Најважније из лекције
Дефиниција: \( a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n} \), уз правила \( a^1 = a \), \( 1^n = 1 \), \( 0^n = 0 \).
Знак: \( (-a)^{\text{паран}} = a^{\text{паран}} > 0 \), док је \( (-a)^{\text{непаран}} = -a^{\text{непаран}} < 0 \). Пазити на разлику: \( (-2)^4 = 16 \), а \( -2^4 = -16 \).
Исте основе:
Знак: \( (-a)^{\text{паран}} = a^{\text{паран}} > 0 \), док је \( (-a)^{\text{непаран}} = -a^{\text{непаран}} < 0 \). Пазити на разлику: \( (-2)^4 = 16 \), а \( -2^4 = -16 \).
Исте основе:
- Множење: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) (нпр. \( 3^2 \cdot 3^4 = 3^6 \))
- Дељење: \( a^m : a^n = a^{m-n} \) (нпр. \( 5^7 : 5^4 = 5^3 \))
- Множење: \( a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \) (нпр. \( 2^3 \cdot 5^3 = 10^3 = 1000 \))
- Дељење: \( a^n : b^n = (a : b)^n \) (нпр. \( 12^4 : 4^4 = 3^4 = 81 \))
За реалан број \( a \) и природан број \( n \), \( n \)-ти степен броја \( a \) представља производ у коме се број \( a \) као чинилац понавља тачно \( n \) пута.
\[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ чинилаца}} \]
\( a \) – основа (база) степена, \( n \) – изложилац (експонент) степена
Основа (база) \( a \) је број који се множи сам собом, док изложилац (експонент) \( n \) одређује колико се пута основа јавља као чинилац.
Специјални називи и вредности:
- \( a^2 \) се назива квадрат броја \( a \).
- \( a^3 \) се назива куб броја \( a \).
- За сваки реалан број \( a \): \( a^1 = a \).
- За сваки природан број \( n \): \( 1^n = 1 \) и \( 0^n = 0 \).
- \( 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 \)
- \( \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{27} \)
- \( (\sqrt{5})^2 = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5 \)
Запишите производ \( (-1,2) \cdot (-1,2) \cdot (-1,2) \) у облику степена и одредите му основу и изложилац.
Производ се записује као \( (-1,2)^3 \). Основа је \( -1,2 \), а изложилац је \( 3 \).
Приликом степеновања негативног броја важе следећа правила за знак:
- Степен негативног броја са парним изложиоцем је позитиван број: \( (-a)^{2k} > 0 \).
- Степен негативног броја са непарним изложиоцем је негативан број: \( (-a)^{2k+1} < 0 \).
Разликујте записе са заградом и без заграде:
- \( (-a)^n \) значи да је основа негативан број \( -a \) (минус се такође степенује).
- \( -a^n \) значи да је основа само број \( a \), а минус се приписује испред израчунатог степена: \( -(a^n) \).
- \( (-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16 \) (паран изложилац \(\rightarrow\) позитиван резултат)
- \( (-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 \) (непаран изложилац \(\rightarrow\) негативан резултат)
- \( -2^4 = -(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16 \)
Израчунајте: а) \( (-3)^4 \); б) \( -3^4 \); в) \( (-1)^{15} \).
а) \( (-3)^4 = 81 \) (изложилац 4 је паран);
б) \( -3^4 = -81 \) (минус остаје испред степена \( 3^4 \));
в) \( (-1)^{15} = -1 \) (изложилац 15 је непаран).
б) \( -3^4 = -81 \) (минус остаје испред степена \( 3^4 \));
в) \( (-1)^{15} = -1 \) (изложилац 15 је непаран).
- Множење: Степени једнаких основа се множе тако што се заједничка основа препише, а изложиоци саберу.
- Дељење: Степени једнаких основа се деле тако што се заједничка основа препише, а изложилац делиоца одузме од изложиоца дељеника.
\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \quad (a \in \mathbb{R}, \; m, n \in \mathbb{N}) \]
\[ a^m : a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}, \; m, n \in \mathbb{N}, \; m > n) \]
- \( 2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256 \)
- \( \frac{a^5}{a^2} = a^{5-2} = a^3 \)
- \( \frac{(-2)^7}{2^4} = \frac{-2^7}{2^4} = -2^{7-4} = -2^3 = -8 \)
- \( \frac{a^m \cdot a^k}{a^n} = a^{m+k-n} \)
Упростите израз: \( \frac{x^7 \cdot x^4}{x^8} \) за \( x \neq 0 \).
\( \frac{x^7 \cdot x^4}{x^8} = \frac{x^{7+4}}{x^8} = \frac{x^{11}}{x^8} = x^{11-8} = x^3 \).
- Множење: Степени једнаких изложилаца се множе тако што се основе помноже, а заједнички изложилац препише.
- Дељење: Степени једнаких изложилаца се деле тако што се основе поделе (или напишу у облику разломка), а заједнички изложилац препише.
\[ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \quad (a, b \in \mathbb{R}, \; n \in \mathbb{N}) \]
\[ a^n : b^n = \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n \quad (a \in \mathbb{R}, \; b \in \mathbb{R} \setminus \{0\}, \; n \in \mathbb{N}) \]
- \( 2^7 \cdot 7^7 = (2 \cdot 7)^7 = 14^7 \)
- \( (6 \cdot 7)^5 = 6^5 \cdot 7^5 \)
- \( 15^4 : 5^4 = (15 : 5)^4 = 3^4 = 81 \)
- \( \frac{18^3}{9^3} = \left(\frac{18}{9}\right)^3 = 2^3 = 8 \)
Израчунајте вредност производа: \( 4^3 \cdot 2,5^3 \).
Применом правила за множење степена једнаких изложилаца:
\[ 4^3 \cdot 2,5^3 = (4 \cdot 2,5)^3 = 10^3 = 1000 \]
Степен се степенује тако што се основа препише, а изложиоци се помноже.
\[ (a^m)^n = a^{m \cdot n} \quad (a \in \mathbb{R}, \; m, n \in \mathbb{N}) \]
- \( (5^4)^3 = 5^{4 \cdot 3} = 5^{12} \)
- \( (x^3)^5 = x^{3 \cdot 5} = x^{15} \)
- Свођење на заједничку основу: \( 4^3 = (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 \)
Упростите израз \( (y^2)^4 \cdot y^3 \).
Најпре степенујемо степен: \( (y^2)^4 = y^{2 \cdot 4} = y^8 \).
Затим помножимо степене истих основа: \( y^8 \cdot y^3 = y^{8+3} = y^{11} \).
Затим помножимо степене истих основа: \( y^8 \cdot y^3 = y^{8+3} = y^{11} \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунајте бројевну вредност израза:
\[ (-2)^4 - 3^2 + (-1)^7 \]
Израчунавамо појединачне вредности:
- \( (-2)^4 = 16 \) (паран изложилац)
- \( 3^2 = 9 \)
- \( (-1)^7 = -1 \) (непаран изложилац)
Задатак 2 (средњи): Упростите алгебарски израз користећи правила за операције са степенима (\( a \neq 0 \)):
\[ \frac{(a^4)^3 \cdot a^6}{a^{15}} \]
\( (a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12} \)
\( a^{12} \cdot a^6 = a^{12+6} = a^{18} \)
\( \frac{a^{18}}{a^{15}} = a^{18-15} = a^3 \)
Коначан резултат: \( a^3 \)
Задатак 3 (средњи): Израчунајте вредност израза коришћењем особина множења и дељења степена једнаких изложилаца:
\[ \frac{2^8 \cdot 5^8}{10^6} \]
\( 2^8 \cdot 5^8 = (2 \cdot 5)^8 = 10^8 \)
\( \frac{10^8}{10^6} = 10^{8-6} = 10^2 = 100 \)
Коначан резултат: \( 100 \)
Задатак 4 (тежак): Израчунајте вредност бројевног израза свођењем на степене са основом 2:
\[ \frac{4^5 \cdot 8^2}{16^3} \]
\( 4 = 2^2 \), \( 8 = 2^3 \), \( 16 = 2^4 \)
\( 4^5 = (2^2)^5 = 2^{10} \)
\( 8^2 = (2^3)^2 = 2^6 \)
\( 16^3 = (2^4)^3 = 2^{12} \)
\( 8^2 = (2^3)^2 = 2^6 \)
\( 16^3 = (2^4)^3 = 2^{12} \)
\[ \frac{2^{10} \cdot 2^6}{2^{12}} = \frac{2^{10+6}}{2^{12}} = \frac{2^{16}}{2^{12}} = 2^{16-12} = 2^4 = 16 \]
Коначан резултат: \( 16 \)
