Ротација

Question 1

Нацртај неку дуж $ EF $, а затим ротирај тачку $ F $ око тачке $ E $ за угао $ 75^\circ $ у смеру казаљке на сату.

Accepted Answer

Шта је датоДата је дуж $ EF $. Центар ротације је тачка $ E $, а угао ротације је $ 75^\circ $ у смеру казаљке на сату. Смер казаљке на сату је, како је уведено на страници 160, негативна оријентација угла.Тражи се слика $ F_1 $ тачке $ F $.Шта каже дефиниција ротацијеСлика тачке $ F $ при ротацији око тачке $ E $ за оријентисани угао $ \alpha $ јесте једина тачка $ F_1 $ за коју истовремено важи:\[ EF = EF_1 \quad \text{и} \quad \angle FEF_1 = \alpha \ \text{(са тачном оријент...

Question 2

На слици десно тачке $ A $ и $ B $ су ротацијом око тачке $ C $ за оријентисани угао $ \beta $ пресликане у тачке $ A_1 $ и $ B_1 $. Објасни зашто је $ AB = A_1B_1 $.

Accepted Answer

Шта одмах знамоТачке $ A $ и $ B $ ротацијом око тачке $ C $ за оријентисани угао $ \beta $ пресликавају се у $ A_1 $ и $ B_1 $. По самој дефиницији ротације важи:$$ CA = CA_1, \qquad CB = CB_1, \qquad \angle ACA_1 = \angle BCB_1 = \beta. $$Оба та угла означена су на слици са $ \beta $.Кључни корак: углови $ ACB $ и $ A_1CB_1 $ су једнакиСа слике се види редослед полуправих из центра $ C $: полуправа $ CA_1 $ лежи између полуправих $ CA $ и $ CB $, а полуправа $ CB $...

Question 3

У координатном систему дате су тачке $ A(1, 2) $, $ B(4, 1) $, $ C(3, 3) $. Одреди координате тачака добијених ротацијом датих тачака око координатног почетка за угао од $ 90^\circ $ у смеру супротном кретању казаљке на сату.

Accepted Answer

Шта се тражиТачке $ A(1,\ 2) $, $ B(4,\ 1) $ и $ C(3,\ 3) $ ротирамо око координатног почетка $ O(0,\ 0) $ за $ 90^\circ $ у смеру супротном кретању казаљке на сату (позитиван смер).Шта ротација за $ 90^\circ $ ради са мрежомРотирајмо целу квадратну мрежу око тачке $ O $ за $ 90^\circ $ у позитивном смеру. Тада:• правац „удесно“ (позитиван смер $ x $-осе) прелази у правац „навише“ (позитиван смер $ y $-осе);• правац „навише“ прелази у правац „улево“.До тачке $ (x,\ y) $ сти...

Question 4

Нацртај дуж $ AB $, а затим је ротирај око тачке $ A $ за $ 75^\circ $ у смеру казаљке на сату.

Accepted Answer

Шта је датоДата је дуж $ AB $. Центар ротације је њено теме $ A $, а угао ротације $ 75^\circ $ у смеру казаљке на сату (негативна оријентација).Слика центраЦентар ротације се увек слика у самог себе, па је $ A_1 = A $. Остаје да конструишемо само слику $ B_1 $ тачке $ B $.Кораци конструкције1) Нацртамо произвољну дуж $ AB $.2) У тачки $ A $ нанесемо угао од $ 75^\circ $ од полуправе $ AB $, обрћући је у смеру казаљке на сату; добијамо полуправу $ At $.3) Шестаром узмемо ра...

Question 5

а) Нацртај дуж $ PQ $ и конструиши средиште $ O $; б) Конструиши дуж $ P_1Q_1 $ која се добија ротацијом дужи $ PQ $ око тачке $ O $ за $ 30^\circ $ у смеру супротном кретању казаљке на сату; в) Објасни зашто је четвороугао $ PP_1QQ_1 $ правоугаоник.

Accepted Answer

а) Дуж $ PQ $ и њено средиште $ O $Нацртамо произвољну дуж $ PQ $. Средиште конструишемо симетралом дужи:1) Шестар отворимо на растојање веће од половине дужи $ PQ $.2) Из тачке $ P $, а затим и из тачке $ Q $, тим отвором нацртамо лукове; они се секу у две тачке.3) Права кроз те две пресечне тачке је симетрала дужи $ PQ $; она сече дуж $ PQ $ у њеном средишту $ O $.Тада је $ OP = OQ $, а тачке $ P $, $ O $, $ Q $ су колинеарне.б) Ротација дужи $ PQ $ око $ O $ за \...

Question 6

Нацртај оштроугли троугао $ ABC $, а затим га ротирај око темена $ A $ за $ 120^\circ $ у смеру кретања казаљке на сату.

Accepted Answer

Шта је датоОштроугли троугао $ ABC $ (сва три угла су мања од правог) ротирамо око темена $ A $ за $ 120^\circ $ у смеру казаљке на сату, дакле за негативно оријентисан угао.Слике теменаЦентар ротације слика се у самог себе, па је $ A_1 = A $. Треба конструисати само $ B_1 $ и $ C_1 $.Кораци конструкције1) Нацртамо оштроугли троугао $ ABC $.2) У тачки $ A $ нанесемо угао од $ 120^\circ $ од полуправе $ AB $, у смеру казаљке на сату; добијамо полуправу $ At $. Шестаром прене...

Question 7

Једнакостраничан троугао $ ABC $ ротирај око темена $ A $ за $ 60^\circ $ у смеру супротном кретању казаљке на сату.

Accepted Answer

Шта је датоЈеднакостраничан троугао $ ABC $ (све странице једнаке $ a $, сви углови по $ 60^\circ $) ротирамо око темена $ A $ за $ 60^\circ $ у смеру супротном кретању казаљке на сату (позитиван смер).Нацртајмо троугао на уобичајен начин, тако да низ темена $ A $, $ B $, $ C $ иде у позитивном смеру (нпр. $ A $ доле лево, $ B $ доле десно, $ C $ горе).Слика темена $ A $$ A $ је центар ротације, па је $ A_1 = A $.Слика темена $ B $Угао троугла код темена $ A $ изн...

Question 8

Квадрат $ ABCD $ ротирај око његовог центра $ O $ за $ 45^\circ $ у смеру супротном кретању казаљке на сату.

Accepted Answer

Шта је датоКвадрат $ ABCD $ ротирамо око његовог центра $ O $ (пресека дијагонала) за $ 45^\circ $ у смеру супротном кретању казаљке на сату.Кључна запажањаСва четири темена квадрата леже на једном кругу са центром $ O $ — то је описани круг квадрата, полупречника$$ R = OA = OB = OC = OD. $$Дијагонале квадрата секу се под правим углом, па је$$ \angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ. $$Ротација чува растојање од центра, па слике темена остају на истом кругу \( k(O,\...

Question 9

Нека је $ O $ центар правилног шестоугла $ ABCDEF $. Одреди троугао који се добија ротацијом око $ O $ за $ 60^\circ $ у смеру кретања казаљке на сату: а) троугла $ ABC $; б) троугла $ BCE $; в) троугла $ ACE $.

Accepted Answer

Распоред темена на слициСа слике уз задатак: теме $ D $ је горе, $ C $ горе десно, $ B $ доле десно, $ A $ доле, $ F $ доле лево, $ E $ горе лево. Дакле, низ $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, $ E $, $ F $ иде у смеру супротном кретању казаљке на сату.Како ротација за $ 60^\circ $ помера теменаЦентар $ O $ правилног шестоугла подједнако је удаљен од свих темена, па сва темена леже на описаном кругу. Шест једнаких централних углова даје$$ \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ, $$тј....

Question 10

Нека је $ O $ центар правилног шестоугла $ ABCDEF $. Одреди слику након ротације око $ O $ за $ 120^\circ $ у смеру супротном кретању казаљке на сату: а) тачке $ A $; б) дужи $ AC $; в) троугла $ ACD $; г) четвороугла $ ACDE $.

Accepted Answer

Распоред темена на слициСа слике: $ D $ је горе, $ C $ горе десно, $ B $ доле десно, $ A $ доле, $ F $ доле лево, $ E $ горе лево. Низ $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, $ E $, $ F $ иде, дакле, у смеру супротном кретању казаљке на сату — то је позитиван смер, исти онај у ком сада ротирамо.Како ротација за $ 120^\circ $ помера теменаСуседна темена правилног шестоугла виде се из центра под углом од$$ \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ, $$па ротација за $ 60^\circ $ у позитивном с...

Question 11

У координатном систему дате су тачке $ A(1, 2) $, $ B(4, 1) $ и $ C(3, 3) $. Одреди координате темена троугла $ A_1B_1C_1 $ ако је овај троугао слика троугла $ ABC $: а) осном симетријом у односу на $ x $-осу; б) централном симетријом у односу на координатни почетак $ O $; в) транслаци...

Accepted Answer

Дате тачке$ A(1,\ 2) $, $ B(4,\ 1) $, $ C(3,\ 3) $. Тражимо слику троугла $ ABC $ при четири изометријске трансформације.а) Осна симетрија у односу на $ x $-осуСлика тачке при осној симетрији лежи на нормали из те тачке на осу, са друге стране осе и на истом растојању. Нормала на $ x $-осу је вертикална права, па се апсциса не мења, а ордината мења знак:$$ (x,\ y) \ \longrightarrow\ (x,\ -y). $$Дакле:$$ A_1(1,\ -2), \qquad B_1(4,\ -1), \qquad C_1(3,\ -3). $$б) Централна симетрија у о...

V.3. Ротација

Изабери решење задатка:

а) Дуж \( PQ \) и њено средиште \( O \)

б) Ротација дужи \( PQ \) око \( O \) за \( 30^\circ \) у позитивном смеру

в) Зашто је четвороугао \( PP_1QQ_1 \) правоугаоник

Други начин (преко круга)

Напомена

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста