Одреди меру угла $\varphi$. а) …; б) …; в) …; г) …; д) …

Шта користимо Периферијски угао је два пута мањи од централног угла над истим луком: $ \beta = \frac{\alpha}{2} $, односно $ \alpha = 2\beta $. Периферијском углу одговара централни угао над оним луком који не садржи теме периферијског угла. Такође, сви периферијски углови над истим луком међусобно су једнаки. а) Дат је централни угао $ \angle AOB = 110^\circ $, означен са стране лука $ AB $ који не садржи теме $ P $. Тражени угао $ \varphi = \angle APB $ је периферијски угао над тим...

Око правилног петоугла је описана кружница. Одреди периферијски угао над краћим луком који одређује страница петоугла.

Шта је дато Око правилног петоугла $ ABCDE $ описана је кружница са центром $ O $. Тражимо периферијски угао над краћим луком који одређује једна страница петоугла, на пример страница $ AB $. Централни угао Темена правилног петоугла деле кружницу на пет једнаких лукова, јер су све странице једнаке. Зато су и одговарајући централни углови једнаки, а њихов збир је пун угао: \[ \alpha = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ. \] Дакле, централни угао над краћим луком $ AB $ износи \( \angle AOB = 7...

Под којим углом се из центра кружнице види тетива коју одређује лук периферијског угла чија је мера $31^\circ 14'$?

Шта се тражи Угао под којим се тетива види из центра кружнице јесте управо централни угао над том тетивом, тј. над луком који тетива одређује. Веза са периферијским углом Дат је периферијски угао $ \beta = 31^\circ 14' $ над тим луком. Централни угао над истим луком је два пута већи: \[ \alpha = 2\beta = 2 \cdot 31^\circ 14'. \] Рачун са степенима и минутима Множимо посебно степене и посебно минуте: \[ 2 \cdot 31^\circ = 62^\circ, \qquad 2 \cdot 14' = 28'. \] Како је $ 28' $ мање од \( 60' \...

Одреди дужину тетиве коју одређује лук периферијског угла од $30^\circ$ кружнице $k(O, 2\,\text{cm})$.

Шта је дато Кружница $ k(O, 2\ \text{cm}) $, дакле $ r = 2\ \text{cm} $, и периферијски угао од $ 30^\circ $ над неким луком $ AB $. Тражимо дужину тетиве $ AB $. Централни угао Централни угао над истим луком је двоструко већи од периферијског: \[ \angle AOB = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ. \] Троугао $ AOB $ Тачке $ A $ и $ B $ су на кружници, па је $ OA = OB = r = 2\ \text{cm} $. Значи, троугао $ AOB $ је једнакокраки, а углови на основици $ AB $ су једнаки: \[ \angle OAB =...

На слици десно дате су две дужи $c$ и $h_c$. Затим је приказана конструкција правоуглог троугла хипотенузе $c$ и висине која одговара хипотенузи $h_c$. а) Објасни конструкцију; б) За какве изборе дужи $c$ и $h_c$ задатак нема решења?

а) Објашњење конструкције Тражи се правоугли троугао $ ABC $ коме је хипотенуза $ AB = c $, а висина из темена правог угла на хипотенузу једнака $ h_c $. Теме $ C $ траћемо као пресек два скупа тачака. Први услов — прав угао код темена $ C $. Угао код темена $ C $ је прав, што значи да се дуж $ AB $ из тачке $ C $ види под правим углом. По последици теореме о централном и периферијском углу, периферијски углови над пречником су прави, па су све тачке из којих се $ AB $ види под...

Конструиши правоугли троугао чија је хипотенуза 6 $\text{cm}$, а висина која јој одговара је 2 $\text{cm}$.

Анализа Тражимо правоугли троугао $ ABC $ са хипотенузом $ c = AB = 6\ \text{cm} $ и висином на хипотенузу $ h_c = 2\ \text{cm} $. Као у задатку 5, теме $ C $ мора бити: • на кружници над пречником $ AB $, јер је периферијски угао над пречником прав; • на правој паралелној са $ AB $, удаљеној од ње $ 2\ \text{cm} $, јер је то висина из $ C $. Услов решивости Полупречник те кружнице је $ \frac{c}{2} = \frac{6\ \text{cm}}{2} = 3\ \text{cm} $. Како је $ h_c = 2\ \text{cm} $, а \...

Кружнице $k_1$ и $k_2$ секу се у тачкама $A$ и $B$. Нека је $A_1$ дијаметрално супротна тачки $A$ у односу на $k_1$, а $A_2$ дијаметрално супротна тачки $A$ у односу на $k_2$. Докажи да су тачке $A_1$, $B$ и $A_2$ колинеарне тачке. Напомена. Пречник кружнице назива се и диј...

Шта је дато и шта се доказује Кружнице $ k_1 $ и $ k_2 $ секу се у тачкама $ A $ и $ B $. Тачка $ A_1 $ је дијаметрално супротна тачки $ A $ на кружници $ k_1 $, а тачка $ A_2 $ дијаметрално супротна тачки $ A $ на кружници $ k_2 $. Треба доказати да тачке $ A_1 $, $ B $ и $ A_2 $ припадају једној правој. Угао код темена $ B $ у кружници $ k_1 $ Дуж $ AA_1 $ је пречник кружнице $ k_1 $. Тачка $ B $ припада кружници $ k_1 $ и различита је од крајева тог пречн...

Троугао $ABC$ није правоугли, а његова страница $AB$ је пречник кружнице $k$. Нека је $A'$ тачка у којој се секу кружница $k$ и права на којој се налази страница $BC$, при чему је $A' \ne B$. Докажи да је $A'$ подножје висине из $A$ на страницу $BC$.

Шта је дато и шта се доказује Троугао $ ABC $ није правоугли, а његова страница $ AB $ је пречник кружнице $ k $. Тачка $ A' $ је пресек кружнице $ k $ и праве $ BC $, при чему је $ A' \ne B $. Треба доказати да је $ A' $ подножје висине из темена $ A $ на страницу $ BC $, тј. да је $ AA' \perp BC $ и да $ A' $ припада правој $ BC $. Тачка $ A' $ припада правој $ BC $ То је дато: $ A' $ је по дефиницији пресечна тачка кружнице $ k $ и праве на којој лежи страниц...

Око четвороугла је описан круг. Докажи да је збир свака два наспрамна угла једнак $180^\circ$. Напомена. Четвороугао око кога се може описати круг назива се тетивни четвороугао.

Шта је дато и шта се доказује Дат је четвороугао $ ABCD $ око кога је описан круг са центром $ O $ (тетивни четвороугао). Треба доказати да је збир свака два наспрамна угла једнак $ 180^\circ $, тј. да важи \[ \angle A + \angle C = 180^\circ \quad \text{и} \quad \angle B + \angle D = 180^\circ. \] Углови четвороугла су периферијски углови Темена $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ припадају кружници, а краци сваког унутрашњег угла садрже по две тетиве те кружнице. Зато је сваки унутрашњи уг...

Централни И Периферијски Угао

Најважније из лекције

Централни угао ($ \alpha $): Теме је у центру круга.
Периферијски угао ($ \beta $): Теме је на кружници.
Кључна формула: $ \alpha = 2\beta $ (централни угао је увек дупло већи од периферијског над истим луком).
Важна правила: Периферијски угао над пречником је увек прав ($ 90^\circ $). Сви периферијски углови над истим луком имају исту меру.

Централни угао круга јесте угао чије је теме центар круга, а краци садрже полупречнике круга.

Ако краци централног угла секу кружницу у тачкама $A$ и $B$, кажемо да је тај угао над луком $ \widehat{AB} $.

$Круг са центром O. Приказан је централни угао $\alpha$ чије се теме налази у центру круга, а његови краци секу кружницу у тачкама A и B, дефинишући тако кружни лук AB.$

Периферијски угао круга јесте конвексан угао чије теме припада кружници, а краци садрже тетиве круга.

$Круг са центром O. Приказан је периферијски угао $\beta$ чије се теме T налази било где на самој кружници, а краци секу кружницу у тачкама C и D, дефинишући кружни лук CD.$

Сваком кружном луку одговара тачно један централни угао, док му одговара бесконачно много периферијских углова.

Централни угао круга два пута је већи од периферијског угла над истим луком.

\[ \alpha = 2\beta \] где је $ \alpha $ централни, а $ \beta $ периферијски угао над истим луком.

Ако је централни угао над неким луком $ 120^\circ $, периферијски угао над истим луком износиће половину те вредности: \[ \beta = 120^\circ : 2 = 60^\circ \] Обрнуто, ако је периферијски угао $ 50^\circ $, централни угао је: \[ \alpha = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ \]

Ако је централни угао над кружним луком $ 74^\circ $, колико износи периферијски угао над тим истим луком?

Периферијски угао је дупло мањи од централног.
$ \beta = \alpha : 2 $
$ \beta = 74^\circ : 2 = 37^\circ $

Периферијски угао над пречником круга је прав ($ 90^\circ $).
Објашњење: Централни угао који одговара пречнику је опружен угао ($ 180^\circ $). Како је периферијски угао дупло мањи, он износи $ 180^\circ : 2 = 90^\circ $.

Сви периферијски углови над истим луком су међусобно једнаки.
Објашњење: Пошто сви они одговарају једном истом централном углу над тим луком, сви морају имати исту меру (половину тог централног угла).

Односи лукова и углова: У истом кругу (или круговима једнаких полупречника), већем централном углу одговара већи лук, а једнаким угловима одговарају једнаки лукови (и обрнуто).

Задаци за вежбање

Лак: Периферијски угао над луком $ \widehat{AB} $ износи $ 42^\circ $. Колика је мера централног угла над истим луком?

Централни угао је два пута већи од периферијског.
$ \alpha = 2 \cdot \beta $
$ \alpha = 2 \cdot 42^\circ = 84^\circ $
Одговор: Централни угао износи $ 84^\circ $.

Средњи: Збир централног и периферијског угла над истим кружним луком износи $ 135^\circ $. Одреди мере ових углова.

Нека је $ \alpha $ централни, а $ \beta $ периферијски угао.
Познато нам је: $ \alpha + \beta = 135^\circ $
Према теореми важи: $ \alpha = 2\beta $
Заменом добијамо: $ 2\beta + \beta = 135^\circ $
$ 3\beta = 135^\circ \implies \beta = 45^\circ $
Сада рачунамо централни угао: $ \alpha = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ $
Одговор: Периферијски угао је $ 45^\circ $, а централни је $ 90^\circ $.

Тежак: Тетива круга једнака је његовом полупречнику. Одреди меру мањег централног и одговарајућег периферијског угла над том тетивом.

Ако спојимо крајеве тетиве са центром круга, добијамо троугао чије су странице два полупречника ($r$) и тетива (која је такође једнака $r$).
Тај троугао је једнакостраничан.
Унутрашњи углови једнакостраничног троугла су $ 60^\circ $. Угао код центра круга је управо тражени централни угао.
Дакле, $ \alpha = 60^\circ $.
Периферијски угао над истом тетивом (луком) је дупло мањи:
$ \beta = 60^\circ : 2 = 30^\circ $.
Одговор: Централни угао је $ 60^\circ $, а периферијски $ 30^\circ $.

V.1. Централни И Периферијски Угао

Изабери решење задатка:

Анализа

Услов решивости

Конструкција

Доказ да конструкција даје тражени троугао

Дискусија

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

Детаљно решење

Анализа

Услов решивости

Конструкција

Доказ да конструкција даје тражени троугао

Дискусија

Кратак запис решења:

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: