Најважније из лекције
Кључни закључци:
- Квадрат: \( a^2 \ge 0 \), \( (-a)^2 = a^2 \), \( (ab)^2 = a^2b^2 \), \( (a/b)^2 = a^2/b^2 \).
- Једначина \( x^2 = a \): За \( a > 0 \) има два решења \( x = \pm\sqrt{a} \); за \( a = 0 \) решење је \( 0 \); за \( a < 0 \) нема реалних решења.
- Реални бројеви: \( \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} \). Рационални имају периодичан или коначан децимални запис, а ирационални бесконачан непериодичан запис.
- Квадратни корен: \( \sqrt{a} \ge 0 \), \( (\sqrt{a})^2 = a \) (за \( a \ge 0 \)), а \( \sqrt{a^2} = |a| \) (за свако \( a \in \mathbb{R} \)).
- Правила кореновања: \( \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a}\sqrt{b} \), \( \sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b} \), делимично кореновање (\( \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)) и рационалисање (\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)).
- Директна пропорционалност: \( y = kx \) (\( k \neq 0 \)) представља праву кроз координатни почетак (I и III квадрант за \( k > 0 \); II и IV квадрант за \( k < 0 \)).
- Продужена пропорција: \( a : b : c = p : q : r \iff a = pk, b = qk, c = rk \).
Квадрат броја \( a \) јесте производ \( a \cdot a \), који се означава са \( a^2 \) (чита се: „\( a \) на квадрат”).
\[ a^2 = a \cdot a \]
\[ 0^2 = 0 \]
\[ a^2 \ge 0 \quad \text{за свако } a \in \mathbb{Q} \]
Квадрат сваког броја различитог од нуле је позитиван број. Не постоји рационалан број чији је квадрат негативан.
Квадрати супротних бројева: За сваки број \( a \) важи \( (-a)^2 = a^2 \).
Пази на разлику: \( (-5)^2 = 25 \), док је \( -5^2 = -(5 \cdot 5) = -25 \).
Пази на разлику: \( (-5)^2 = 25 \), док је \( -5^2 = -(5 \cdot 5) = -25 \).
\[ (a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2 \quad \text{(квадрат производа)} \]
\[ \left( \frac{a}{b} \right)^2 = \frac{a^2}{b^2}, \quad b \neq 0 \quad \text{(квадрат количника)} \]
Упоређивање квадрата:
- За ненегативне бројеве (\( a, b \ge 0 \)): ако је \( a < b \), онда је \( a^2 < b^2 \).
- За непозитивне бројеве (\( a, b \le 0 \)): ако је \( a < b \), онда је \( a^2 > b^2 \).
Израчунај вредност израза: \( \left( -\frac{3}{4} \right)^2 - (-1)^2 + 0,2^2 \).
\( \left( -\frac{3}{4} \right)^2 = \frac{9}{16} \)
\( (-1)^2 = 1 \)
\( 0,2^2 = 0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} \)
\( \frac{9}{16} - 1 + \frac{1}{25} = -\frac{7}{16} + \frac{1}{25} = \frac{-175 + 16}{400} = -\frac{159}{400} \).
\( (-1)^2 = 1 \)
\( 0,2^2 = 0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} \)
\( \frac{9}{16} - 1 + \frac{1}{25} = -\frac{7}{16} + \frac{1}{25} = \frac{-175 + 16}{400} = -\frac{159}{400} \).
Решити једначину \( x^2 = a \) значи наћи све бројеве \( x \) чији је квадрат једнак \( a \). Број решења зависи од вредности броја \( a \):
| Вредност \( a \) | Број решења у \( \mathbb{R} \) | Решења |
|---|---|---|
| \( a > 0 \) | Два супротна решења | \( x = \sqrt{a} \) или \( x = -\sqrt{a} \) |
| \( a = 0 \) | Једно решење | \( x = 0 \) |
| \( a < 0 \) | Нема решења | \( \varnothing \) |
Решавање сложеније једначине облика \( (x + k)^2 = a \):
\[ (x + 2)^2 = 25 \]
\[ x + 2 = 5 \quad \text{или} \quad x + 2 = -5 \]
\[ x = 3 \quad \text{или} \quad x = -7 \]
Геометријска примена: Површина квадрата странице \( a \) је \( P = a^2 \), а преко дијагонале \( d \) је \( P = \frac{d^2}{2} \). Пошто је дужина увек позитивна, за геометријске величине узима се само позитивно решење: \( a = \sqrt{P} \).
Реши једначину у скупу \( \mathbb{R} \): \( 3x^2 - 75 = 0 \).
\( 3x^2 = 75 \)
\( x^2 = 25 \)
\( x = 5 \) или \( x = -5 \).
\( x^2 = 25 \)
\( x = 5 \) или \( x = -5 \).
Ирационалан број (\(\mathbb{I}\)) је реалан број који се не може представити у облику разломка \( \frac{a}{b} \) (\( a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0 \)). Њихов децимални запис је бесконачан и непериодичан (нпр. \( \sqrt{2} \approx 1,414213... \)).
Рационалан број (\(\mathbb{Q}\)) има коначан или бесконачан периодичан децимални запис (нпр. \( \frac{2}{3} = 0,(6) \)).
\[ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}, \quad \mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \varnothing \]
Бројевна права: Сваком реалном броју одговара тачно једна тачка бројевне праве и свакој тачки бројевне праве одговара тачно један реалан број.
Апсолутна вредност реалног броја \( a \):
\[ |a| = \begin{cases} a, & a > 0 \\ 0, & a = 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases} \]
Апсолутна грешка приближног броја \( r' \): \( \Delta = |r - r'| \), где је \( r \) тачна вредност броја.
Квадратни корен ненегативног реалног броја \( a \) (\( a \ge 0 \)) је ненегативно решење једначине \( x^2 = a \) и означава се са \( \sqrt{a} \).
\[ \sqrt{a} \ge 0 \quad (\text{за } a \ge 0) \]
\[ (\sqrt{a})^2 = a \quad (\text{за } a \ge 0) \]
\[ \sqrt{a^2} = |a| \quad (\text{за свако } a \in \mathbb{R}) \]
Примена својства \( \sqrt{a^2} = |a| \):
- \( \sqrt{(-7)^2} = |-7| = 7 \)
- \( \sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} = |1 - \sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1 \) (јер је \( 1 < \sqrt{2} \), па је \( 1 - \sqrt{2} < 0 \))
Израчунај вредност израза: \( \sqrt{3^2} + \sqrt{(-4)^2} - (\sqrt{5})^2 \).
\( \sqrt{3^2} = |3| = 3 \)
\( \sqrt{(-4)^2} = |-4| = 4 \)
\( (\sqrt{5})^2 = 5 \)
Вредност израза: \( 3 + 4 - 5 = 2 \).
\( \sqrt{(-4)^2} = |-4| = 4 \)
\( (\sqrt{5})^2 = 5 \)
Вредност израза: \( 3 + 4 - 5 = 2 \).
\[ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \quad (a \ge 0, b \ge 0) \]
\[ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \quad (a \ge 0, b > 0) \]
Поткорена величина се растави на чиниоце тако да један од њих буде потпун квадрат:
\[ \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{5} \]
Уклањање корена из имениоца проширивањем разломка:
\[ \frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b} \quad (b > 0) \]
Пример: \( \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \).
Корени са истом поткореном величином сабирају се као слични мономи:
\[ 7\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = (7 - 3)\sqrt{5} = 4\sqrt{5} \]
Упрости израз: \( \sqrt{18} + \sqrt{50} - \sqrt{8} \).
Делимично коренујемо сваки сабирак:
\( \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \)
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \)
\( \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \)
\( 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = (3 + 5 - 2)\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \).
\( \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \)
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \)
\( \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \)
\( 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = (3 + 5 - 2)\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \).
Функција директне пропорционалности је функција задата формулом:
\[ y = k \cdot x \quad (k \neq 0, k \in \mathbb{R}) \]
\( k \) представља коефицијент директне пропорционалности.
Својства графика:
- График је права линија која обавезно садржи координатни почетак \( (0,0) \).
- Ако је \( k > 0 \), график пролази кроз I и III квадрант.
- Ако је \( k < 0 \), график пролази кроз II и IV квадрант.
Одреди коефицијент директне пропорционалности \( k \) ако тачка \( A(3, -12) \) припада графику функције \( y = kx \).
Уврштавамо координате тачке \( A(x, y) = (3, -12) \) у једначину:
\[ -12 = k \cdot 3 \implies k = \frac{-12}{3} = -4 \]
Функција гласи \( y = -4x \).
Продужена пропорција једнакост је три или више размера:
\[ a : b : c = p : q : r \iff \frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r} = k \]
\[ a = p \cdot k, \quad b = q \cdot k, \quad c = r \cdot k \]
\( k \) је коефицијент пропорционалности.
Ако су дате размере са заједничким чланом, на пример \( a : b = 2 : 3 \) и \( b : c = 4 : 5 \), проширујемо их тако да заједнички члан (\( b \)) добије исту вредност помоћу \(\text{НЗС}(3, 4) = 12\):
- \( a : b = (2 \cdot 4) : (3 \cdot 4) = 8 : 12 \)
- \( b : c = (4 \cdot 3) : (5 \cdot 3) = 12 : 15 \)
- Следи: \( a : b : c = 8 : 12 : 15 \)
Број 180 подели на три дела у размери \( 2 : 3 : 4 \).
Нека су делови \( a = 2k \), \( b = 3k \), \( c = 4k \).
\[ a + b + c = 180 \]
\[ 2k + 3k + 4k = 180 \implies 9k = 180 \implies k = 20 \]
Вредности делова:
\( a = 2 \cdot 20 = 40 \)
\( b = 3 \cdot 20 = 60 \)
\( c = 4 \cdot 20 = 80 \).
\( a = 2 \cdot 20 = 40 \)
\( b = 3 \cdot 20 = 60 \)
\( c = 4 \cdot 20 = 80 \).
Задаци за вежбање
1. (Лаки ниво) Израчунај вредност израза:
\[ A = \sqrt{(-6)^2} - \sqrt{49} + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \cdot 16 \]
\( \sqrt{(-6)^2} = |-6| = 6 \)
\( \sqrt{49} = 7 \)
\( \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \)
\( A = 6 - 7 + \frac{1}{4} \cdot 16 = -1 + 4 = 3 \).
Одговор: \( A = 3 \).
\( \sqrt{49} = 7 \)
\( \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \)
\( A = 6 - 7 + \frac{1}{4} \cdot 16 = -1 + 4 = 3 \).
Одговор: \( A = 3 \).
2. (Средњи ниво) Скрати и упрости израз:
\[ B = 3\sqrt{12} - 2\sqrt{27} + \frac{15}{\sqrt{3}} \]
Делимично коренујемо и рационалишемо именилац:
\( 3\sqrt{12} = 3\sqrt{4 \cdot 3} = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \)
\( 2\sqrt{27} = 2\sqrt{9 \cdot 3} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \)
\( \frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3} \)
Сада уврштавамо у израз: \[ B = 6\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \] Одговор: \( B = 5\sqrt{3} \).
\( 3\sqrt{12} = 3\sqrt{4 \cdot 3} = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \)
\( 2\sqrt{27} = 2\sqrt{9 \cdot 3} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \)
\( \frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3} \)
Сада уврштавамо у израз: \[ B = 6\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \] Одговор: \( B = 5\sqrt{3} \).
3. (Средњи ниво) Реши једначину у скупу реалних бројева:
\[ (2x - 3)^2 = 49 \]
Једначина има два случаја:
1) \( 2x - 3 = 7 \implies 2x = 10 \implies x = 5 \)
2) \( 2x - 3 = -7 \implies 2x = -4 \implies x = -2 \)
Одговор: Решења су \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = -2 \).
1) \( 2x - 3 = 7 \implies 2x = 10 \implies x = 5 \)
2) \( 2x - 3 = -7 \implies 2x = -4 \implies x = -2 \)
Одговор: Решења су \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = -2 \).
4. (Тежи ниво) Унутрашњи углови троугла односе се као \( 3 : 4 : 5 \).
а) Одреди мере свих унутрашњих углова тог троугла.
б) Ако су углови другог троугла задати размерама \( \alpha : \beta = 1 : 2 \) и \( \beta : \gamma = 3 : 4 \), одреди његову продужену размеру углова \( \alpha : \beta : \gamma \).
а) Одреди мере свих унутрашњих углова тог троугла.
б) Ако су углови другог троугла задати размерама \( \alpha : \beta = 1 : 2 \) и \( \beta : \gamma = 3 : 4 \), одреди његову продужену размеру углова \( \alpha : \beta : \gamma \).
а) Збир углова у троуглу је \( 180^\circ \).
\( 3k + 4k + 5k = 180^\circ \implies 12k = 180^\circ \implies k = 15^\circ \).
\( \alpha = 3 \cdot 15^\circ = 45^\circ \)
\( \beta = 4 \cdot 15^\circ = 60^\circ \)
\( \gamma = 5 \cdot 15^\circ = 75^\circ \).
б) Слагање размера помоћу \(\text{НЗС}(2, 3) = 6\):
\( \alpha : \beta = 1 : 2 = (1 \cdot 3) : (2 \cdot 3) = 3 : 6 \)
\( \beta : \gamma = 3 : 4 = (3 \cdot 2) : (4 \cdot 2) = 6 : 8 \)
Одговор: \( \alpha : \beta : \gamma = 3 : 6 : 8 \).
\( 3k + 4k + 5k = 180^\circ \implies 12k = 180^\circ \implies k = 15^\circ \).
\( \alpha = 3 \cdot 15^\circ = 45^\circ \)
\( \beta = 4 \cdot 15^\circ = 60^\circ \)
\( \gamma = 5 \cdot 15^\circ = 75^\circ \).
б) Слагање размера помоћу \(\text{НЗС}(2, 3) = 6\):
\( \alpha : \beta = 1 : 2 = (1 \cdot 3) : (2 \cdot 3) = 3 : 6 \)
\( \beta : \gamma = 3 : 4 = (3 \cdot 2) : (4 \cdot 2) = 6 : 8 \)
Одговор: \( \alpha : \beta : \gamma = 3 : 6 : 8 \).
