Најважније из лекције
Правоугли троугао: \( c^2 = a^2 + b^2 \), \( P = \frac{a \cdot b}{2} \), \( R = \frac{c}{2} \)
Једнакокраки троугао: \( b^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h_a^2 \), \( P = \frac{a \cdot h_a}{2} \), \( O = a + 2b \)
Једнакостранични троугао: \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \), \( P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \), \( R = \frac{a\sqrt{3}}{3} \), \( r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \)
Једнакокраки трапез: \( c^2 = h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2 \), \( P = \frac{a + b}{2} \cdot h \)
Правоугли трапез: \( c^2 = h^2 + (a - b)^2 \), \( P = \frac{a + b}{2} \cdot h \)
Једнакокраки троугао: \( b^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h_a^2 \), \( P = \frac{a \cdot h_a}{2} \), \( O = a + 2b \)
Једнакостранични троугао: \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \), \( P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \), \( R = \frac{a\sqrt{3}}{3} \), \( r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \)
Једнакокраки трапез: \( c^2 = h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2 \), \( P = \frac{a + b}{2} \cdot h \)
Правоугли трапез: \( c^2 = h^2 + (a - b)^2 \), \( P = \frac{a + b}{2} \cdot h \)
Правоугли троугао је троугао који има један прав угао (\( 90^\circ \)). Странице које граде прав угао називају се катете (\( a, b \)), а страница наспрам правог угла назива се хипотенуза (\( c \)).
Питагорина теорема: Површина квадрата над хипотенузом једнака је збиру површина квадрата над катетама правоуглог троугла.
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
Израчунавање страница правоуглог троугла:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad a = \sqrt{c^2 - b^2} \qquad b = \sqrt{c^2 - a^2} \]
Обим, површина и полупречник описане кружнице:
\[ O = a + b + c \qquad P = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{c \cdot h_c}{2} \qquad R = \frac{c}{2} \]
Центар описане кружнице правоуглог троугла налази се на средини хипотенузе, па је њен полупречник \( R \) увек једнак половини хипотенузе.
Ако су катете \( a = 6\text{ cm} \) и \( b = 8\text{ cm} \):
\[ c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \implies c = \sqrt{100} = 10\text{ cm} \]
Хипотенуза правоуглог троугла је \( c = 13\text{ cm} \), а једна катета је \( a = 12\text{ cm} \). Израчунај другу катету \( b \) и површину тог троугла.
\[ b^2 = c^2 - a^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25 \implies b = 5\text{ cm} \]
\[ P = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{12 \cdot 5}{2} = 30\text{ cm}^2 \]
Једнакокраки троугао има основицу \( a \), два једнака крака \( b \) и висину \( h_a \) спуштену на основицу која је полови на два једнака дела дужине \( \frac{a}{2} \).
Висина \( h_a \) дели једнакокраки троугао на два подударна правоугла троугла. Применом Питагорине теореме важи:
\[ b^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h_a^2 \]
Обим и површина једнакокраког троугла:
\[ O = a + 2b \qquad P = \frac{a \cdot h_a}{2} = \frac{b \cdot h_b}{2} \]
За основицу \( a = 16\text{ cm} \) и висину \( h_a = 15\text{ cm} \):
\[ b^2 = \left(\frac{16}{2}\right)^2 + 15^2 = 8^2 + 225 = 64 + 225 = 289 \implies b = \sqrt{289} = 17\text{ cm} \]
Основица једнакокраког троугла је \( a = 24\text{ cm} \), а крак је \( b = 13\text{ cm} \). Израчунај висину \( h_a \).
\[ h_a^2 = b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25 \implies h_a = 5\text{ cm} \]
Једнакостранични троугао има све три странице једнаке дужине (\( a \)) и све унутрашње углове од по \( 60^\circ \). Висина \( h \) га дели на два правоугла троугла са угловима од \( 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ \).
Формуле за једнакостранични троугао странице \( a \):
\[ h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \qquad P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \qquad O = 3a \]
Полупречници описане и уписане кружнице:
\[ R = \frac{2}{3}h = \frac{a\sqrt{3}}{3} \qquad r = \frac{1}{3}h = \frac{a\sqrt{3}}{6} \qquad (R = 2r) \]
Правоугли троугао са угловима од \( 30^\circ \) и \( 60^\circ \):
- Катета наспрам угла од \( 30^\circ \) једнака је половини хипотенузе: \( \frac{c}{2} \)
- Катета наспрам угла од \( 60^\circ \) једнака је: \( \frac{c\sqrt{3}}{2} \)
Израчунај висину и површину једнакостраничног троугла странице \( a = 6\text{ cm} \).
\[ h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\text{ cm} \]
\[ P = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\text{ cm}^2 \]
Трапез је четвороугао са два паралелна пара страница (основице \( a \) и \( b \)) и два непаралелна крака (\( c \) и \( d \)). Дуж која спаја средишта кракова назива се средња линија (\( m \)).
Опште формуле за било који трапез:
\[ m = \frac{a + b}{2} \qquad P = \frac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h \qquad O = a + b + c + d \]
Једнакокраки трапез (\( c = d \)):
Спуштањем висина добија се правоугли троугао са катетама \( h \) и \( \frac{a - b}{2} \), и хипотенузом \( c \): \[ c^2 = h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2 \qquad O = a + b + 2c \]
Спуштањем висина добија се правоугли троугао са катетама \( h \) и \( \frac{a - b}{2} \), и хипотенузом \( c \): \[ c^2 = h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2 \qquad O = a + b + 2c \]
Правоугли трапез (\( d = h \)):
Спуштањем висине из једног темена мање основице добија се правоугли троугао са катетама \( h \) и \( (a - b) \), и хипотенузом \( c \): \[ c^2 = h^2 + (a - b)^2 \qquad O = a + b + c + h \]
Спуштањем висине из једног темена мање основице добија се правоугли троугао са катетама \( h \) и \( (a - b) \), и хипотенузом \( c \): \[ c^2 = h^2 + (a - b)^2 \qquad O = a + b + c + h \]
Основице једнакокраког трапеза су \( a = 14\text{ cm} \) и \( b = 6\text{ cm} \), а крак је \( c = 5\text{ cm} \). Израчунај висину \( h \) и површину \( P \).
Пројекција крака на већу основицу је \( x = \frac{a - b}{2} = \frac{14 - 6}{2} = 4\text{ cm} \).
Применом Питагорине теореме: \[ h^2 = c^2 - x^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9 \implies h = 3\text{ cm} \] \[ P = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{14 + 6}{2} \cdot 3 = 10 \cdot 3 = 30\text{ cm}^2 \]
Применом Питагорине теореме: \[ h^2 = c^2 - x^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9 \implies h = 3\text{ cm} \] \[ P = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{14 + 6}{2} \cdot 3 = 10 \cdot 3 = 30\text{ cm}^2 \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Катете правоуглог троугла су \( a = 9\text{ cm} \) и \( b = 12\text{ cm} \). Израчунај дужину хипотенузе \( c \) и полупречник описане кружнице \( R \).
\[ c^2 = a^2 + b^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \implies c = \sqrt{225} = 15\text{ cm} \]
\[ R = \frac{c}{2} = \frac{15}{2} = 7{,}5\text{ cm} \]
Задатак 2 (средњи): Обим једнакостраничног троугла је \( O = 24\text{ cm} \). Израчунај висину \( h \), површину \( P \) и полупречник уписане кружнице \( r \).
Страница троугла је \( a = \frac{O}{3} = \frac{24}{3} = 8\text{ cm} \).
\[ h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\text{ cm} \]
\[ P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}\text{ cm}^2 \]
\[ r = \frac{1}{3}h = \frac{4\sqrt{3}}{3}\text{ cm} \]
Задатак 3 (средњи): Основица једнакокраког троугла је \( a = 10\text{ cm} \), а површина \( P = 60\text{ cm}^2 \). Израчунај крак \( b \) и обим тог троугла.
Из формуле за површину: \( P = \frac{a \cdot h_a}{2} \implies 60 = \frac{10 \cdot h_a}{2} \implies 5 \cdot h_a = 60 \implies h_a = 12\text{ cm} \).
Применом Питагорине теореме на карактеристични правоугли троугао: \[ b^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h_a^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \implies b = 13\text{ cm} \] \[ O = a + 2b = 10 + 2 \cdot 13 = 10 + 26 = 36\text{ cm} \]
Применом Питагорине теореме на карактеристични правоугли троугао: \[ b^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h_a^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \implies b = 13\text{ cm} \] \[ O = a + 2b = 10 + 2 \cdot 13 = 10 + 26 = 36\text{ cm} \]
Задатак 4 (тежак): Правоугли трапез има основице \( a = 15\text{ cm} \) и \( b = 9\text{ cm} \), и коси крак \( c = 10\text{ cm} \). Израчунај обим и површину тог трапеза.
Катета правоуглог троугла на основици је \( a - b = 15 - 9 = 6\text{ cm} \).
Друга катета је висина \( h \), а хипотенуза је \( c = 10\text{ cm} \): \[ h^2 = c^2 - (a - b)^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64 \implies h = 8\text{ cm} \] Краћи (правоугли) крак је \( d = h = 8\text{ cm} \). \[ O = a + b + c + h = 15 + 9 + 10 + 8 = 42\text{ cm} \] \[ P = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{15 + 9}{2} \cdot 8 = 12 \cdot 8 = 96\text{ cm}^2 \]
Друга катета је висина \( h \), а хипотенуза је \( c = 10\text{ cm} \): \[ h^2 = c^2 - (a - b)^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64 \implies h = 8\text{ cm} \] Краћи (правоугли) крак је \( d = h = 8\text{ cm} \). \[ O = a + b + c + h = 15 + 9 + 10 + 8 = 42\text{ cm} \] \[ P = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{15 + 9}{2} \cdot 8 = 12 \cdot 8 = 96\text{ cm}^2 \]
