Најважније из лекције
- Једначина \( x^2 = a \) (за \( a > 0 \)) има два решења у скупу целих и рационалних бројева: једно позитивно и једно негативно.
- Ако је \( a < 0 \), једначина нема решења.
- При примени у геометрији (дужина странице или дијагонале), задржавамо само позитивно решење јер дужина не може бити негативна.
- Код сложенијих израза \( (x+k)^2 = a \), израз у загради изједначавамо са позитивним и негативним бројем чији је квадрат \( a \), па затим решавамо линеарне једначине.
Решити једначину \( x^2 = a \) значи одредити све бројеве \( x \) чији је квадрат једнак датом броју \( a \).
Број решења једначине зависи од вредности броја \( a \):
- Ако је \( a > 0 \), једначина има два решења (једно позитивно и једно негативно).
- Ако је \( a = 0 \), једначина има једно решење (\( x = 0 \)).
- Ако је \( a < 0 \), једначина нема решења (јер квадрат ниједног броја не може бити негативан).
За једначину \( x^2 = 25 \), решења су \( x = 5 \) или \( x = -5 \), јер је \( 5^2 = 25 \) и \( (-5)^2 = 25 \).
При решавању једначине веома је битно у ком скупу бројева се она решава. Нека решења која постоје у скупу целих или рационалних бројева, не морају постојати у скупу природних бројева.
- Скуп природних бројева (\( \mathbb{N} \)): Прихватају се само позитивни цели бројеви. Пример: \( x^2 = 4 \) у \( \mathbb{N} \) има само једно решење, \( x = 2 \).
- Скуп целих бројева (\( \mathbb{Z} \)): Прихватају се и позитивни и негативни цели бројеви. Пример: \( x^2 = 4 \) у \( \mathbb{Z} \) има два решења, \( x = 2 \) или \( x = -2 \).
- Скуп рационалних бројева (\( \mathbb{Q} \)): Обухвата разломке и децималне бројеве. Пример: \( x^2 = \frac{1}{9} \) у \( \mathbb{Q} \) има решења \( x = \frac{1}{3} \) или \( x = -\frac{1}{3} \).
Реши једначину \( x^2 = 1,44 \) у скупу рационалних бројева \( \mathbb{Q} \).
Тражимо број који помножен самим собом даје \( 1,44 \). То је број \( 1,2 \).
Дакле, \( x^2 = 1,2^2 \) или \( x^2 = (-1,2)^2 \).
Одговор: \( x = 1,2 \) или \( x = -1,2 \).
Дакле, \( x^2 = 1,2^2 \) или \( x^2 = (-1,2)^2 \).
Одговор: \( x = 1,2 \) или \( x = -1,2 \).
Једначина \( x^2 = a \) се често користи за израчунавање дужине странице или дијагонале квадрата када је позната његова површина.
Површина квадрата чија је страница \( a \):
\[ P = a^2 \]
Површина квадрата чија је дијагонала \( d \):
\[ P = \frac{d^2}{2} \]
Пошто дужина странице или дијагонале геометријске слике не може бити негативан број, при решавању оваквих задатака увек се узима само позитивно решење једначине.
Површина квадрата је \( 169 \). Колика је дужина странице тог квадрата?
Нека је \( a \) дужина странице. Тада важи:
\[ a^2 = 169 \]
Решења ове једначине су \( a = 13 \) или \( a = -13 \).
Пошто дужина странице не може бити негативна, одбацујемо \( -13 \).
Одговор: Дужина странице квадрата је \( 13 \).
Одговор: Дужина странице квадрата је \( 13 \).
Израз у загради третирамо као једну непознату. Проналазимо бројеве чији квадрат даје резултат на десној страни.
Постављамо две нове линеарне једначине (за позитивну и негативну вредност).
Решавамо сваку од добијених једначина засебно како бисмо добили вредности за \( x \).
Пример: \( (x - 2)^2 = 25 \)
Знамо да је \( 5^2 = 25 \) и \( (-5)^2 = 25 \), па важи:
\( x - 2 = 5 \) или \( x - 2 = -5 \)
\( x = 5 + 2 \) или \( x = -5 + 2 \)
\( x = 7 \) или \( x = -3 \)
Знамо да је \( 5^2 = 25 \) и \( (-5)^2 = 25 \), па важи:
\( x - 2 = 5 \) или \( x - 2 = -5 \)
\( x = 5 + 2 \) или \( x = -5 + 2 \)
\( x = 7 \) или \( x = -3 \)
Задаци за вежбање
Лак: Реши једначину \( x^2 = \frac{49}{64} \) у скупу \( \mathbb{Q} \).
Тражимо број чији је квадрат \( \frac{49}{64} \). Знамо да је \( 7^2 = 49 \) и \( 8^2 = 64 \).
Дакле, \( x^2 = \left(\frac{7}{8}\right)^2 \) или \( x^2 = \left(-\frac{7}{8}\right)^2 \).
Одговор: \( x = \frac{7}{8} \) или \( x = -\frac{7}{8} \).
Дакле, \( x^2 = \left(\frac{7}{8}\right)^2 \) или \( x^2 = \left(-\frac{7}{8}\right)^2 \).
Одговор: \( x = \frac{7}{8} \) или \( x = -\frac{7}{8} \).
Средњи: Површина квадрата је \( 8 \text{ cm}^2 \). Колика је дужина дијагонале тог квадрата?
Користимо формулу за површину квадрата преко дијагонале: \( P = \frac{d^2}{2} \).
\( \frac{d^2}{2} = 8 \)
\( d^2 = 8 \cdot 2 \)
\( d^2 = 16 \)
Решења су \( d = 4 \) или \( d = -4 \). Пошто дијагонала не може бити негативна, одбацујемо негативно решење.
Одговор: Дужина дијагонале је \( 4 \text{ cm} \).
\( \frac{d^2}{2} = 8 \)
\( d^2 = 8 \cdot 2 \)
\( d^2 = 16 \)
Решења су \( d = 4 \) или \( d = -4 \). Пошто дијагонала не може бити негативна, одбацујемо негативно решење.
Одговор: Дужина дијагонале је \( 4 \text{ cm} \).
Тежак: Реши једначину: \( 3 \cdot (1 - 2x)^2 = 27 \)
Прво делимо целу једначину са 3:
\( (1 - 2x)^2 = 9 \)
Ово значи да је:
\( 1 - 2x = 3 \) или \( 1 - 2x = -3 \)
Решавамо прву: \( -2x = 3 - 1 \Rightarrow -2x = 2 \Rightarrow x = -1 \)
Решавамо другу: \( -2x = -3 - 1 \Rightarrow -2x = -4 \Rightarrow x = 2 \)
Одговор: \( x = -1 \) или \( x = 2 \).
\( (1 - 2x)^2 = 9 \)
Ово значи да је:
\( 1 - 2x = 3 \) или \( 1 - 2x = -3 \)
Решавамо прву: \( -2x = 3 - 1 \Rightarrow -2x = 2 \Rightarrow x = -1 \)
Решавамо другу: \( -2x = -3 - 1 \Rightarrow -2x = -4 \Rightarrow x = 2 \)
Одговор: \( x = -1 \) или \( x = 2 \).
