IV.5. Значајне Тачке Троугла

Шта је дато и шта се тражи

У троуглу \( ABC \) центар описане кружнице \( O \) и центар уписане кружнице \( S \) поклапају се: \( O = S \). Ту заједничку тачку означимо са \( O \). Треба доказати да је троугао једнакостраничан.

Две особине тачке \( O \)

(1) Пошто је \( O \) центар описане кружнице, једнако је удаљена од сва три темена: \[ OA = OB = OC. \](2) Пошто је \( O \) уједно и центар уписане кружнице, она лежи на симетрали сваког угла троугла. Зато дужи \( AO \), \( BO \) и \( CO \) полове редом углове \( A \), \( B \) и \( C \).

Увођење ознака

Због особине (2) ставимо:\( \angle OAB = \angle OAC = x \), па је угао \( A = 2x \);\( \angle OBA = \angle OBC = y \), па је угао \( B = 2y \);\( \angle OCA = \angle OCB = z \), па је угао \( C = 2z \).

Упоређивање помоћу једнакокраких троуглова

Из \( OA = OB \) следи да је троугао \( AOB \) једнакокраки са основицом \( AB \), а углови на основици једнакокраког троугла су једнаки: \[ \angle OAB = \angle OBA, \quad \text{тј.} \quad x = y. \]Из \( OB = OC \) следи да је троугао \( BOC \) једнакокраки са основицом \( BC \), па је \[ \angle OBC = \angle OCB, \quad \text{тј.} \quad y = z. \]Дакле \( x = y = z \).

Закључак

Тада су и углови троугла једнаки: \[ A = 2x, \quad B = 2y, \quad C = 2z \ \Rightarrow\ A = B = C. \]Троугао са три једнака угла је једнакостраничан (странице наспрам једнаких углова су једнаке), па је \( AB = BC = CA \). Свака од тих углова је \( 60^\circ \), јер је њихов збир \( 180^\circ \).

Провера другим путем

До истог закључка долазимо и овако: странице троугла су тетиве описане кружнице са центром \( O \). Пошто је \( O \) уједно центар уписане кружнице, она је од сваке странице удаљена за исто растојање \( r \). А тетиве које су једнако удаљене од центра кружнице су међусобно једнаке, па је \( AB = BC = CA \) — троугао је једнакостраничан. Резултат се слаже са првим извођењем.

Из \( OA = OB = OC \) углови на основицама троуглова \( AOB \) и \( BOC \) су једнаки, а то су половине углова троугла, па је \( A = B = C = 60^\circ \) — троугао је једнакостраничан.