Најважније из лекције
- Пројекција тачке: Добија се спуштањем нормале из тачке на пројекцијску раван.
- Растојање тачке од равни: Представља дужину дужи чији су крајеви дата тачка и њена ортогонална пројекција на раван.
- Нагибни угао: Угао који права заклапа са својом пројекцијом на раван.
- Пројекција дужи: Може бити дуж (једнаке дужине ако је паралелна са равни, или краћа ако је укошена) или тачка (ако је дуж нормална на раван). Рачуна се пројектовањем крајњих тачака и најчешће применом Питагорине теореме.
За сваку раван и сваку тачку постоји само једна права која садржи ту тачку и нормална је на дату раван.
Ортогонална пројекција тачке на раван је продор нормале из те тачке на дату раван. Раван на коју пројектујемо назива се пројекцијска раван, а нормала из тачке на ту раван назива се пројектујући зрак.
Ако се тачка налази у равни пројекције, онда се она поклапа са својом ортогоналном пројекцијом.
Ако тачка \(A\) не припада равни \(\pi\), растојање између тачке \(A\) и њене ортогоналне пројекције \(A_1\) представља растојање између тачке \(A\) и равни \(\pi\).
Тачка \(A\) се налази ван равни \(\pi\), а њена ортогонална пројекција на ту раван је тачка \(A_1\). У равни \(\pi\) се налази тачка \(P\). Ако је растојање тачке \(A\) од равни \(12\text{ cm}\), а растојање између тачака \(A\) и \(P\) износи \(13\text{ cm}\), колико је растојање од тачке \(P\) до пројекције \(A_1\)?
Троугао \(AA_1P\) је правоугли, јер је \(AA_1 \perp PA_1\) (нормала на раван је нормална на сваку праву у тој равни која пролази кроз продор). Применом Питагорине теореме:
\[ PA_1 = \sqrt{PA^2 - AA_1^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\text{ cm} \]
Ортогонална пројекција праве \(p\) на раван \(\pi\) зависи од њеног положаја у односу на раван:
- Пројекција је права, уколико \(p\) није нормална на \(\pi\).
- Пројекција је тачка, ако је права \(p\) нормална на \(\pi\).
Нагибни угао: Ако права сече пројекцијску раван и није нормална на њу, угао између те праве и њене пројекције на раван назива се нагибни угао праве према равни.
Ако је права паралелна пројекцијској равни, онда је паралелна и својој пројекцији на ту раван.
Која је ортогонална пројекција праве која је нормална на пројекцијску раван?
Ортогонална пројекција праве која је нормална на раван је само једна тачка (продор те праве кроз раван).
Ортогонална пројекција дужи одређује се тако што се одреде ортогоналне пројекције њених крајњих тачака.
У зависности од положаја праве која садржи дуж према равни, разликујемо три случаја:
- Ако је паралелна са равни, пројекција је дуж подударна (једнаке дужине) почетној дужи.
- Ако сече раван и није нормална на њу, пројекција је дуж која је краћа од почетне дужи.
- Ако је нормална на раван, пројекција дужи је тачка.
Дата је дуж \(PQ = 5\text{ cm}\), при чему су тачке \(P\) и \(Q\) са исте стране равни \(\pi\). Растојања тачака \(P\) и \(Q\) од равни \(\pi\) су \(4\text{ cm}\) и \(7\text{ cm}\). Одредити дужину пројекције те дужи на раван.
Нека су \(P_1\) и \(Q_1\) пројекције. Формира се правоугли трапез \(Q_1QPP_1\) где су основе растојања \(4\text{ cm}\) и \(7\text{ cm}\), а крак \(PQ = 5\text{ cm}\). Висина овог трапеза једнака је дужини пројекције \(P_1Q_1\).
Повлачењем висине из темена \(P\) добијамо правоугли троугао чија је хипотенуза \(5\text{ cm}\), а једна катета разлика растојања: \(7 - 4 = 3\text{ cm}\). \[ P_1Q_1 = \sqrt{PQ^2 - (QQ_1 - PP_1)^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\text{ cm} \]
Повлачењем висине из темена \(P\) добијамо правоугли троугао чија је хипотенуза \(5\text{ cm}\), а једна катета разлика растојања: \(7 - 4 = 3\text{ cm}\). \[ P_1Q_1 = \sqrt{PQ^2 - (QQ_1 - PP_1)^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\text{ cm} \]
Задаци за вежбање
Лак: Тачка \(M\) припада пројекцијској равни \(\alpha\). Колико износи растојање између тачке \(M\) и њене ортогоналне пројекције \(M_1\) на раван \(\alpha\)?
Ако тачка припада равни, она се поклапа са својом пројекцијом.
Одговор: Растојање је \(0\text{ cm}\).
Одговор: Растојање је \(0\text{ cm}\).
Средњи: Права \(a\) сече раван \(\alpha\) у тачки \(A\). Нагибни угао праве према равни је \(60^\circ\). На правој \(a\) дата је тачка \(T\) тако да је \(AT = 4\text{ cm}\). Колика је дужина пројекције дужи \(AT\) на раван \(\alpha\)?
Пројекција тачке \(A\) је сама тачка \(A\). Нека је \(T_1\) пројекција тачке \(T\). Троугао \(ATT_1\) је правоугли са хипотенузом \(AT = 4\text{ cm}\) и углом код темена \(A\) од \(60^\circ\).
У правоуглом троуглу са угловима од \(30^\circ\) и \(60^\circ\), катета налегала углу од \(60^\circ\) (што је дужина пројекције \(AT_1\)) једнака је половини хипотенузе.
Одговор: Дужина пројекције \(AT_1\) је \(2\text{ cm}\).
У правоуглом троуглу са угловима од \(30^\circ\) и \(60^\circ\), катета налегала углу од \(60^\circ\) (што је дужина пројекције \(AT_1\)) једнака је половини хипотенузе.
Одговор: Дужина пројекције \(AT_1\) је \(2\text{ cm}\).
Тежак: Дата је дуж \(PQ = 15\text{ cm}\), при чему се тачке \(P\) и \(Q\) налазе са различитих страна равни \(\pi\). Растојања тачака \(P\) и \(Q\) од равни \(\pi\) једнака су \(4\text{ cm}\) и \(5\text{ cm}\). Одредити дужину ортогоналне пројекције дужи \(PQ\) на раван \(\pi\).
Нека је \(O\) пресек дужи \(PQ\) са равни \(\pi\). Добијају се два слична правоугла троугла: \(PP_1O\) и \(QQ_1O\).
Однос хипотенуза и катета је исти (Талесова теорема): \(\frac{PO}{OQ} = \frac{4}{5}\).
Пошто је \(PO + OQ = 15\text{ cm}\), рачунамо да је \(PO = \frac{20}{3}\text{ cm}\) и \(OQ = \frac{25}{3}\text{ cm}\).
Применом Питагорине теореме на оба троугла:
\(P_1O = \sqrt{(\frac{20}{3})^2 - 4^2} = \sqrt{\frac{400}{9} - 16} = \sqrt{\frac{256}{9}} = \frac{16}{3}\text{ cm}\)
\(Q_1O = \sqrt{(\frac{25}{3})^2 - 5^2} = \sqrt{\frac{625}{9} - 25} = \sqrt{\frac{400}{9}} = \frac{20}{3}\text{ cm}\)
Укупна дужина пројекције је \(P_1Q_1 = P_1O + Q_1O = \frac{16}{3} + \frac{20}{3} = \frac{36}{3} = 12\text{ cm}\).
Однос хипотенуза и катета је исти (Талесова теорема): \(\frac{PO}{OQ} = \frac{4}{5}\).
Пошто је \(PO + OQ = 15\text{ cm}\), рачунамо да је \(PO = \frac{20}{3}\text{ cm}\) и \(OQ = \frac{25}{3}\text{ cm}\).
Применом Питагорине теореме на оба троугла:
\(P_1O = \sqrt{(\frac{20}{3})^2 - 4^2} = \sqrt{\frac{400}{9} - 16} = \sqrt{\frac{256}{9}} = \frac{16}{3}\text{ cm}\)
\(Q_1O = \sqrt{(\frac{25}{3})^2 - 5^2} = \sqrt{\frac{625}{9} - 25} = \sqrt{\frac{400}{9}} = \frac{20}{3}\text{ cm}\)
Укупна дужина пројекције је \(P_1Q_1 = P_1O + Q_1O = \frac{16}{3} + \frac{20}{3} = \frac{36}{3} = 12\text{ cm}\).
