Најважније из лекције
Операције са степенима: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \), \( a^m : a^n = a^{m-n} \), \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \), \( (ab)^n = a^n b^n \), \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \), \( a^0 = 1 \), \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \).
Формуле за скраћено множење:
Једначине: \( A \cdot B = 0 \iff A = 0 \lor B = 0 \). Једначина се решава пребацивањем на једну страну, факторизацијом и решавањем појединачних линеарних фактора.
Формуле за скраћено множење:
- Квадрат збира / разлике: \( (A \pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2 \)
- Разлика квадрата: \( A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \)
Једначине: \( A \cdot B = 0 \iff A = 0 \lor B = 0 \). Једначина се решава пребацивањем на једну страну, факторизацијом и решавањем појединачних линеарних фактора.
\( n \)-ти степен реалног броја \( a \) јесте производ у коме се број \( a \) појављује као чинилац \( n \) пута (\( n \in \mathbb{N} \)).
\[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ чинилаца}} \]
\( a \) је основа (база), а \( n \) је изложилац (експонент) степена.
Посебни случајеви и предзнак:
- \( a^1 = a \), \( 1^n = 1 \), \( 0^n = 0 \) (\( n \in \mathbb{N} \)).
- Степен чији је изложилац 0: \( a^0 = 1 \) (\( a \neq 0 \)), посебно \( 10^0 = 1 \).
- Степен са негативним целим изложиоцем: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \), односно \( 10^{-n} = \frac{1}{10^n} \).
- Негативна основа са парним изложиоцем даје позитиван број: \( (-a)^{2k} > 0 \).
- Негативна основа са непарним изложиоцем даје негативан број: \( (-a)^{2k+1} < 0 \).
Разликовати записе: \( (-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 81 \), док је \( -3^4 = -(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) = -81 \).
Стандардни (научни) запис позитивног броја јесте облик \( a \cdot 10^p \), где је \( 1 \le a < 10 \) и \( p \in \mathbb{Z} \). На пример: \( 25\,000 = 2,5 \cdot 10^4 \), \( 0,0034 = 3,4 \cdot 10^{-3} \).
Израчунај вредност израза: \( (-2)^4 - 2^4 + 10^{-2} \cdot 100 \).
\( (-2)^4 = 16 \)
\( 2^4 = 16 \)
\( 10^{-2} \cdot 100 = \frac{1}{100} \cdot 100 = 1 \)
Вредност израза је: \( 16 - 16 + 1 = 1 \).
\( 2^4 = 16 \)
\( 10^{-2} \cdot 100 = \frac{1}{100} \cdot 100 = 1 \)
Вредност израза је: \( 16 - 16 + 1 = 1 \).
\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \quad \text{(Множење степена једнаких основа)} \]
\[ a^m : a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \neq 0, m \ge n) \quad \text{(Дељење степена једнаких основа)} \]
\[ (a^n)^m = a^{n \cdot m} \quad \text{(Степеновање степена)} \]
\[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \quad \text{(Степен производа)} \]
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \neq 0) \quad \text{(Степен количника)} \]
Не постоји опште правило за сабирање степена једнаких основа или једнаких изложилаца. У таквим случајевима примењује се дистрибутивност:
\( 5 \cdot 2^{10} - 3 \cdot 2^{10} = (5 - 3) \cdot 2^{10} = 2 \cdot 2^{10} = 2^{11} \).
\( 5 \cdot 2^{10} - 3 \cdot 2^{10} = (5 - 3) \cdot 2^{10} = 2 \cdot 2^{10} = 2^{11} \).
Упрости израз: \( \frac{(3^3)^4 \cdot 9^2}{27^5} \).
Све степене сведемо на основу 3:
\( (3^3)^4 = 3^{12} \)
\( 9^2 = (3^2)^2 = 3^4 \)
\( 27^5 = (3^3)^5 = 3^{15} \)
\[ \frac{3^{12} \cdot 3^4}{3^{15}} = \frac{3^{12+4}}{3^{15}} = \frac{3^{16}}{3^{15}} = 3^{16-15} = 3^1 = 3 \]
\( (3^3)^4 = 3^{12} \)
\( 9^2 = (3^2)^2 = 3^4 \)
\( 27^5 = (3^3)^5 = 3^{15} \)
\[ \frac{3^{12} \cdot 3^4}{3^{15}} = \frac{3^{12+4}}{3^{15}} = \frac{3^{16}}{3^{15}} = 3^{16-15} = 3^1 = 3 \]
Моном је цели алгебарски израз у чијем формирању не учествују сабирање и одузимање (производ константи и променљивих).
Сваки моном садржи:
- Коефицијент: бројни чинилац (константа).
- Променљиви део: производ свих променљивих са њиховим изложиоцима.
- Степен монома: збир изложилаца свих променљивих у моному. (Константа различита од нуле је моном степена 0).
Слични мономи су мономи који имају потпуно једнаке променљиве делове (разликују се само у коефицијенту). На пример, \( 3x^2y \) и \( -5x^2y \).
Полином је збир два или више монома (чланова полинома).
- Бином: збир два неслична монома (нпр. \( 2x + 3 \)).
- Трином: збир три неслична монома (нпр. \( ax^2 + bx + c \)).
- Степен полинома: највећи од степена монома који га сачињавају (у сређеном облику).
Одреди коефицијент, променљиви део и степен монома \( M = -4x^3y^2z \).
- Коефицијент: \( -4 \)
- Променљиви део: \( x^3y^2z \)
- Степен монома: \( 3 + 2 + 1 = 6 \)
Сабирање сличних монома: Сабирају се њихови коефицијенти, а променљиви део се преписује.
\[ A \cdot x^k + B \cdot x^k = (A + B) \cdot x^k \]
Супротни мономи имају супротне коефицијенте и исти променљиви део. Њихов збир једнак је 0: \( M + (-M) = 0 \).
1. Ослободити се заграда (пазити на промену знака испред заграде са знаком минус).
2. Груписати сличне мономе.
3. Сабрати коефицијенте сличних монома.
2. Груписати сличне мономе.
3. Сабрати коефицијенте сличних монома.
Нека су \( P = 3x^2 - 4x + 5 \) и \( Q = 2x^2 + 5x - 8 \).
\( P + Q = (3x^2 + 2x^2) + (-4x + 5x) + (5 - 8) = 5x^2 + x - 3 \)
\( P - Q = (3x^2 - 4x + 5) - (2x^2 + 5x - 8) = 3x^2 - 4x + 5 - 2x^2 - 5x + 8 = x^2 - 9x + 13 \)
\( P + Q = (3x^2 + 2x^2) + (-4x + 5x) + (5 - 8) = 5x^2 + x - 3 \)
\( P - Q = (3x^2 - 4x + 5) - (2x^2 + 5x - 8) = 3x^2 - 4x + 5 - 2x^2 - 5x + 8 = x^2 - 9x + 13 \)
Среди полином: \( A = 4x^3 - 2x + 7 - (x^3 - 5x + 3) \).
\( A = 4x^3 - 2x + 7 - x^3 + 5x - 3 \)
\( A = (4x^3 - x^3) + (-2x + 5x) + (7 - 3) \)
\( A = 3x^3 + 3x + 4 \)
\( A = (4x^3 - x^3) + (-2x + 5x) + (7 - 3) \)
\( A = 3x^3 + 3x + 4 \)
Множење монома моном: Помноже се њихови коефицијенти, а променљиви делови се помноже применом правила за множење степена једнаких основа.
\[ (A x^m) \cdot (B x^n) = (A \cdot B) x^{m+n} \]
Множење монома полиномом: Моном множи сваки члан полинома појединачно (дистрибутивност).
\[ M \cdot (A + B + C) = M \cdot A + M \cdot B + M \cdot C \]
Множење два полинома: Сваки члан првог полинома множи се сваким чланом другог полинома, након чега се сви слични мономи саберу.
\[ (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD \]
Изврши множење и среди израз: \( (2x - 3)(3x^2 + 4x - 1) \).
\[ (2x - 3)(3x^2 + 4x - 1) = 2x(3x^2 + 4x - 1) - 3(3x^2 + 4x - 1) \]
\[ = 6x^3 + 8x^2 - 2x - 9x^2 - 12x + 3 \]
\[ = 6x^3 + (8x^2 - 9x^2) + (-2x - 12x) + 3 \]
\[ = 6x^3 - x^2 - 14x + 3 \]
\[ (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \quad \text{(Квадрат збира)} \]
\[ (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 \quad \text{(Квадрат разлике)} \]
\[ A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) \quad \text{(Разлика квадрата)} \]
Важна својства знакова код квадрата бинома:
- \( (-A - B)^2 = (A + B)^2 \)
- \( (B - A)^2 = (A - B)^2 = (-A + B)^2 \)
Израчунај користећи формуле: а) \( (3x - 5)^2 \); б) \( 103 \cdot 97 \).
а) Квадрат бинома:
\[ (3x - 5)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 5 + 5^2 = 9x^2 - 30x + 25 \]
б) Разлика квадрата:
\[ 103 \cdot 97 = (100 + 3)(100 - 3) = 100^2 - 3^2 = 10000 - 9 = 9991 \]
Раставити полином на чиниоце значи приказати га као производ простијих полинома (или монома и полинома).
1. Извлачење заједничког чиниоца испред заграде:
\( A \cdot B \pm A \cdot C = A(B \pm C) \)
Пример: \( 6x^2y - 9xy^2 = 3xy(2x - 3y) \)
2. Примена формуле за разлику квадрата:
\( A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) \)
Пример: \( 25x^2 - 49 = (5x)^2 - 7^2 = (5x + 7)(5x - 7) \)
3. Примена формуле за квадрат бинома:
\( A^2 \pm 2AB + B^2 = (A \pm B)^2 \)
Пример: \( 4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2 \)
4. Метода груписања чланова:
Пример: \( ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b) \)
\( A \cdot B \pm A \cdot C = A(B \pm C) \)
Пример: \( 6x^2y - 9xy^2 = 3xy(2x - 3y) \)
2. Примена формуле за разлику квадрата:
\( A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) \)
Пример: \( 25x^2 - 49 = (5x)^2 - 7^2 = (5x + 7)(5x - 7) \)
3. Примена формуле за квадрат бинома:
\( A^2 \pm 2AB + B^2 = (A \pm B)^2 \)
Пример: \( 4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2 \)
4. Метода груписања чланова:
Пример: \( ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b) \)
Растави на чиниоце полином: \( 3x^3 - 12x \).
Прво извучемо највећи заједнички чинилац \( 3x \), а затим применимо разлику квадрата:
\[ 3x^3 - 12x = 3x(x^2 - 4) = 3x(x^2 - 2^2) = 3x(x - 2)(x + 2) \]
Својство једнакости производа са нулом:
\[ A \cdot B = 0 \iff A = 0 \quad \text{или} \quad B = 0 \]
Производ два или више израза једнак је нули ако и само ако је бар један од тих израза једнак нули.
1. Пребаци све чланове на једну страну једнакости тако да на другој страни остане 0.
2. Растави добијени полином на чиниоце.
3. Изједначи сваки чинилац са нулом и реши добијене линеарне једначине.
2. Растави добијени полином на чиниоце.
3. Изједначи сваки чинилац са нулом и реши добијене линеарне једначине.
Реши једначину: \( 2x^2 - 8x = 0 \).
Издвајањем заједничког чиниоца:
\[ 2x(x - 4) = 0 \]
\[ 2x = 0 \quad \text{или} \quad x - 4 = 0 \]
\[ x_1 = 0, \quad x_2 = 4 \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лак): Израчунај вредност израза:
\[ \frac{2^7 \cdot 2^5}{(2^3)^3} \]
Применом правила за множење и степеновање степена:
\[ \text{Бројилац: } 2^7 \cdot 2^5 = 2^{7+5} = 2^{12} \]
\[ \text{Именилац: } (2^3)^3 = 2^{3 \cdot 3} = 2^9 \]
\[ \frac{2^{12}}{2^9} = 2^{12-9} = 2^3 = 8 \]
Задатак 2 (Средњи): Упрости алгебарски израз:
\[ (2x - 3)^2 - (2x + 1)(2x - 1) \]
Применимо формулу за квадрат бинома и разлику квадрата:
\[ (2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9 \]
\[ (2x + 1)(2x - 1) = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1 \]
Одузимањем добијамо:
\[ (4x^2 - 12x + 9) - (4x^2 - 1) = 4x^2 - 12x + 9 - 4x^2 + 1 = -12x + 10 \]
Задатак 3 (Средњи/Тежак): Растави полином на чиниоце до краја:
\[ P(x) = x^3 - 4x^2 - x + 4 \]
Користимо метод груписања чланова:
\[ P(x) = (x^3 - 4x^2) - (x - 4) \]
\[ P(x) = x^2(x - 4) - 1 \cdot (x - 4) \]
\[ P(x) = (x - 4)(x^2 - 1) \]
Сада разложимо разлику квадрата \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \):
\[ P(x) = (x - 4)(x - 1)(x + 1) \]
Задатак 4 (Тежак): Реши једначину у скупу реалних бројева:
\[ (x - 3)^2 - 16 = 0 \]
1. начин (преко разлике квадрата):
\[ (x - 3)^2 - 4^2 = 0 \]
\[ ((x - 3) - 4)((x - 3) + 4) = 0 \]
\[ (x - 7)(x + 1) = 0 \]
\[ x - 7 = 0 \implies x_1 = 7 \]
\[ x + 1 = 0 \implies x_2 = -1 \]
2. начин (сређивањем квадратног тринома): \[ x^2 - 6x + 9 - 16 = 0 \] \[ x^2 - 6x - 7 = 0 \] Решења су \( x_1 = 7 \) и \( x_2 = -1 \).
2. начин (сређивањем квадратног тринома): \[ x^2 - 6x + 9 - 16 = 0 \] \[ x^2 - 6x - 7 = 0 \] Решења су \( x_1 = 7 \) и \( x_2 = -1 \).
