Примене Ставова Подударности

Question 1

Користећи податке са слике испод, докажи једнакости: а) $ \angle BAC = \angle DAC $, $ \angle ABC = \angle ADC $, $ AB = AD $; б) $ \angle ABC = \angle ADC $, $ AB = AD $, $ CB = CD $; в) $ \angle BAC = \angle DAC $, $ \angle ABC = \angle ADC $, $ \angle ACB = \angle ACD $; г) \( \...

Accepted Answer

Шта је заједничко за све четири слике
На свакој слици дијагонала $ AC $ дели четвороугао $ ABCD $ на троуглове $ ABC $ и $ ADC $. Та дијагонала је заједничка страница та два троугла, па у сваком случају већ имамо једну једнакост: $ AC = AC $. Треба само уочити који став подударности можемо применити са подацима са слике.

а) Дато: $ BC = DC = 2\ \text{cm} $, $ \angle BCA = \angle DCA = 41^\circ $
Посматрамо троуглове $ ABC $ и $ ADC $:
$ BC = DC $ (са слике), \( \angle BCA =...

Question 2

Докажи да су дијагонале правоугаоника једнаке.

Accepted Answer

Шта треба доказати
Нека је $ ABCD $ правоугаоник. Његове дијагонале су $ AC $ и $ BD $. Треба доказати да је $ AC = BD $.

Шта знамо о правоугаонику
Правоугаоник је паралелограм чији су сви углови прави. Зато важи:
$ BC = AD $ (наспрамне странице паралелограма су једнаке) и $ \angle ABC = \angle BAD = 90^\circ $.

Доказ
Посматрајмо троуглове $ ABC $ и $ BAD $ (то су троуглови које дијагонале одсецају над заједничком страницом $ AB $):
\[ \begin{aligned} AB &= BA \quad \text{(за...

Question 3

Докажи да су дијагонале квадрата једнаке и узајамно нормалне.

Accepted Answer

Шта треба доказати
Нека је $ ABCD $ квадрат странице $ a $ и нека је $ S $ пресек његових дијагонала $ AC $ и $ BD $. Треба доказати: $ AC = BD $ и $ AC \perp BD $.

1) Дијагонале су једнаке
Квадрат је правоугаоник (сви углови су му прави), па важи исто разматрање као у претходном задатку. Посматрајмо троуглове $ ABC $ и $ BAD $:
$$ AB = BA,\qquad \angle ABC = \angle BAD = 90^\circ,\qquad BC = AD $$
По ставу СУС је $ \triangle ABC \cong \triangle BAD $, одакле следи \( AC = B...

Question 4

На слици десно дате су две концентричне кружнице са центром $ O $. Ако је $ AB $ пречник кружнице мањег полупречника, а $ PQ $ пречник друге кружнице на коме није дуж $ AB $, докажи да су дужи $ AP $ и $ BQ $ једнаке. Докажи затим и једнакост $ AQ = BP $.

Accepted Answer

Шта је дато
Две концентричне кружнице имају заједнички центар $ O $. Дуж $ AB $ је пречник мање кружнице, па је
$$ OA = OB \quad (\text{полупречници мање кружнице}),\qquad A - O - B. $$
Дуж $ PQ $ је пречник веће кружнице, па је
$$ OP = OQ \quad (\text{полупречници веће кружнице}),\qquad P - O - Q. $$
Дакле, дужи $ AB $ и $ PQ $ полове једна другу - заједничко средиште им је тачка $ O $.

Доказ да је $ AP = BQ $
Посматрајмо троуглове $ AOP $ и $ BOQ $:
\[ \begin{aligned} OA &=...

Question 5

Права $ t $ сече паралелне праве $ a $ и $ b $ редом у тачкама $ A $ и $ B $. Нека је $ P $ тачка праве $ a $ и $ Q $ тачка праве $ b $, при чему су $ P $ и $ Q $ са различитих страна праве $ t $ и важи $ AP = BQ $. Докажи да је $ PB = QA $.

Accepted Answer

Шта је дато
Права $ t $ сече паралелне праве $ a $ и $ b $ редом у тачкама $ A $ и $ B $. Тачка $ P $ припада правој $ a $, тачка $ Q $ правој $ b $, при чему су $ P $ и $ Q $ са различитих страна праве $ t $, и важи $ AP = BQ $. Треба доказати $ PB = QA $.

Кључно запажање о угловима
Дуж $ AB $ лежи на правој $ t $, која је трансверзала паралелних правих $ a $ и $ b $. Углови $ \angle PAB $ и $ \angle QBA $ су наизменични углови те трансверзале (баш зато...

Question 6

Тачке $ P $ и $ Q $ су средишта наспрамних страница $ AB $ и $ CD $ паралелограма $ ABCD $. а) Докажи да је $ AQ = CP $. б) Докажи да је $ APCQ $ паралелограм.

Accepted Answer

Шта је дато
У паралелограму $ ABCD $ тачка $ P $ је средиште странице $ AB $, а тачка $ Q $ средиште странице $ CD $. Пошто су наспрамне странице паралелограма једнаке, важи $ AB = CD $, па су и њихове половине једнаке:
$$ AP = PB = \frac{AB}{2},\qquad DQ = QC = \frac{CD}{2},\qquad \text{дакле}\quad AP = QC \ \text{ и }\ PB = DQ. $$

а) Доказ да је $ AQ = CP $
Посматрајмо троуглове $ ADQ $ и $ CBP $:
\[ \begin{aligned} AD &= CB \quad (\text{наспрамне странице паралелограма})\...

Question 7

На слици десно приказан је паралелограм $ ABCD $. Симетрале $ Bb $ и $ Dd $ тупих углова секу редом странице $ CD $ и $ AB $ у тачкама $ B_1 $ и $ D_1 $. а) Докажи да је $ BB_1 = DD_1 $. б) Докажи да је $ D_1BB_1D $ паралелограм.

Accepted Answer

Шта је дато
У паралелограму $ ABCD $ тупи углови су код темена $ B $ и $ D $. Симетрала $ Bb $ угла $ \angle ABC $ сече страницу $ CD $ у тачки $ B_1 $, а симетрала $ Dd $ угла $ \angle ADC $ сече страницу $ AB $ у тачки $ D_1 $.
Означимо $ \beta = \angle ABC $. Наспрамни углови паралелограма су једнаки, па је $ \angle ADC = \beta $, и такође $ \angle BCD = \angle DAB $. Пошто су $ Bb $ и $ Dd $ симетрале, важи
$$ \angle CBB_1 = \frac{\beta}{2} = \angle ADD_1 . $$...

Question 8

На крацима $ AB $ и $ AC $ једнакокраког троугла $ ABC $ дате су тачке $ P $ и $ Q $ такве да је $ AP = AQ $. а) Докажи да је $ BQ = CP $ и $ \angle AQB = \angle APC $. б) Докажи да је $ \angle PQB = \angle QPC $. в) Докажи да је $ PQ \parallel BC $.

Accepted Answer

Шта је дато
Троугао $ ABC $ је једнакокраки са крацима $ AB $ и $ AC $, дакле $ AB = AC $, а основица му је $ BC $. Тачка $ P $ је на краку $ AB $, тачка $ Q $ на краку $ AC $, и важи $ AP = AQ $.

а) Доказ да је $ BQ = CP $ и $ \angle AQB = \angle APC $
Посматрајмо троуглове $ ABQ $ и $ ACP $:
\[ \begin{aligned} AB &= AC \quad (\text{краци једнакокраког троугла})\ \angle BAQ &= \angle CAP \quad (\text{то је исти угао } \angle BAC,\ \text{заједнички за оба троугла})\...

Question 9

На симетрали $ Os $ конвексног угла $ aOb $ изабрана је тачка $ S $ (различита од $ O $). Нормала на $ Os $ у тачки $ S $ сече краке $ Oa $ и $ Ob $ редом у тачкама $ A $ и $ B $. Докажи да је $ OA = OB $, $ SA = SB $ и $ \angle OAS = \angle OBS $.

Accepted Answer

Шта је дато
Полуправа $ Os $ је симетрала конвексног угла $ \angle aOb $, а $ S $ је тачка те симетрале различита од $ O $. Нормала на $ Os $ у тачки $ S $ сече крак $ Oa $ у тачки $ A $ и крак $ Ob $ у тачки $ B $.
Из тога што је $ Os $ симетрала следи
$$ \angle AOS = \angle BOS, $$
а из тога што је $ AB \perp Os $ у тачки $ S $ следи
$$ \angle OSA = \angle OSB = 90^\circ . $$

Доказ
Посматрајмо троуглове $ OSA $ и $ OSB $:
\[ \begin{aligned} \angle AOS &= \angle B...

Question 10

Над страницама правоугаоника $ ABCD $, са спољашње стране конструисани су једнакостранични троуглови $ ABP $, $ BCQ $, $ CDR $ и $ DAS $. Докажи да је $ PQRS $ ромб.

Accepted Answer

Шта је дато
Нека су странице правоугаоника $ ABCD $ једнаке $ AB = CD = a $ и $ BC = AD = b $. Над страницама су, са спољашње стране, конструисани једнакостранични троуглови $ ABP $, $ BCQ $, $ CDR $ и $ DAS $. Зато је
$$ AP = BP = a,\qquad BQ = CQ = b,\qquad CR = DR = a,\qquad DS = AS = b, $$
а сви углови тих троуглова износе $ 60^\circ $.

Углови код темена правоугаоника
Посматрајмо пун угао око темена $ B $. Он је састављен од угла $ \angle ABP = 60^\circ $ (троугао \( ABP...

Question 11

Над основицом $ BC $ једнакокраког $ \triangle ABC $, са спољашње стране је конструисан квадрат $ BCPQ $. Докажи да је $ AP = AQ $.

Accepted Answer

Шта је дато
Троугао $ ABC $ је једнакокраки са основицом $ BC $, дакле
$$ AB = AC \qquad \text{и} \qquad \angle ABC = \angle ACB \quad (\text{углови на основици}). $$
Над основицом $ BC $, са спољашње стране троугла, конструисан је квадрат $ BCPQ $. У том квадрату су темена наведена редом, па су $ BQ $ и $ CP $ његове странице уз основицу:
$$ BQ = CP = BC \qquad \text{и} \qquad \angle QBC = \angle PCB = 90^\circ . $$

Углови $ \angle ABQ $ и $ \angle ACP $
Пошто је квадрат констр...

Question 12

Дата је кружница $ k(O, r) $. Докажи да су две тетиве ове кружнице једнаке ако им одговарају једнаки централни углови. Напомена. Централни угао кружнице јесте угао чије је теме центар кружнице.

Accepted Answer

Шта треба доказати
Дата је кружница $ k(O, r) $. Нека су $ AB $ и $ CD $ две њене тетиве којима одговарају једнаки централни углови, тј. нека је
$$ \angle AOB = \angle COD . $$
Треба доказати да је тада $ AB = CD $.

Шта знамо
Тачке $ A $, $ B $, $ C $ и $ D $ припадају кружници $ k(O, r) $, па су њихова растојања од центра једнака полупречнику:
$$ OA = OB = OC = OD = r . $$

Доказ
Посматрајмо троуглове $ AOB $ и $ COD $:
\[ \begin{aligned} OA &= OC = r \quad (\text{полупре...

Question 13

У тачки $ T $ кружнице $ k(O, r) $ конструисана је тангента $ t $ и на њој су одређене тачке $ A $ и $ B $ такве да је $ A - T - B $ и $ AT = TB $. Докажи да је $ AO = OB $.

Accepted Answer

Шта је дато
У тачки $ T $ кружнице $ k(O, r) $ конструисана је тангента $ t $. На тангенти су одређене тачке $ A $ и $ B $ тако да важи распоред $ A - T - B $ и $ AT = TB $. Треба доказати да је $ AO = OB $.

Кључна особина тангенте
Тангента кружнице је нормална на полупречник који је повучен у додирну тачку. Зато је $ OT \perp t $, а пошто тачке $ A $ и $ B $ леже на тангенти $ t $ са различитих страна тачке $ T $, важи
$$ \angle OTA = \angle OTB = 90^\circ . $$

Доказ...

Question 14

Дате су две изломљене линије $ ABCD $ и $ A_1B_1C_1D_1 $. Користећи податке са слике, докажи да је $ AD = A_1D_1 $. а) ; б)

Accepted Answer

Идеја (као у Примеру 6)
Изломљене линије нису троуглови, па их „разлажемо" на троуглове дијагоналом $ AC $, односно $ A_1C_1 $. Прво докажемо подударност троуглова $ ABC $ и $ A_1B_1C_1 $ (одатле добијамо $ AC = A_1C_1 $ и једнакост углова код темена $ C $), а затим подударност троуглова $ ACD $ и $ A_1C_1D_1 $, одакле следи $ AD = A_1D_1 $.

а) Подаци са слике: $ AB = A_1B_1 = 3\ \text{cm} $, $ \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 = 62^\circ $, $ BC = B_1C_1 = 4\ \text{cm} $, \...

Question 15

Дат је петоугао $ ABCDE $. Користећи податке са слике, докажи једнакости: а) $ AC = AD $ и $ \angle BCD = \angle EDC $; б) $ AD = BD $ и $ \angle BCD = \angle AED $.

Accepted Answer

а) Подаци са слике: $ AB = AE = 2\ \text{cm} $, $ BC = ED = 2,2\ \text{cm} $, $ \angle ABC = \angle AED = 100^\circ $
Доказ да је $ AC = AD $. Повучемо дијагонале $ AC $ и $ AD $ и посматрамо троуглове $ ABC $ и $ AED $:
$$ \begin{aligned} AB &= AE = 2\ \text{cm}\ \angle ABC &= \angle AED = 100^\circ\ BC &= ED = 2,2\ \text{cm} \end{aligned} $$
Угао је у оба троугла захваћен наведеним страницама, па по ставу СУС следи
\[ \triangle ABC \cong \triangle AED \ \Rightarrow \ AC = AD...

Question 16

Докажи да средња линија $ A_1B_1 $ наспрамна страници $ AB $ троугла $ ABC $ полови дуж $ CX $, где је $ X $ било која тачка странице $ AB $.

Accepted Answer

Шта је дато
У троуглу $ ABC $ средња линија наспрамна страници $ AB $ јесте дуж $ A_1B_1 $, где је $ A_1 $ средиште странице $ BC $, а $ B_1 $ средиште странице $ AC $. Тачка $ X $ је произвољна тачка странице $ AB $. Треба доказати да права $ A_1B_1 $ полови дуж $ CX $.

Особине које користимо
По теореми о средњој линији троугла, средња линија $ A_1B_1 $ паралелна је наспрамној страници:
$$ A_1B_1 \parallel AB . $$
Користићемо и теорему доказану на страни 125: ако кроз с...

Question 17

Докажи да је средња линија трапеза паралелна његовим основицама и једнака полузбиру основица.

Accepted Answer

Шта је дато, а шта треба доказати
Нека је $ ABCD $ трапез са основицама $ AB $ и $ CD $, тј. $ AB \parallel CD $. Означимо $ AB = a $ и $ CD = b $. Нека је $ E $ средиште крака $ AD $, а $ F $ средиште крака $ BC $. Дуж $ EF $ је, по дефиницији, средња линија трапеза.
Треба доказати две ствари:
1) $ EF \parallel AB $ и $ EF \parallel CD $;2) $ EF = \dfrac{a+b}{2} $.

Идеја доказа
Дијагонала дели трапез на два троугла, а у сваком од њих можемо применити теорему о средњ...

Question 18

На слици десно приказан је паралелограм $ ABCD $ и права $ p $ која са њим нема заједничких тачака. Растојања темена $ A $, $ B $ и $ C $ од праве $ p $ редом су једнака $ 7\,\text{cm} $, $ 3\,\text{cm} $ и $ 5\,\text{cm} $. Одреди растојање тачке $ D $ од праве $ p $.

Accepted Answer

Шта је дато
Дат је паралелограм $ ABCD $ и права $ p $ која са њим нема заједничких тачака, па су сва четири темена са исте стране праве $ p $. Подножја нормала из темена $ A $, $ B $, $ C $ и $ D $ на праву $ p $ означимо редом са $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $ и $ D_1 $. Са слике је
$$ AA_1 = 7\ \text{cm}, \qquad BB_1 = 3\ \text{cm}, \qquad CC_1 = 5\ \text{cm}, $$
а тражимо растојање $ DD_1 $ темена $ D $ од праве $ p $.

Кључна чињеница: дијагонале паралелограма се по...

IV.4. Примене Ставова Подударности

Изабери решење задатка:

Шта је дато, а шта треба доказати

Идеја доказа

Први корак: троугао \( ACD \)

Други корак: троугао \( ABC \)

Трећи корак: тачке \( E \), \( M \) и \( F \) леже на једној правој

Закључак

Провера тврђења на посебним случајевима

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста