Најважније из лекције
Осцилаторно кретање: Периодично кретање око равнотежног положаја дуж исте путање под дејством повратне силе (нпр. клатно часовника, тег на опрузи).
Основне релације: Веза периода и фреквенције је \(\nu = \frac{1}{T}\), са јединицом херц (\(1\text{ Hz} = 1/\text{s}\)). За једну пуну осцилацију пређе се пут \(4x_0\), за четвртину периода (\(T/4\)) тело пређе од равнотеже до амплитуде, а за половину периода (\(T/2\)) између супротних амплитуда.
Енергија: У равнотежном положају брзина и \(E_k\) су максималне, а повратна сила и \(E_p\) су једнаке нули. У амплитудном положају тело се тренутно зауставља (\(v = 0, E_k = 0\)), док су повратна сила и \(E_p\) максималне.
Математичко клатно: Период \(T = 2\pi\sqrt{l/g}\) зависи искључиво од дужине нити (\(l\)) и гравитационог убрзања (\(g\)), а не зависи од масе тела нити од амплитуде.
Таласи: Брзина простирања је \(u = \lambda \cdot \nu = \frac{\lambda}{T}\). Звук је механички лонгитудинални талас где честице осцилују дуж правца ширења таласа формирајући згушњавања и разређивања.
Основне релације: Веза периода и фреквенције је \(\nu = \frac{1}{T}\), са јединицом херц (\(1\text{ Hz} = 1/\text{s}\)). За једну пуну осцилацију пређе се пут \(4x_0\), за четвртину периода (\(T/4\)) тело пређе од равнотеже до амплитуде, а за половину периода (\(T/2\)) између супротних амплитуда.
Енергија: У равнотежном положају брзина и \(E_k\) су максималне, а повратна сила и \(E_p\) су једнаке нули. У амплитудном положају тело се тренутно зауставља (\(v = 0, E_k = 0\)), док су повратна сила и \(E_p\) максималне.
Математичко клатно: Период \(T = 2\pi\sqrt{l/g}\) зависи искључиво од дужине нити (\(l\)) и гравитационог убрзања (\(g\)), а не зависи од масе тела нити од амплитуде.
Таласи: Брзина простирања је \(u = \lambda \cdot \nu = \frac{\lambda}{T}\). Звук је механички лонгитудинални талас где честице осцилују дуж правца ширења таласа формирајући згушњавања и разређивања.
Осцилаторно кретање је периодично кретање тела око равнотежног положаја дуж исте путање.
Повратна (реституциона) сила је сила која узрокује осциловање и увек је усмерена ка равнотежном положају тела.
При проласку кроз равнотежни положај, резултујућа сила која делује на тело једнака је нули, а тело наставља кретање услед сопствене инерције.
Примери осцилаторног кретања су: кретање клатна часовника, љуљање на љуљашци, осциловање тега окаченог о еластичну опругу и треперење жице на музичком инструменту. С друге стране, окретање казаљки на часовнику (кружно кретање) или слободан пад тела нису осцилаторна кретања.
Зашто се тело које осцилује не заустави у равнотежном положају, иако је резултујућа сила у том положају једнака нули?
Тело се не зауставља зато што у равнотежном положају има највећу брзину, па услед инерције продужава своје кретање ка супротном амплитудном положају.
Амплитуда осциловања (\(x_0\)) – највећа удаљеност тела од равнотежног положаја.
Период осциловања (\(T\)) – време за које тело изврши једну пуну осцилацију.
Фреквенција осциловања (\(\nu\)) – број осцилација које тело изврши у једној секунди.
Период осциловања (\(T\)) – време за које тело изврши једну пуну осцилацију.
Фреквенција осциловања (\(\nu\)) – број осцилација које тело изврши у једној секунди.
Јединица за период је секунда (\(\text{s}\)), а мерна јединица за фреквенцију је херц (\(\text{Hz}\)), где је \(1\text{ Hz} = \frac{1}{\text{s}} = \text{s}^{-1}\).
\[ \nu = \frac{1}{T} \quad \Longleftrightarrow \quad T = \frac{1}{\nu} \]
\(\nu\) – фреквенција (\(\text{Hz}\)), \(T\) – период осциловања (\(\text{s}\))
Подела једне пуне осцилације:
- Пут који тело пређе током једне пуне осцилације једнак је \(s = 4x_0\).
- Време преласка од равнотежног до амплитудног положаја представља четвртину периода: \(t = \frac{T}{4}\).
- Време преласка између два супротна амплитудна положаја представља половину периода: \(t = \frac{T}{2}\).
Ако тело осцилује фреквенцијом \(5\text{ Hz}\), колики је његов период осциловања и за које време тело стиже из равнотежног положаја у амплитудни?
Период је:
\[ T = \frac{1}{\nu} = \frac{1}{5\text{ Hz}} = 0,2\text{ s} \]
Време од равнотежног до амплитудног положаја једнако је четвртини периода:
\[ t = \frac{T}{4} = \frac{0,2\text{ s}}{4} = 0,05\text{ s} \]
Током осциловања механичка енергија непрекидно прелази из једног облика у други: кинетичка енергија се претвара у потенцијалну и обрнуто.
| Величина / Карактеристика | Равнотежни положај | Амплитудни положај |
|---|---|---|
| Удаљеност од равнотеже (\(x\)) | \(0\) | Максимална (\(x_0\)) |
| Брзина тела (\(v\)) | Максимална (\(v_{\max}\)) | Једнака нули (\(v = 0\)) |
| Резултујућа сила (\(F\)) | Једнака нули (\(F = 0\)) | Максимална (\(F_{\max}\)) |
| Кинетичка енергија (\(E_k\)) | Максимална | Једнака нули (\(E_k = 0\)) |
| Потенцијална енергија (\(E_p\)) | Једнака нули (минимална) | Максимална |
При кретању тела из амплитудног у равнотежни положај, потенцијална енергија се у потпуности претвара у кинетичку енергију. При кретању из равнотежног у амплитудни положај, кинетичка се претвара у потенцијалну енергију.
Ако гравитациона потенцијална енергија клатна у амплитудном положају износи \(4\text{ J}\), колика је његова кинетичка енергија при проласку кроз равнотежни положај (губици енергије се занемарују)?
Због закона одржања механичке енергије, сва потенцијална енергија се претвара у кинетичку при проласку кроз равнотежни положај, па је \(E_k = 4\text{ J}\).
Математичко клатно је физички модел који се састоји од малог тега окаченог о неистегљиву нит занемарљиве масе.
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \]
\(T\) – период осциловања (\(\text{s}\)), \(l\) – дужина нити (\(\text{m}\)), \(g\) – гравитационо убрзање (\(\text{m/s}^2\))
Период осциловања математичког клатна зависи само од:
- дужине нити (\(l\)) – са већом дужином период се повећава;
- гравитационог убрзања (\(g\)) – на местима са мањим гравитационим убрзањем период се повећава.
Ако часовник са клатном пренесемо на планину или на Месец (где је гравитационо убрзање \(g\) мање), клатно ће имати већи период осциловања – осциловаће спорије и сат ће каснити.
Како ће се променити период математичког клатна ако му се дужина нити повећа 4 пута?
Пошто период зависи од квадратног корена дужине нити (\(T \sim \sqrt{l}\)), при четвороструком повећању дужине нити (\(l' = 4l\)) период ће се повећати \(\sqrt{4} = 2\) пута.
Таласно кретање је процес ширења механичких осцилација кроз еластичну материјалну средину, при чему се преноси енергија без трајног преноса супстанције.
Лонгитудинални талас је механички талас код кога честице средине осцилују дуж правца простирања таласа (јављају се наизменична згушњавања и разређивања средине).
Таласна дужина (\(\lambda\)) је најкраће растојање између две тачке које осцилују у истој фази (растојање између два узастопна згушњавања или брега).
Звук је механички лонгитудинални талас који се региструје чулом слуха.
\[ u = \lambda \cdot \nu \quad \text{или} \quad u = \frac{\lambda}{T} \]
\(u\) – брзина простирања таласа (\(\text{m/s}\)), \(\lambda\) – таласна дужина (\(\text{m}\)), \(\nu\) – фреквенција таласа (\(\text{Hz}\)), \(T\) – период (\(\text{s}\))
У мирном језеру извор таласа осцилује фреквенцијом \(3\text{ Hz}\) и ствара кружне таласе брзине \(6\text{ m/s}\). Колико износи растојање између суседних брегова тих таласа?
Растојање између суседних брегова је таласна дужина \(\lambda\):
\[ \lambda = \frac{u}{\nu} = \frac{6\text{ m/s}}{3\text{ Hz}} = 2\text{ m} \]
Задаци за вежбање
Лак: Клатно изврши 15 пуних осцилација током једног минута. Одреди период и фреквенцију осциловања тог клатна.
Време у секундама је \(t = 1\text{ min} = 60\text{ s}\), а број осцилација је \(N = 15\).
Период осциловања: \[ T = \frac{t}{N} = \frac{60\text{ s}}{15} = 4\text{ s} \] Фреквенција осциловања: \[ \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{4\text{ s}} = 0,25\text{ Hz} \]
Период осциловања: \[ T = \frac{t}{N} = \frac{60\text{ s}}{15} = 4\text{ s} \] Фреквенција осциловања: \[ \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{4\text{ s}} = 0,25\text{ Hz} \]
Средњи: При посматрању осциловања клатна измерено је да оно стиже од равнотежног до амплитудног положаја за време од \(0,45\text{ s}\).
а) Израчунај период и фреквенцију овог клатна.
б) Колики укупан пут пређе тело клатна након 5 пуних осцилација ако је амплитуда осциловања \(x_0 = 6\text{ cm}\)?
а) Израчунај период и фреквенцију овог клатна.
б) Колики укупан пут пређе тело клатна након 5 пуних осцилација ако је амплитуда осциловања \(x_0 = 6\text{ cm}\)?
а) Кретање од равнотежног до амплитудног положаја представља четвртину осцилације:
\[ \frac{T}{4} = 0,45\text{ s} \implies T = 4 \cdot 0,45\text{ s} = 1,8\text{ s} \]
Фреквенција износи:
\[ \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{1,8\text{ s}} \approx 0,56\text{ Hz} \]
б) Током једне пуне осцилације тело пређе пут једнак четири амплитуде:
\[ s_1 = 4 \cdot x_0 = 4 \cdot 6\text{ cm} = 24\text{ cm} \]
За 5 пуних осцилација укупан пређени пут износи:
\[ s = 5 \cdot s_1 = 5 \cdot 24\text{ cm} = 120\text{ cm} = 1,2\text{ m} \]
Средњи: Израчунај период осциловања математичког клатна дужине \(18\text{ cm}\) на месту где је гравитационо убрзање \(g = 9,81\text{ m/s}^2\). Где би то клатно осциловало са већим периодом: на Земљи, на Марсу (\(g = 3,72\text{ m/s}^2\)) или на Месецу (\(g = 1,62\text{ m/s}^2\))?
Дужина клатна у метрима је \(l = 18\text{ cm} = 0,18\text{ m}\).
Период осциловања рачунамо по формули: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\frac{0,18\text{ m}}{9,81\text{ m/s}^2}} \approx 6,28 \cdot \sqrt{0,01835} \approx 6,28 \cdot 0,1355 \approx 0,85\text{ s} \] Период осциловања је обрнуто сразмеран вредности \(\sqrt{g}\). Према томе, што је гравитационо убрзање мање, период осциловања је већи. Пошто је убрзање најмање на Месецу (\(1,62\text{ m/s}^2\)), период осциловања ће бити највећи на Месецу.
Период осциловања рачунамо по формули: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\frac{0,18\text{ m}}{9,81\text{ m/s}^2}} \approx 6,28 \cdot \sqrt{0,01835} \approx 6,28 \cdot 0,1355 \approx 0,85\text{ s} \] Период осциловања је обрнуто сразмеран вредности \(\sqrt{g}\). Према томе, што је гравитационо убрзање мање, период осциловања је већи. Пошто је убрзање најмање на Месецу (\(1,62\text{ m/s}^2\)), период осциловања ће бити највећи на Месецу.
Тежак: Период осциловања извора таласа износи \(2\text{ s}\). Талас се шири дуж водене површине тако да растојање између првог и четвртог узастопног брега износи \(1,2\text{ m}\).
а) Одреди таласну дужину таласа.
б) Израчунај брзину простирања таласа.
в) Ако се фреквенција извора удвостручи, а брзина остане иста, колика ће бити нова таласна дужина?
а) Одреди таласну дужину таласа.
б) Израчунај брзину простирања таласа.
в) Ако се фреквенција извора удвостручи, а брзина остане иста, колика ће бити нова таласна дужина?
а) Између првог и четвртог брега таласа налазе се 3 таласне дужине:
\[ 3\lambda = 1,2\text{ m} \implies \lambda = \frac{1,2\text{ m}}{3} = 0,4\text{ m} \]
б) Брзина простирања таласа је:
\[ u = \frac{\lambda}{T} = \frac{0,4\text{ m}}{2\text{ s}} = 0,2\text{ m/s} \]
в) Почетна фреквенција је \(\nu_1 = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\text{ s}} = 0,5\text{ Hz}\). Када се она удвостручи (\(\nu_2 = 2 \cdot 0,5\text{ Hz} = 1\text{ Hz}\)), нова таласна дужина износи:
\[ \lambda_2 = \frac{u}{\nu_2} = \frac{0,2\text{ m/s}}{1\text{ Hz}} = 0,2\text{ m} \]
(Таласна дужина се смањила два пута).
