Најважније из лекције
Кинематика и динамика: Промена брзине узрокована је деловањем силе (\(\vec{F} = m\vec{a}\)). Равномерно убрзано кретање описују закони \(v = v_0 + at\) и \(s = v_0 t + \frac{at^2}{2}\). Трећи Њутнов закон дефинише акцију и реакцију (\(\vec{F}_R = -\vec{F}_A\)).
Гравитација и флуиди: Тела под дејством силе теже убрзавају са \(g \approx 9,8\text{ m/s}^2\). При слободном паду влада бестежинско стање (\(Q=0\)). На тела у флуидима делује потисак \(F_p = \rho_f V_i g\); ако је \(\rho < \rho_f\), тело плута на површини.
Статика, рад и енергија: Полуга је у равнотежи када су моменти једнаки (\(F_1 d_1 = F_2 d_2\)). Механички рад \(A = F \cdot s\) мења енергију тела (\(A = \Delta E\)). У изолованом систему важи \(E_k + E_p = \text{const}\), где је \(E_k = \frac{mv^2}{2}\) и \(E_p = mgh\). Снага је брзина вршења рада (\(P = \frac{A}{t} = Fv\)).
Термодинамика: Температура одређује смер спонтаног преноса топлоте (\(Q = cm\Delta T\)). У изолованом систему важи \(Q_{\text{предато}} = Q_{\text{примљено}}\). Током фазних прелаза температура се не мења.
Гравитација и флуиди: Тела под дејством силе теже убрзавају са \(g \approx 9,8\text{ m/s}^2\). При слободном паду влада бестежинско стање (\(Q=0\)). На тела у флуидима делује потисак \(F_p = \rho_f V_i g\); ако је \(\rho < \rho_f\), тело плута на површини.
Статика, рад и енергија: Полуга је у равнотежи када су моменти једнаки (\(F_1 d_1 = F_2 d_2\)). Механички рад \(A = F \cdot s\) мења енергију тела (\(A = \Delta E\)). У изолованом систему важи \(E_k + E_p = \text{const}\), где је \(E_k = \frac{mv^2}{2}\) и \(E_p = mgh\). Снага је брзина вршења рада (\(P = \frac{A}{t} = Fv\)).
Термодинамика: Температура одређује смер спонтаног преноса топлоте (\(Q = cm\Delta T\)). У изолованом систему важи \(Q_{\text{предато}} = Q_{\text{примљено}}\). Током фазних прелаза температура се не мења.
Промена брзине (\(\Delta v\)) представља разлику крајње и почетне брзине тела: \(\Delta v = v_{\text{крајње}} - v_{\text{почетно}}\). Позитивна вредност означава повећање брзине, а негативна смањење брзине (успорење).
Убрзање (\(a\)) је векторска физичка величина која описује брзину промене брзине у времену.
Мерна јединица за убрзање је метар у секунди на квадрат: \(\left[\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\right]\).
\[ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v - v_0}{t} \]
Зависност брзине од времена:
\[ v = v_0 + a \cdot t \quad (\text{убрзано}) \qquad v = v_0 - a \cdot t \quad (\text{успорено}) \]
Зависност пређеног пута од времена:
\[ s = v_0 \cdot t + \frac{a \cdot t^2}{2} \quad (\text{убрзано}) \qquad s = v_0 \cdot t - \frac{a \cdot t^2}{2} \quad (\text{успорено}) \]
Зависност брзине од пређеног пута:
\[ v^2 = v_0^2 + 2a \cdot s \quad (\text{убрзано}) \qquad v^2 = v_0^2 - 2a \cdot s \quad (\text{успорено}) \]
Средња брзина код кретања са сталним убрзањем једнака је аритметичкој средини почетне и крајње брзине: \( v_{sr} = \frac{v_0 + v}{2} = \frac{s_u}{t_u} \).
На графику зависности брзине од времена (\(v-t\) график), пређени пут једнак је површини фигуре између линије графика и временске осе.
На графику зависности брзине од времена (\(v-t\) график), пређени пут једнак је површини фигуре између линије графика и временске осе.
Аутомобил полази из мировања (\(v_0 = 0\)) и убрзава са \(a = 3\text{ m/s}^2\) током \(4\text{ s}\).
Крајња брзина: \(v = a \cdot t = 3\text{ m/s}^2 \cdot 4\text{ s} = 12\text{ m/s}\).
Пређени пут: \(s = \frac{a \cdot t^2}{2} = \frac{3 \cdot 16}{2} = 24\text{ m}\).
Крајња брзина: \(v = a \cdot t = 3\text{ m/s}^2 \cdot 4\text{ s} = 12\text{ m/s}\).
Пређени пут: \(s = \frac{a \cdot t^2}{2} = \frac{3 \cdot 16}{2} = 24\text{ m}\).
Сила (\(\vec{F}\)) је векторска физичка величина којом се описује међусобно деловање тела. Сила је узрок промене брзине (убрзања) или деформације тела. Мерна јединица је њутн \([\text{N}]\), при чему је \(1\text{ N} = 1\text{ kg} \cdot \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\).
Први Њутнов закон (Закон инерције): Тело остаје у стању мировања или равномерног праволинијског кретања све док га деловање других тела не примора да то стање промени (\(\vec{F}_R = 0 \implies \vec{a} = 0, \vec{v} = \text{const}\)).
Други Њутнов закон (Основни закон динамике): Убрзање које тело добија сразмерно је резултујућој сили која делује на њега, а обрнуто сразмерно маси тела.
\[ \vec{F}_R = m \cdot \vec{a} \implies a = \frac{F_R}{m} \]
Трећи Њутнов закон (Закон акције и реакције): Силе којима два тела узајамно делују једнаке су по интензитету, имају исти правац, а супротне смерове: \(\vec{F}_R = -\vec{F}_A\). Ове силе делују на различита тела и никада се међусобно не поништавају.
Слагање сила:
- Колинеарне силе истог смера: \(F_R = F_1 + F_2\)
- Колинеарне силе супротног смера: \(F_R = F_1 - F_2\) (у смеру веће силе)
- Нормалне силе (\(\alpha = 90^\circ\)): \(F_R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}\) (Питагорина теорема)
- Општи случај: правило паралелограма или надовезивања вектора.
Сила Земљине теже (\(F_g = m \cdot g\)) је гравитациона сила којом Земља привлачи тела, усмерена вертикално ка њеном средишту (нападна тачка у тежишту).
Тежина тела (\(Q\)) је сила којом тело услед дејства силе теже притиска хоризонталну подлогу или затеже нит о коју је окачено.
Убрзање силе теже (\(g\)) на површини Земље износи приближно \(g \approx 9,81\text{ m/s}^2 \approx 9,8\text{ m/s}^2\). Сва тела без обзира на масу падају са истим убрзањем ако се занемари отпор средине (Галилејев закључак).
1. Слободан пад (\(v_0 = 0, a = g\)):
\[ v = g \cdot t, \qquad h = \frac{g \cdot t^2}{2}, \qquad v = \sqrt{2gh}, \qquad t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \]
2. Вертикални хитац наниже:
\[ v = v_0 + gt, \qquad s = v_0 t + \frac{gt^2}{2}, \qquad v^2 = v_0^2 + 2gs, \qquad h_t = h - s \]
3. Вертикални хитац навише:
\[ v = v_0 - gt, \qquad h_t = v_0 t - \frac{gt^2}{2}, \qquad h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g}, \qquad t_{\uparrow} = \frac{v_0}{g}, \qquad t_u = 2t_{\uparrow} = \frac{2v_0}{g} \]
При слободном паду тело се налази у бестежинском стању (\(Q = 0\)).
Сила отпора средине расте са повећањем брзине, површине попречног пресека тела и густине средине, и увек делује супротно од смера кретања.
Сила отпора средине расте са повећањем брзине, површине попречног пресека тела и густине средине, и увек делује супротно од смера кретања.
Сила трења је контактна сила која се супротставља релативном кретању једног тела по другом и делује дуж додирне површине.
- Трење мировања (\(F_{trm}\)): Јавља се пре покретања тела; једнака је вучној сили све до максималне вредности.
- Трење клизања (\(F_{tr}\)): Јавља се при клизању једног тела по другој површини.
- Трење котрљања: Значајно је мањег интензитета од трења клизања (\(F_{\text{котрљања}} \ll F_{tr}\)).
\[ F_{tr} = \mu \cdot N \]
где је \(\mu\) коефицијент трења клизања (бездимензиона величина), а \(N\) нормална реакција подлоге. На хоризонталној подлози: \(N = Q = mg\).
Сила трења клизања не зависи од величине додирне површине нити од релативне брзине тела, већ искључиво од врсте и обраде материјала (\(\mu\)) и нормалне реакције подлоге (\(N\)).
Статика проучава услове равнотеже тела. Тело је у равнотежи ако мирује (статичка) или се креће равномерно праволинијски (динамичка равнотежа).
Врсте равнотеже:
- Стабилна: тело се након малог померања само враћа у равнотежни положај (тежиште се подиже при померању).
- Нестабилна: тело се након померања удаљава од равнотежног положаја (тежиште се спушта).
- Неутрална: тело остаје у равнотежи у сваком новом положају (висина тежишта остаје иста).
Момент силе (\(M\)) описује способност силе да заротира тело око непокретне осе. Крак силе (\(d\)) је најкраће (нормално) растојање од осе ротације до правца силе.
Јединица за момент силе је њутн-метар \([\text{N}\cdot\text{m}]\).
\[ M = F \cdot d \]
Општи услови равнотеже крутог тела:
\[ \sum \vec{F} = 0 \quad \text{и} \quad \sum M = 0 \]
Услов равнотеже полуге:
\[ M_1 = M_2 \implies F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2 \]
Врсте полуга:
• Двострана полуга: ослонац се налази између нападних тачака сила (клацкалица, маказе).
• Једнострана полуга: силе делују са исте стране ослонца (ручна колица, крцкалица за орахе).
• Двострана полуга: ослонац се налази између нападних тачака сила (клацкалица, маказе).
• Једнострана полуга: силе делују са исте стране ослонца (ручна колица, крцкалица за орахе).
Сила потиска (\(F_p\)) је сила којом флуид (течност или гас) делује на потопљено тело, усмерена увек вертикално навише. Настаје због разлике хидростатичких притисака на доњој и горњој површини тела.
Архимедов закон: На свако тело потопљено у флуид делује сила потиска једнака тежини телом истиснутог флуида.
\[ F_p = \rho_f \cdot V_i \cdot g \]
где је \(\rho_f\) густина флуида, \(V_i\) запремина потопљеног дела тела, а \(g\) гравитационо убрзање.
Упоређивањем густине тела (\(\rho\)) и густине течности (\(\rho_t\)):
- \(\rho > \rho_t \implies F_g > F_p\): Тело тоне на дно.
- \(\rho = \rho_t \implies F_g = F_p\): Тело лебди на било којој дубини.
- \(\rho < \rho_t \implies F_g < F_p\): Тело израња док се на површини не успостави \(F_g = F_p\) (тело плута: \(\frac{V_i}{V_u} = \frac{\rho}{\rho_t}\)).
Механички рад (\(A\)) врши сила када се под њеним дејством тело помера. Јединица је џул \([\text{J}]\), \(1\text{ J} = 1\text{ N} \cdot 1\text{ m}\).
Снага (\(P\)) је брзина вршења рада. Јединица је ват \([\text{W}]\), \(1\text{ W} = 1\text{ J/s}\).
Енергија (\(E\)) је способност тела да изврши рад.
Механички рад:
\[ A = F \cdot s \quad (\text{паралелно}) \qquad A = F_p \cdot s \quad (\text{под углом}) \]
\[ A_{\text{теже}} = \pm mgh \qquad A_{tr} = -F_{tr} \cdot s \]
Снага и степен корисног дејства:
\[ P = \frac{A}{t} = F \cdot v, \qquad \eta = \frac{A_k}{A_u} = \frac{P_k}{P_u} \quad (0 \le \eta < 1) \]
Кинетичка и потенцијална енергија:
\[ E_k = \frac{m \cdot v^2}{2}, \qquad E_p = m \cdot g \cdot h, \qquad E = E_k + E_p \]
Теорема о раду и енергији:
\[ A = \Delta E = E_2 - E_1 \]
Закон о одржању механичке енергије: У изолованом систему у коме делују само гравитационе и еластичне силе (без трења), укупна механичка енергија је константна:
\[ E_k + E_p = \text{const} \implies E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2} \]
Температура је мера средње кинетичке енергије хаотичног кретања честица (Брауново кретање).
Веза Целзијусове (\(t\)) и Келвинове (\(T\)) скале:
\[ T = t + 273,15 \approx t + 273 \quad [\text{K}], \qquad \Delta T = \Delta t \]
Апсолутна нула (\(0\text{ K} = -273,15^\circ\text{C}\)) је најнижа теоријска температура.
Унутрашња енергија је збир кинетичке и потенцијалне енергије свих микрочестица од којих је тело састављено.
Начини преноса топлоте: провођење (кондукција - кроз чврста тела), струјање (конвекција - у флуидима) и зрачење (радијација - путем електромагнетних таласа, могуће и кроз вакуум).
Количина топлоте (\(Q\)):
\[ Q = c \cdot m \cdot \Delta T = c \cdot m \cdot (T_2 - T_1) \]
где је \(c\) специфични топлотни капацитет \(\left[\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}\right]\).
Једначина топлотног биланса (за изолован систем): \[ Q_{\text{предато}} = Q_{\text{примљено}} \implies c_1 m_1 (T_1 - T) = c_2 m_2 (T - T_2) \]
Једначина топлотног биланса (за изолован систем): \[ Q_{\text{предато}} = Q_{\text{примљено}} \implies c_1 m_1 (T_1 - T) = c_2 m_2 (T - T_2) \]
Фазни прелази:
- Топљење (чврсто \(\to\) течно) и очвршћавање (течно \(\to\) чврсто).
- Испаравање (течно \(\to\) гасовито) и кондензација (гасовито \(\to\) течно).
- Сублимација (чврсто \(\to\) гасовито) и ресублимација (гасовито \(\to\) чврсто).
Вода има највећу густину (најмању запремину) на \(+4^\circ\text{C}\). Хлађењем од \(4^\circ\text{C}\) до \(0^\circ\text{C}\) њена запремина се шири, па лед плута на води.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лак ниво):
Тело масе \(4\text{ kg}\) почиње да се креће из мировања под дејством сталне вучне силе од \(12\text{ N}\). Колико износи убрзање тела и брзина коју ће тело имати након \(5\text{ s}\) ако се трење занемари?
Подаци: \(m = 4\text{ kg}\), \(F = 12\text{ N}\), \(v_0 = 0\), \(t = 5\text{ s}\).
1. Применом Другог Њутновог закона: \[ a = \frac{F}{m} = \frac{12\text{ N}}{4\text{ kg}} = 3\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \] 2. Брзина након \(5\text{ s}\): \[ v = a \cdot t = 3\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 5\text{ s} = 15\frac{\text{m}}{\text{s}} \] Одговор: Убрзање је \(3\text{ m/s}^2\), а крајња брзина \(15\text{ m/s}\).
1. Применом Другог Њутновог закона: \[ a = \frac{F}{m} = \frac{12\text{ N}}{4\text{ kg}} = 3\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \] 2. Брзина након \(5\text{ s}\): \[ v = a \cdot t = 3\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 5\text{ s} = 15\frac{\text{m}}{\text{s}} \] Одговор: Убрзање је \(3\text{ m/s}^2\), а крајња брзина \(15\text{ m/s}\).
Задатак 2 (Средњи ниво):
Тело је бачено вертикално навише са површине Земље почетном брзином од \(20\text{ m/s}\). Узимајући да је \(g = 10\text{ m/s}^2\) и занемарујући отпор ваздуха, израчунај:
а) максималну висину коју тело достиже;
б) укупно време кретања тела до повратка на тло.
а) максималну висину коју тело достиже;
б) укупно време кретања тела до повратка на тло.
Подаци: \(v_0 = 20\text{ m/s}\), \(g = 10\text{ m/s}^2\).
а) Максимална висина: \[ h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{(20\text{ m/s})^2}{2 \cdot 10\text{ m/s}^2} = \frac{400}{20} = 20\text{ m} \] б) Време пењања и укупно време кретања: \[ t_{\uparrow} = \frac{v_0}{g} = \frac{20\text{ m/s}}{10\text{ m/s}^2} = 2\text{ s} \] \[ t_u = 2 \cdot t_{\uparrow} = 2 \cdot 2\text{ s} = 4\text{ s} \] Одговор: Максимална висина износи \(20\text{ m}\), а укупно време кретања је \(4\text{ s}\).
а) Максимална висина: \[ h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{(20\text{ m/s})^2}{2 \cdot 10\text{ m/s}^2} = \frac{400}{20} = 20\text{ m} \] б) Време пењања и укупно време кретања: \[ t_{\uparrow} = \frac{v_0}{g} = \frac{20\text{ m/s}}{10\text{ m/s}^2} = 2\text{ s} \] \[ t_u = 2 \cdot t_{\uparrow} = 2 \cdot 2\text{ s} = 4\text{ s} \] Одговор: Максимална висина износи \(20\text{ m}\), а укупно време кретања је \(4\text{ s}\).
Задатак 3 (Средњи ниво):
На крајевима двостране полуге дужине \(1,5\text{ m}\) делују силе \(F_1 = 40\text{ N}\) и \(F_2 = 20\text{ N}\). Где треба поставити ослонац полуге тако да она буде у равнотежи? (Масу полуге занемарити).
Подаци: \(l = d_1 + d_2 = 1,5\text{ m}\), \(F_1 = 40\text{ N}\), \(F_2 = 20\text{ N}\).
Услов равнотеже полуге: \[ F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2 \] Пошто је \(d_2 = 1,5 - d_1\): \[ 40 \cdot d_1 = 20 \cdot (1,5 - d_1) \] \[ 40 d_1 = 30 - 20 d_1 \implies 60 d_1 = 30 \implies d_1 = 0,5\text{ m} \] Одговор: Ослонац треба поставити на растојању од \(0,5\text{ m}\) од нападне тачке веће силе (\(F_1\)), односно \(1\text{ m}\) од нападне тачке силе \(F_2\).
Услов равнотеже полуге: \[ F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2 \] Пошто је \(d_2 = 1,5 - d_1\): \[ 40 \cdot d_1 = 20 \cdot (1,5 - d_1) \] \[ 40 d_1 = 30 - 20 d_1 \implies 60 d_1 = 30 \implies d_1 = 0,5\text{ m} \] Одговор: Ослонац треба поставити на растојању од \(0,5\text{ m}\) од нападне тачке веће силе (\(F_1\)), односно \(1\text{ m}\) од нападне тачке силе \(F_2\).
Задатак 4 (Напредни ниво):
У калориметру се налази \(0,6\text{ kg}\) воде температуре \(20^\circ\text{C}\). У ту воду се спусти комад бакра масе \(0,4\text{ kg}\) загрејан на \(100^\circ\text{C}\). Колика ће бити крајња температура смеше након успостављања топлотне равнотеже? Специфични топлотни капацитет воде је \(c_v = 4200\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}\), а бакра \(c_b = 380\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}\). Губитке топлоте занемарити.
Подаци: \(m_v = 0,6\text{ kg}\), \(t_v = 20^\circ\text{C}\), \(m_b = 0,4\text{ kg}\), \(t_b = 100^\circ\text{C}\), \(c_v = 4200\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}\), \(c_b = 380\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}}\).
По једначини топлотног биланса (\(Q_{\text{предато}} = Q_{\text{примљено}}\)): \[ c_b \cdot m_b \cdot (t_b - t) = c_v \cdot m_v \cdot (t - t_v) \] \[ 380 \cdot 0,4 \cdot (100 - t) = 4200 \cdot 0,6 \cdot (t - 20) \] \[ 152 \cdot (100 - t) = 2520 \cdot (t - 20) \] \[ 15200 - 152 t = 2520 t - 50400 \] \[ 2672 t = 65600 \implies t = \frac{65600}{2672} \approx 24,55^\circ\text{C} \] Одговор: Температура након успостављања равнотеже биће приближно \(24,6^\circ\text{C}\).
По једначини топлотног биланса (\(Q_{\text{предато}} = Q_{\text{примљено}}\)): \[ c_b \cdot m_b \cdot (t_b - t) = c_v \cdot m_v \cdot (t - t_v) \] \[ 380 \cdot 0,4 \cdot (100 - t) = 4200 \cdot 0,6 \cdot (t - 20) \] \[ 152 \cdot (100 - t) = 2520 \cdot (t - 20) \] \[ 15200 - 152 t = 2520 t - 50400 \] \[ 2672 t = 65600 \implies t = \frac{65600}{2672} \approx 24,55^\circ\text{C} \] Одговор: Температура након успостављања равнотеже биће приближно \(24,6^\circ\text{C}\).
