V.4. Обим Круга

Идеја

Круг описан око многоугла пролази кроз све његове темена. Зато у сваком случају прво одређујемо полупречник \( R \) (или пречник \( 2R \)) описаног круга, а тек онда рачунамо \( O = 2R\pi \).

а) Квадрат странице \( a = 7\ \text{cm} \)

Центар описаног круга квадрата је пресек његових дијагонала, па је дијагонала квадрата пречник описаног круга. Дијагоналу рачунамо Питагорином теоремом: \[ d^2 = a^2 + a^2 = 7^2 + 7^2 = 49 + 49 = 98, \] \[ d = \sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\ \text{cm}. \] Обим описаног круга је \[ O = d\pi = 7\sqrt{2}\,\pi\ \text{cm}. \] Приближно, за \( \sqrt{2} \approx 1{,}414 \) и \( \pi \approx 3{,}14 \): \[ O \approx 7 \cdot 1{,}414 \cdot 3{,}14 = 9{,}898 \cdot 3{,}14 \approx 31{,}08\ \text{cm}. \]

б) Правоугаоник страница \( 8\ \text{cm} \) и \( 15\ \text{cm} \)

И код правоугаоника се дијагонале полове, па је дијагонала пречник описаног круга. \[ d^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289, \qquad d = \sqrt{289} = 17\ \text{cm}. \] \[ O = d\pi = 17\pi\ \text{cm} \approx 17 \cdot 3{,}14 = 53{,}38\ \text{cm}. \]

в) Једнакостранични троугао странице \( a = 3\ \text{cm} \)

Код једнакостраничног троугла центар описаног круга лежи на висини \( h \). Висину рачунамо Питагорином теоремом: \[ h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4}, \qquad h = \frac{a\sqrt{3}}{2}. \] Означимо са \( R \) полупречник описаног круга. Центар је на висини, на растојању \( R \) од темена, а на растојању \( h - R \) од средишта основице. Из правоуглог троугла који чине половина основице, дуж \( h - R \) и полупречник \( R \) следи: \[ R^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + (h - R)^2 = \frac{a^2}{4} + h^2 - 2hR + R^2. \] Скраћивањем \( R^2 \) и заменом \( h^2 = \dfrac{3a^2}{4} \) добијамо: \[ 0 = \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2hR, \qquad 2hR = a^2, \qquad R = \frac{a^2}{2h} = \frac{a^2}{a\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}. \] За \( a = 3\ \text{cm} \): \[ R = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}\ \text{cm}. \] \[ O = 2R\pi = 2\sqrt{3}\,\pi\ \text{cm} \approx 2 \cdot 1{,}732 \cdot 3{,}14 = 3{,}464 \cdot 3{,}14 \approx 10{,}88\ \text{cm}. \]

Провера резултата

Под а) дијагонала \( 7\sqrt{2} \approx 9{,}9\ \text{cm} \) заиста је већа од странице \( 7\ \text{cm} \), а мања од \( 14\ \text{cm} \). Под б) уочавамо Питагорину тројку \( 8,\ 15,\ 17 \): \( 64 + 225 = 289 \). Под в) полупречник \( R = \sqrt{3} \approx 1{,}73\ \text{cm} \) већи је од полупречника уписаног круга \( \dfrac{a\sqrt{3}}{6} \approx 0{,}87\ \text{cm} \) и мањи од странице \( 3\ \text{cm} \), што је у складу са цртежом.

а) \( d = 7\sqrt{2} \Rightarrow O = 7\sqrt{2}\,\pi \approx 31{,}08\ \text{cm} \); б) \( d = 17 \Rightarrow O = 17\pi \approx 53{,}38\ \text{cm} \); в) \( R = \sqrt{3} \Rightarrow O = 2\sqrt{3}\,\pi \approx 10{,}88\ \text{cm} \).