Најважније из лекције
- Сређивање полинома: Слично као скупљање истих ствари на гомилу — групишу се и сабирају само слични мономи (нпр. \( 2x^2 \) са \( 5x^2 \)).
- Сабирање: Полиноми се сабирају тако што се њихови слични чланови споје у један. Може се користити и метода "потписивања".
- Супротни полиноми: Сваки знак у полиному прелази у супротан (плус у минус, минус у плус).
- Одузимање: Уместо класичног одузимања, првом полиному се додаје супротни полином другог: \( P - R = P + (-R) \).
Полином је представљен у сређеном облику ако је приказан као збир монома који нису слични. Сваки полином може се довести у сређени облик сабирањем сличних монома.
За довођење полинома у сређени облик користе се својства реалних бројева:
- Комутативност сабирања: \( a + b = b + a \)
- Асоцијативност сабирања: \( (a + b) + c = a + (b + c) \)
- Дистрибутивност множења према сабирању: \( a \cdot (b + c) = ab + ac \)
Груписање сличних монома користећи комутативност и асоцијативност.
Сабирање сличних монома користећи дистрибутивност (сабирање њихових коефицијената).
Представи полином \( P(x) = 5x^2 - 2x + 3x^2 + 1 - 6x - 4 \) у сређеном облику.
Групишемо сличне мономе:
\[ P(x) = (5x^2 + 3x^2) + (-2x - 6x) + (1 - 4) \]
Саберемо коефицијенте:
\[ P(x) = (5 + 3)x^2 + (-2 - 6)x + (-3) \]
\[ P(x) = 8x^2 - 8x - 3 \]
Збир полинома \( P \) и \( R \) јесте полином \( P + R \) који се након сабирања представља у сређеном облику.
При одређивању збира, полиноми се могу „потписати” један испод другог тако да слични мономи буду у истој колони, након чега се врши сабирање по колонама.
Одреди збир полинома \( P = -3x^2 + 2x + 1 \) и \( R = 6x - 5 \).
Хоризонтални запис: \[ P + R = (-3x^2 + 2x + 1) + (6x - 5) \] \[ = -3x^2 + (2x + 6x) + (1 - 5) \] \[ = -3x^2 + 8x - 4 \]
Вертикални запис (потписивање): \[ \begin{array}{r@{\quad}l} & -3x^2 + 2x + 1 \\ + & \phantom{-3x^2} + 6x - 5 \\ \hline & -3x^2 + 8x - 4 \end{array} \]
Хоризонтални запис: \[ P + R = (-3x^2 + 2x + 1) + (6x - 5) \] \[ = -3x^2 + (2x + 6x) + (1 - 5) \] \[ = -3x^2 + 8x - 4 \]
Вертикални запис (потписивање): \[ \begin{array}{r@{\quad}l} & -3x^2 + 2x + 1 \\ + & \phantom{-3x^2} + 6x - 5 \\ \hline & -3x^2 + 8x - 4 \end{array} \]
Полином супротан полиному \( P \) означава се са \( -P \) и представља полином чији су чланови супротни мономи одговарајућих чланова полинома \( P \).
Збир супротних полинома је увек једнак нули:
\[ P + (-P) = 0 \]
Ако је \( P = -x^2 + 2x - 1 \), његов супротни полином се добија променом знака сваког члана:
\[ -P = x^2 - 2x + 1 \]
Одреди полином супротан полиному \( A = 4x^3 - 7x + 2 \).
Мењамо знак сваком моному у полиному \( A \):
\[ -A = -4x^3 + 7x - 2 \]
Разлика полинома \( P \) и \( R \) јесте збир полинома \( P \) и полинома супротног полиному \( R \). Одузимање се практично своди на сабирање.
\[ P - R = P + (-R) \]
Одреди супротни полином умањиоца (полинома који се одузима).
Сабери први полином са добијеним супротним полиномом.
Одреди разлику полинома \( P = -3x^2 + 2x + 1 \) и \( R = 6x - 5 \).
Прво налазимо \( -R = -6x + 5 \). Затим сабирамо: \[ P - R = P + (-R) = (-3x^2 + 2x + 1) + (-6x + 5) \] \[ = -3x^2 + (2x - 6x) + (1 + 5) \] \[ = -3x^2 - 4x + 6 \]
Прво налазимо \( -R = -6x + 5 \). Затим сабирамо: \[ P - R = P + (-R) = (-3x^2 + 2x + 1) + (-6x + 5) \] \[ = -3x^2 + (2x - 6x) + (1 + 5) \] \[ = -3x^2 - 4x + 6 \]
Задаци за вежбање
Лаки ниво: Дат је полином \( P = -5a + 3 \). Одреди њему супротан полином \( -P \).
Супротан полином се добија променом знака сваког члана.
\[ -P = 5a - 3 \]
Средњи ниво: Одреди збир полинома \( A = 2x^2 - 5x + 4 \) и \( B = -x^2 + 5x - 7 \) и представи га у сређеном облику.
\[ A + B = (2x^2 - 5x + 4) + (-x^2 + 5x - 7) \]
Групишемо сличне мономе:
\[ = (2x^2 - x^2) + (-5x + 5x) + (4 - 7) \]
\[ = x^2 + 0x - 3 \]
\[ = x^2 - 3 \]
Тежи ниво: Израчунај разлику полинома \( M = 4y^3 - 2y^2 + y - 1 \) и \( N = y^3 + 3y^2 - 2y + 5 \).
Користимо правило \( M - N = M + (-N) \).
Прво одређујемо \( -N \):
\[ -N = -y^3 - 3y^2 + 2y - 5 \]
Сада сабирамо:
\[ M - N = (4y^3 - 2y^2 + y - 1) + (-y^3 - 3y^2 + 2y - 5) \]
\[ = (4y^3 - y^3) + (-2y^2 - 3y^2) + (y + 2y) + (-1 - 5) \]
\[ = 3y^3 - 5y^2 + 3y - 6 \]
