cdot 6a \cdot 5b + (5b)^2 = 36a^2 + 60ab + 25b^2. \]Провера директном применом формуле са \( A = -6a \) и \( B = -5b \): \( (-6a)^2 + 2 \cdot (-6a) \cdot (-5b) + (-5b)^2 = 36a^2 + 60ab + 25b^2 \), исти резултат.

\( 16a^2 - 24a + 9 \); \( 81x^2 - \frac{72}{7}xy + \frac{16}{49}y^2 \); \( (-6a-5b)^2 = (6a+5b)^2 = 36a^2 + 60ab + 25b^2 \).