Најважније из лекције
Тангентна дуж: Формира правоугли троугао са полупречником и растојањем тачке од центра: \(d^2 = t^2 + r^2\).
Тетива и растојање од центра: Нормала из центра полови тетиву и даје правоугли троугао: \(r^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + d^2\).
Концентричне кружнице: Половина заједничке тангентне тетиве је \(\frac{a}{2} = \sqrt{R^2 - r^2}\).
Тетива додирних тачака: Рачуна се преко висине правоуглог троугла: \(T_1T_2 = \frac{2 \cdot r \cdot t}{d}\).
Тетива и растојање од центра: Нормала из центра полови тетиву и даје правоугли троугао: \(r^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + d^2\).
Концентричне кружнице: Половина заједничке тангентне тетиве је \(\frac{a}{2} = \sqrt{R^2 - r^2}\).
Тетива додирних тачака: Рачуна се преко висине правоуглог троугла: \(T_1T_2 = \frac{2 \cdot r \cdot t}{d}\).
Дуж чије су крајње тачке тачка ван кружнице \(P\) и тачка додира тангенте \(T\) назива се тангентна дуж (\(t = PT\)).
Тангента на кружницу је увек нормална на полупречник конструисан у тачки додира (\(OT \perp PT\)). Зато троугао \(\Delta OPT\) представља правоугли троугао.
\[ d^2 = t^2 + r^2 \]
\(d\) – растојање од центра \(O\) до тачке \(P\) (хипотенуза), \(r\) – полупречник кружнице (катета), \(t\) – тангентна дуж (катета)
Из тачке \(P\), која је од центра кружнице удаљена \(d = 5\text{ cm}\), конструисана је тангента на кружницу полупречника \(r = 3\text{ cm}\).
Дужина тангентне дужи је: \[ t = \sqrt{d^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\text{ cm} \]
Дужина тангентне дужи је: \[ t = \sqrt{d^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\text{ cm} \]
Из тачке \(P\) конструисана је тангентна дуж дужине \(t = 24\text{ cm}\) на кружницу полупречника \(r = 7\text{ cm}\). Израчунај растојање тачке \(P\) од центра кружнице.
Применом формуле \(d^2 = t^2 + r^2\):
\[ d = \sqrt{t^2 + r^2} = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25\text{ cm} \]
Одговор: Растојање тачке \(P\) од центра кружнице је \(25\text{ cm}\).
Растојање центра круга од тетиве (\(d\)) јесте дужина дужи нормалне на тетиву која спаја центар са тетивом. Та нормала полови тетиву на два једнака дела дужине \(\frac{a}{2}\).
\[ r^2 = \left( \frac{a}{2} \right)^2 + d^2 \]
\(r\) – полупречник кружнице (хипотенуза), \(a\) – дужина тетиве, \(d\) – растојање центра од тетиве (катета)
Ако је полупречник кружнице \(r = 10\text{ cm}\), а растојање центра од тетиве \(d = 6\text{ cm}\):
\[ \left(\frac{a}{2}\right) = \sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\text{ cm} \]
Дужина целе тетиве је:
\[ a = 2 \cdot 8\text{ cm} = 16\text{ cm} \]
Тетива дужине \(a = 12\text{ cm}\) налази се на растојању \(d = 8\text{ cm}\) од центра кружнице. Одреди полупречник кружнице.
Половина тетиве је \(\frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6\text{ cm}\).
Применом формуле: \[ r = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + d^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\text{ cm} \] Одговор: Полупречник кружнице је \(10\text{ cm}\).
Применом формуле: \[ r = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + d^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\text{ cm} \] Одговор: Полупречник кружнице је \(10\text{ cm}\).
Концентричне кружнице: Тетива веће кружнице \(k(O, R)\) која је уједно тангента мање кружнице \(k(O, r)\) има тачку додира у свом средишту, а њена дужина рачуна се из правоуглог троугла:
\[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 = R^2 - r^2 \implies a = 2\sqrt{R^2 - r^2} \]
Тетива одређена додирним тачкама тангенти (\(T_1T_2\)): Дуж \(OP\) сече тетиву \(T_1T_2\) под правим углом и полови је. Половина те тетиве (\(h\)) представља висину правоуглог троугла \(\Delta OPT_1\) која одговара хипотенузи \(d\):
\[ h = \frac{r \cdot t}{d}, \quad T_1T_2 = 2h = \frac{2 \cdot r \cdot t}{d} \]
Дате су концентричне кружнице полупречника \(R = 5\text{ cm}\) и \(r = 4\text{ cm}\). Одреди дужину тетиве веће кружнице која додирује мању кружницу.
Половина тражене тетиве је:
\[ \frac{a}{2} = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3\text{ cm} \]
Дужина целе тетиве је:
\[ a = 2 \cdot 3\text{ cm} = 6\text{ cm} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Из тачке \(P\) конструисана је тангентна дуж на кружницу \(k(O, 8\text{ cm})\). Ако је тачка \(P\) удаљена \(17\text{ cm}\) од центра кружнице, колика је дужина тангентне дужи?
Дато је: \(r = 8\text{ cm}\), \(d = 17\text{ cm}\).
Примењујемо везу \(d^2 = t^2 + r^2\): \[ t = \sqrt{d^2 - r^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\text{ cm} \] Одговор: Дужина тангентне дужи је \(15\text{ cm}\).
Примењујемо везу \(d^2 = t^2 + r^2\): \[ t = \sqrt{d^2 - r^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\text{ cm} \] Одговор: Дужина тангентне дужи је \(15\text{ cm}\).
Задатак 2 (средњи): Дата је кружница полупречника \(15\text{ cm}\) и њена тетива дужине \(18\text{ cm}\). Одреди растојање центра круга од те тетиве.
Дато је: \(r = 15\text{ cm}\), \(a = 18\text{ cm}\).
Половина тетиве је: \[ \frac{a}{2} = \frac{18}{2} = 9\text{ cm} \] Растојање центра од тетиве (\(d\)) израчунавамо из \(r^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + d^2\): \[ d = \sqrt{r^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12\text{ cm} \] Одговор: Растојање центра круга од тетиве је \(12\text{ cm}\).
Половина тетиве је: \[ \frac{a}{2} = \frac{18}{2} = 9\text{ cm} \] Растојање центра од тетиве (\(d\)) израчунавамо из \(r^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + d^2\): \[ d = \sqrt{r^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12\text{ cm} \] Одговор: Растојање центра круга од тетиве је \(12\text{ cm}\).
Задатак 3 (средњи): Тетива кружнице \(k(O, 4\text{ cm})\) одговара периферијском углу од \(45^\circ\). Израчунај дужину те тетиве.
Периферијском углу од \(45^\circ\) одговара централни угао који је дупло већи:
\[ \alpha = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ \]
Пошто је централни угао прав, троугао који чине центар и крајеви тетиве је једнакокрако-правоугли троугао са крацима једнаким полупречнику (\(r = 4\text{ cm}\)).
Тетива представља хипотенузу тог троугла: \[ a = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\text{ cm} \] Одговор: Дужина тетиве је \(4\sqrt{2}\text{ cm}\).
Тетива представља хипотенузу тог троугла: \[ a = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\text{ cm} \] Одговор: Дужина тетиве је \(4\sqrt{2}\text{ cm}\).
Задатак 4 (тежак): Из тачке \(P\), која је од центра кружнице \(k(O, 15\text{ cm})\) удаљена \(17\text{ cm}\), конструисане су тангенте које додирују кружницу у тачкама \(T_1\) и \(T_2\). Израчунај дужину тетиве \(T_1T_2\).
1. Израчунавамо дужину тангентне дужи \(t\):
\[ t = \sqrt{d^2 - r^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8\text{ cm} \]
2. Половина тетиве \(T_1T_2\) је висина \(h\) правоуглог троугла \(\Delta OPT_1\) која одговара хипотенузи \(d = 17\text{ cm}\):
\[ \frac{d \cdot h}{2} = \frac{r \cdot t}{2} \implies h = \frac{r \cdot t}{d} = \frac{15 \cdot 8}{17} = \frac{120}{17}\text{ cm} \]
3. Дужина целе тетиве \(T_1T_2\) је:
\[ T_1T_2 = 2h = 2 \cdot \frac{120}{17} = \frac{240}{17}\text{ cm} \approx 14,12\text{ cm} \]
Одговор: Дужина тетиве \(T_1T_2\) је \(\frac{240}{17}\text{ cm}\).
