Најважније из лекције
Кључна правила степеновања степена:
- Основно правило: \( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \). Основа се преписује, а изложиоци се множе.
- Замена места изложилаца: \( (a^n)^m = (a^m)^n \).
- Степен чији је изложилац степен: \( a^{n^m} \neq (a^n)^m \). Прво се степенује изложилац.
- Решавање сложених израза: Сложене основе (нпр. 8, 9, 12, 27) раставити на просте чиниоце (2, 3, 5...), па применити правило за степеновање степена.
Степен степена је степен чија је основа једнака основи степена који се степенује, а изложилац једнак производу одговарајућих изложилаца.
За \( a \in \mathbb{R} \) и \( m, n \in \mathbb{N} \) важи:
\[ (a^n)^m = a^{n \cdot m} \]
Када степенујемо степен, основу преписујемо, а изложиоце множимо.
Ако желимо да израчунамо \( (5^2)^4 \), то можемо записати као производ:
\[ (5^2)^4 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = 5^{2+2+2+2} = 5^{4 \cdot 2} = 5^8 \]
Израчунај вредност израза \( (2^3)^4 \).
Применом правила за степеновање степена добијамо:
\( (2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12} = 4096 \).
За \( a \in \mathbb{R} \) и \( m, n \in \mathbb{N} \) важи правило замене места изложилаца:
\[ (a^n)^m = (a^m)^n \]
Уколико је изложилац такође степен, важи следеће правило:
\[ a^{n^m} = a^{(n^m)} \]
Изрази \( (a^n)^m \) и \( a^{n^m} \) нису увек једнаки! На пример: \( (2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 \), али је \( 2^{3^2} = 2^9 \).
Упоређивање степена: Нека је \( a \) реалан број и \( m, n \in \mathbb{N} \) тако да је \( m > n \). Тада важи:
- ако је основа \( a > 1 \), онда је \( a^m > a^n \)
- ако је основа \( 0 < a < 1 \), онда је \( a^m < a^n \)
Који број је већи: \( \left(\frac{1}{2}\right)^3 \) или \( \left(\frac{1}{2}\right)^5 \)?
Пошто је основа \( \frac{1}{2} \) број између 0 и 1 (\( 0 < a < 1 \)), већи је степен са мањим изложиоцем.
Дакле, \( \left(\frac{1}{2}\right)^3 > \left(\frac{1}{2}\right)^5 \).
Када се у изразу налазе сложени бројеви, корисно је прво их раставити на просте чиниоце, а затим применити правила за степеновање степена како би се израз упростио.
Израчунај \( \frac{27^4}{9^5} \).
Бројеве 27 и 9 можемо записати као степене броја 3: \( 27 = 3^3 \) и \( 9 = 3^2 \). \[ \frac{27^4}{9^5} = \frac{(3^3)^4}{(3^2)^5} = \frac{3^{12}}{3^{10}} = 3^{12-10} = 3^2 = 9 \]
Бројеве 27 и 9 можемо записати као степене броја 3: \( 27 = 3^3 \) и \( 9 = 3^2 \). \[ \frac{27^4}{9^5} = \frac{(3^3)^4}{(3^2)^5} = \frac{3^{12}}{3^{10}} = 3^{12-10} = 3^2 = 9 \]
Упрости израз: \( \frac{8^3}{4^4} \).
Запишимо основе као степене броја 2: \( 8 = 2^3 \) и \( 4 = 2^2 \).
\[ \frac{8^3}{4^4} = \frac{(2^3)^3}{(2^2)^4} = \frac{2^9}{2^8} = 2^{9-8} = 2^1 = 2 \]
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај вредности следећих израза:
а) \( ((-1)^5)^3 \)
б) \( ((\sqrt{3})^2)^3 \)
а) \( ((-1)^5)^3 \)
б) \( ((\sqrt{3})^2)^3 \)
а) \( ((-1)^5)^3 = (-1)^{5 \cdot 3} = (-1)^{15} = -1 \)
б) \( ((\sqrt{3})^2)^3 = (\sqrt{3})^{2 \cdot 3} = (\sqrt{3})^6 = 3^3 = 27 \)
б) \( ((\sqrt{3})^2)^3 = (\sqrt{3})^{2 \cdot 3} = (\sqrt{3})^6 = 3^3 = 27 \)
Средњи: Упрости израз користећи правила степеновања за \( x \in \mathbb{R}, x \neq 0 \):
\[ \frac{ (x^3)^4 \cdot (x^2)^5 }{ (x^4)^5 } \]
Прво применимо правило степеновања степена:
\[ \frac{ x^{3 \cdot 4} \cdot x^{2 \cdot 5} }{ x^{4 \cdot 5} } = \frac{ x^{12} \cdot x^{10} }{ x^{20} } \]
Затим применимо правило множења и дељења степена истих основа:
\[ \frac{ x^{12+10} }{ x^{20} } = \frac{ x^{22} }{ x^{20} } = x^{22-20} = x^2 \]
Тежак: Израчунај вредност следећег сложеног израза:
\[ \frac{12^3 \cdot 6^4}{24^3 \cdot 9^2} \]
Прво записујемо све сложене бројеве као производе простих чинилаца:
\( 12 = 2^2 \cdot 3 \), \( 6 = 2 \cdot 3 \), \( 24 = 2^3 \cdot 3 \), \( 9 = 3^2 \).
Замењујемо у израз: \[ \frac{(2^2 \cdot 3)^3 \cdot (2 \cdot 3)^4}{(2^3 \cdot 3)^3 \cdot (3^2)^2} \] Степенујемо сваки чинилац у заградама: \[ \frac{(2^2)^3 \cdot 3^3 \cdot 2^4 \cdot 3^4}{(2^3)^3 \cdot 3^3 \cdot 3^4} = \frac{2^6 \cdot 3^3 \cdot 2^4 \cdot 3^4}{2^9 \cdot 3^3 \cdot 3^4} \] Множимо степене са истим основама (сабирамо изложиоце): \[ \frac{2^{6+4} \cdot 3^{3+4}}{2^9 \cdot 3^{3+4}} = \frac{2^{10} \cdot 3^7}{2^9 \cdot 3^7} \] Делимо степене са истим основама (одузимамо изложиоце): \[ 2^{10-9} \cdot 3^{7-7} = 2^1 \cdot 3^0 = 2 \cdot 1 = 2 \]
Замењујемо у израз: \[ \frac{(2^2 \cdot 3)^3 \cdot (2 \cdot 3)^4}{(2^3 \cdot 3)^3 \cdot (3^2)^2} \] Степенујемо сваки чинилац у заградама: \[ \frac{(2^2)^3 \cdot 3^3 \cdot 2^4 \cdot 3^4}{(2^3)^3 \cdot 3^3 \cdot 3^4} = \frac{2^6 \cdot 3^3 \cdot 2^4 \cdot 3^4}{2^9 \cdot 3^3 \cdot 3^4} \] Множимо степене са истим основама (сабирамо изложиоце): \[ \frac{2^{6+4} \cdot 3^{3+4}}{2^9 \cdot 3^{3+4}} = \frac{2^{10} \cdot 3^7}{2^9 \cdot 3^7} \] Делимо степене са истим основама (одузимамо изложиоце): \[ 2^{10-9} \cdot 3^{7-7} = 2^1 \cdot 3^0 = 2 \cdot 1 = 2 \]
