Најважније из лекције
Продужена пропорција представља једнакост три или више размера: \( a_1 : a_2 : a_3 = b_1 : b_2 : b_3 \).
Да бисте спојили две различите пропорције у једну продужену, користите НЗС (Најмањи заједнички садржалац) како бисте изједначили имениоце испод члана који им је заједнички.
Већина задатака у којима се спомиње однос више величина (збир бројева, углови геометријских фигура, подела новца) најлакше се решава увођењем коефицијента пропорционалности \( k \) (нпр. \( a = 2k, b = 3k, c = 5k \)).
Да бисте спојили две различите пропорције у једну продужену, користите НЗС (Најмањи заједнички садржалац) како бисте изједначили имениоце испод члана који им је заједнички.
Већина задатака у којима се спомиње однос више величина (збир бројева, углови геометријских фигура, подела новца) најлакше се решава увођењем коефицијента пропорционалности \( k \) (нпр. \( a = 2k, b = 3k, c = 5k \)).
Размера (однос) двеју величина \( a \) и \( b \) (\( b \neq 0 \)) јесте њихов количник, који се записује као \( a : b \) или \( \frac{a}{b} \).
Пропорција је једнакост двеју размера, на пример: \( a : b = c : d \).
Основна својства пропорције:
- Производ спољашњих чланова једнак је производу унутрашњих чланова: \( a \cdot d = b \cdot c \).
- Ако унутрашњи чланови замене места (\( a : c = b : d \)), једнакост размера и даље важи (што се може записати и као \( \frac{a}{c} = \frac{b}{d} \)).
- Ако спољашњи чланови замене места (\( d : b = c : a \)), једнакост размера и даље важи.
Продужена пропорција је једнакост више од две размере.
Ако су размере једнаке, односно важи:
\[ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} \] Онда се та продужена пропорција може записати у облику:
\[ a_1 : a_2 : a_3 = b_1 : b_2 : b_3 \]
\[ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} \] Онда се та продужена пропорција може записати у облику:
\[ a_1 : a_2 : a_3 = b_1 : b_2 : b_3 \]
Две тачке ( : ) у запису продужене пропорције служе само да раздвоје величине. Оне у овом случају не означавају директно математичку операцију дељења три или више бројева.
Често је потребно од две одвојене пропорције, које имају један заједнички члан, направити једну продужену пропорцију.
Заменом унутрашњих чланова запиши пропорције у облику разломака (нпр. \( \frac{a}{\dots} = \frac{b}{\dots} \)).
Пронађи Најмањи заједнички садржалац (НЗС) за имениоце који се налазе испод заједничког члана у обе једнакости.
Прошири разломке одговарајућим бројевима тако да заједнички члан добије исти именилац у обе једнакости, а затим их повежи у продужену пропорцију.
Пример: Одреди \( a : b : c \) ако је \( a : b = 5 : 7 \) и \( b : c = 3 : 2 \).
1. Из прве пропорције добијамо \( \frac{a}{5} = \frac{b}{7} \). Из друге добијамо \( \frac{b}{3} = \frac{c}{2} \). Заједнички члан је \( b \).
2. Имениоци испод \( b \) су 7 и 3. Њихов НЗС је 21.
3. Проширујемо прву једнакост бројем 3: \( \frac{a}{15} = \frac{b}{21} \).
Проширујемо другу једнакост бројем 7: \( \frac{b}{21} = \frac{c}{14} \).
Сада можемо да их спојимо: \( \frac{a}{15} = \frac{b}{21} = \frac{c}{14} \), што значи да је \( a : b : c = 15 : 21 : 14 \).
1. Из прве пропорције добијамо \( \frac{a}{5} = \frac{b}{7} \). Из друге добијамо \( \frac{b}{3} = \frac{c}{2} \). Заједнички члан је \( b \).
2. Имениоци испод \( b \) су 7 и 3. Њихов НЗС је 21.
3. Проширујемо прву једнакост бројем 3: \( \frac{a}{15} = \frac{b}{21} \).
Проширујемо другу једнакост бројем 7: \( \frac{b}{21} = \frac{c}{14} \).
Сада можемо да их спојимо: \( \frac{a}{15} = \frac{b}{21} = \frac{c}{14} \), што значи да је \( a : b : c = 15 : 21 : 14 \).
Када је познат однос више величина и њихов збир (или разлика), задатак се најлакше решава увођењем помоћног коефицијента пропорционалности \( k \).
Из продужене пропорције \( a : b : c = x : y : z \), односно \( \frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z} = k \), следи да је:
\[ a = x \cdot k, \quad b = y \cdot k, \quad c = z \cdot k \]
\[ a = x \cdot k, \quad b = y \cdot k, \quad c = z \cdot k \]
Пример: Одреди три броја чији је збир 150, а однос међу њима је \( 15 : 21 : 14 \).
Постављамо једначине преко коефицијента \( k \): \( a = 15k, b = 21k, c = 14k \).
Како је збир 150, важи: \( 15k + 21k + 14k = 150 \).
Решавамо једначину: \( 50k = 150 \implies k = 3 \).
Сада рачунамо бројеве: \( a = 15 \cdot 3 = 45 \), \( b = 21 \cdot 3 = 63 \), \( c = 14 \cdot 3 = 42 \).
Постављамо једначине преко коефицијента \( k \): \( a = 15k, b = 21k, c = 14k \).
Како је збир 150, важи: \( 15k + 21k + 14k = 150 \).
Решавамо једначину: \( 50k = 150 \implies k = 3 \).
Сада рачунамо бројеве: \( a = 15 \cdot 3 = 45 \), \( b = 21 \cdot 3 = 63 \), \( c = 14 \cdot 3 = 42 \).
Задаци за вежбање
Лак: Одреди \( x : y : z \) ако је \( x : y = 4 : 5 \) и \( y : z = 5 : 8 \).
Како је заједнички члан \( y \) у обе пропорције већ представљен истим бројем (5), нема потребе за тражењем НЗС-а и проширивањем разломака. Можемо их директно спојити.
Из \( x : y = 4 : 5 \) следи \( \frac{x}{4} = \frac{y}{5} \).
Из \( y : z = 5 : 8 \) следи \( \frac{y}{5} = \frac{z}{8} \).
Отуда је \( \frac{x}{4} = \frac{y}{5} = \frac{z}{8} \).
Одговор: \( x : y : z = 4 : 5 : 8 \).
Из \( x : y = 4 : 5 \) следи \( \frac{x}{4} = \frac{y}{5} \).
Из \( y : z = 5 : 8 \) следи \( \frac{y}{5} = \frac{z}{8} \).
Отуда је \( \frac{x}{4} = \frac{y}{5} = \frac{z}{8} \).
Одговор: \( x : y : z = 4 : 5 : 8 \).
Средњи: Однос унутрашњих углова неког троугла је \( \alpha : \beta : \gamma = 2 : 3 : 4 \). Колике су мере тих углова?
Знамо да је збир унутрашњих углова троугла \( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \).
Из продужене пропорције уводимо коефицијент \( k \):
\( \alpha = 2k, \beta = 3k, \gamma = 4k \).
Замењујемо у збир: \( 2k + 3k + 4k = 180^\circ \)
\( 9k = 180^\circ \implies k = 20^\circ \).
Рачунамо углове:
\( \alpha = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ \)
\( \beta = 3 \cdot 20^\circ = 60^\circ \)
\( \gamma = 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ \)
Одговор: Углови троугла су \( 40^\circ, 60^\circ \) и \( 80^\circ \).
Из продужене пропорције уводимо коефицијент \( k \):
\( \alpha = 2k, \beta = 3k, \gamma = 4k \).
Замењујемо у збир: \( 2k + 3k + 4k = 180^\circ \)
\( 9k = 180^\circ \implies k = 20^\circ \).
Рачунамо углове:
\( \alpha = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ \)
\( \beta = 3 \cdot 20^\circ = 60^\circ \)
\( \gamma = 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ \)
Одговор: Углови троугла су \( 40^\circ, 60^\circ \) и \( 80^\circ \).
Тежак: Одреди три броја \( A, B \) и \( C \) чији је збир 124, ако је познато да важе пропорције \( A : B = 3 : 4 \) и \( B : C = 6 : 5 \).
Прво формирамо продужену пропорцију. Записујемо пропорције у облику разломака:
\( \frac{A}{3} = \frac{B}{4} \) и \( \frac{B}{6} = \frac{C}{5} \).
Заједнички члан је \( B \). Имениоци су 4 и 6, а њихов НЗС је 12.
Проширујемо прву једнакост са 3: \( \frac{A}{9} = \frac{B}{12} \).
Проширујемо другу једнакост са 2: \( \frac{B}{12} = \frac{C}{10} \).
Спајамо их у продужену пропорцију: \( \frac{A}{9} = \frac{B}{12} = \frac{C}{10} = k \).
Следи да је \( A = 9k, B = 12k, C = 10k \).
Како је збир 124: \( 9k + 12k + 10k = 124 \implies 31k = 124 \implies k = 4 \).
Рачунамо бројеве: \( A = 9 \cdot 4 = 36 \), \( B = 12 \cdot 4 = 48 \), \( C = 10 \cdot 4 = 40 \).
Одговор: Бројеви су 36, 48 и 40.
\( \frac{A}{3} = \frac{B}{4} \) и \( \frac{B}{6} = \frac{C}{5} \).
Заједнички члан је \( B \). Имениоци су 4 и 6, а њихов НЗС је 12.
Проширујемо прву једнакост са 3: \( \frac{A}{9} = \frac{B}{12} \).
Проширујемо другу једнакост са 2: \( \frac{B}{12} = \frac{C}{10} \).
Спајамо их у продужену пропорцију: \( \frac{A}{9} = \frac{B}{12} = \frac{C}{10} = k \).
Следи да је \( A = 9k, B = 12k, C = 10k \).
Како је збир 124: \( 9k + 12k + 10k = 124 \implies 31k = 124 \implies k = 4 \).
Рачунамо бројеве: \( A = 9 \cdot 4 = 36 \), \( B = 12 \cdot 4 = 48 \), \( C = 10 \cdot 4 = 40 \).
Одговор: Бројеви су 36, 48 и 40.
